Différentions l'équation

où ,SR (s) > 4 ; il vient, en changeant les signes,

i:»^ g'.s \ ^^ f4k)lk tis)*'^ Ks'ks^:^ k'

{*) Introductio in analysis infinitorum, 1. 1. Lausanne, 1748, Cap. XV^, n« 277.

(**) Sitzungsberichte der K. P. Akademie der Wiss. zu Berlin, 22 Juli 1897. (Voir aussi cet article pour les renseignements bibliographiques.)

(68) Faisons les substitutions

il viendra

^ »• — i -^ p"' Zis) ^ A* '

Si l'on effectue les multiplications au premier membre et réduit les termes semblables, on devra trouver les mêmes termes dans les deux membres, parce que des exponentielles différentes ne sont pas du même ordre de grandeur pour s infini. Supposons implicitement ces multiplications effectuées, et égalons la somme des termes des deux membres dans lesquels la base de Texponentielle est < x. Ce résultat peut s'écrire :

fi(k)lk

et, pour 5 = 1,

fi' M»M^- V t^m t*

La somme relative à p"» a été étudiée au § 2 du chapitre IV, et l'on peut poser, par le théorème du n«(S9) de ce paragraphe,

Substituons cette valeur dans l'équation précédente et supprimons les termes qui se détruisent; il restera simplement

Telle est l'équation fondamentale dont nous allons déduire les conséquences que nous avons en vue. A cet effet, nous allons utiliser les formules que npus avons établies pour l'approximation de iy.

71. Il résulte immédiatement du théorème du n"" (59) que l'on peut poser

modif f|j < 6e-l/^,

où a et 2» désignent deux nombres positifs fixes, indépendants de X et de t, et auxquels les résultats que nous avons obtenus dans les chapitres antérieurs permettent d'attribuer des valeurs précises. En particulier, on peut donner à a toute valeur < l/p = 0,03282 et la valeur de b en résultera.

Cela fait, la seconde somme de l'équation (2) sera certainement inférieure en valeur absolue à

et nous allons montrer qu'elle ne peut surpasser un nombre que nous allons assigner.

Si l'on remarque que la fonction à sommer, ayant pour dérivée, à un facteur positif près

est d'abord décroissante, pour devenir ensuite constamment croissante quand k tend vers x, il est clair que l'on peut poser, le premier terme étant < 1, et le dernier < -,

( 67) Par les changements de variables k = -^, puis H = z^, on a

et, par conséquent

Le dernier membre de cette inégalité est un nombre fixe h auquel nous sommes en état d'assigner une valeur précise et qui est aussi la limite supérieure do la seconde somme de l'équation (2). Cette équation nous donne donc immédiatement

mod 2 -TT <

A<* k Ix — C

De là le théorème suivant :

Théorème. La somme

yf^(k)

tend vers zéro quand x tend vers Nnfini, et sa vcdeur absolue reste inférieure à une expression de la forme

od h est un nombre fixe, auquel nos calculs antérieurs permettent d'assigner une valeur précise.

Ce théorème résout la question que nous nous étions proposée.