INTRODUCTION

1 , La théorie des équations difTérenlielles à points critiques fixes a fait l'objet de travaux récents et nombreux, dont les principaux sont dus à MM. F'uchs (*) et H. Poincaré {^) pour le premier ordre et à MM. E. Picard (•') et P. Painlevé ( *) pour le second ordre.

Généralisant la question, M. Painlevé a étudié les équations dilTérentielles, dont l'intégrale n'acquiert qu^un nombre fini n de branches, quand la variable tourne autour des points critiques mobiles (s), sans tourner autour des points critiques fixes.

On dit alors que l'intégrale générale acquiert seulement n valeurs autour des points critiques mobiles.

Ces équations comprennent, conwiie cas particulier, celles dont Tintégrale est

(*) FucHS, Sitzungsberichte de r Académie der Wissenschaften zu Berlin; juin 1884.

(^) H. PoiNCVRÉ, Sur un théorème de M. Fuchs (Acta mathematica, t. VII).

(') E. Picard, Théorie des fonctions algébriques de deux variables {Journal de Mathématiques pures et appliquées; 1889).

(*) P. Painlkvé, Mémoire sur les équations différentielles du premier ordre {Annales de r École Normale; 1891-1892). — Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles professées à Stockholm en 1895. Paris, Hermann ; 1897.

(5) Les points critiques mobiles sont ceux qui varient avec les constantes arbitraires d'intégration et les points ^ore^ sont ceux qui sont Tnclépendanls de ces constantes. Quand la variable complexe x décrit un contour/erme, on dit ({Moelle n'a pas tourné autour du point X = aro, par exemple, si la variation totale de l'argument du vecteur XqX est nulle.

une fonction analytique n'admettant que n branches dans tout son domaine d'existence.

2. Ce travail est consacré à la détermination explicite des équations différentielles du premier ordre dont Yintégrale générale n'admet qu'un nombre fini de branches ou plus généralement n'acquiert qu'un nombre fini de valeurs autour des points critiques mobiles.

Soit

une équation différentielle du premier ordre, où F est un polynôme en y' ^ y dont les coefficients sont des fonctions analytiques de x.

On peut se proposer de former toutes les équations (i) de degrés donnés en y' et en^, et dont l'intégrale n'acquiert qu'un nombre donné n de valeurs autour des points critiques mobiles.

Pour fixer les idées, supposons que F soit du premier degré en j^'', et soit

, A(y,.a?) X«(a:)j^« + ...-t-Xo(^) ^

l'équation considérée, où A et B sont des polynômes eny de degrés a et p. Appelons degré en y de Téquation (2) le plus grand des deux nombres a, {3 + 2; après une transformation homographique quelconque, effectuée sur^, a est égal à jî H- 2.

Cherchons à déterminer toutes les équations (2) de degré donné q en y (soit ^r = 4) dont rinlégralej^(j:) n'acquiert qu'un nombre donné n de branches (soit n = 3) autour des points critiques mobiles. ' L'intégrale de (2) peut alors recevoir la forme

ai y, œ)

~r-^ — '- =const.,

où a el b sont des polynômes en^ de degré /i.

Si l'on exprime que l'équation (2) satisfait à cette condition, on forme évidemment un système de relations différentielles algébriques entre. les coefficients Xa, . . . , Xo, [^p, . . ., [i-o de A, B. Mais il serait très pénible de discuter la compatibilité de ces relations et le degré de généralité de leurs solutions. Enfin il resterait à intégrer ces relations pour obtenir les coefficients X, u en fonction des constantes et Ae% fonctions arbitraires qu'ils comportent.

Toute la difficulté du problème consiste donc à déterminer explicitement loules les équations (2) répondant à la question, c'est-à-dire à déterminer les X,

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 5

ji. en fonction algébrique des fonctions et constantes arbitraires dont elles dépendent.

Ce problème a été entièrement résolu par M. Painlevé pour les équations (a).

3. Mais quand on passe aux équations du second degré en y ^ la méthode, bien que subsistant en principe, se heurte à dqs difficultés nouvelles.

Je me propose donc de traiter complètement ce problème pour les équations du second degré en y' . D'une façon précise, soit

(3) L/«~2My-+-N=o

une équalion différentielle, où L, M, N sont trois polynômes en y, de degré gr,, 72» ^3 (analytiques en x). Soit q le plus grand des trois nombres q^ -f- 4j 7a-4- 2, q^. Nous nous proposons de déterminer explicitement toutes les équations {i) de degré donné q en y y dont V intégrale générale n* acquiert qu^un nombre DONNÉ n de branches autour des points critiques mobiles.

Par le mot explicitement, il faut entendre que les coefficients '^{x), ..., [jl(2:), ..., v(a:), ... dont dépendent les polynômes L, M, N doivent être déterminés en fonction algébrique àe constantes arbitraires et A^^ fonctions arbitraires de x (et de leurs dérivées).

-i. La méthode que nous employons repose sur certaines propriétés établies par M. Poincaré et M. Painlevé sur les équations différentielles du premier ordre, et que nous rappellerons tout d'abord.

En premier lieu, comme Ta montré M. Poincaré, les équations à points critiques fixes s'intègrent algébriquement, ou par une quadrature, ou se ramènent algébriquement à une équation de Riccati,

D'autre pari, d'après un théorème de M. Painlevé, si l'intégrale générale n'acquiert que n valeurs autour des points critiques mobiles, cette intégrale

générale

y = 9(x-, 7o» -^Po)»

considérée comme fonction de la constante arbitraire ^o («^o ayant une valeur numérique, zéro par exemple), est une fonction algébrique de y^^,

M. Painlevé a déduit de ce théorème que, quelle que soit n, l'équation

se ramène algébriquement aux équations à points critiques fixes. Son intégrale générale s'obtient, par suite, algébriquement, ou dépend soit d'une quadrature, soit d'une équation de Riccati,

(i A. CAflEK.

0. Enfin, je rappelle encore les deux théorèmes sulvanls dus à M. Paînlevé :

1. Etant donnée une équation (A), on sait reconnaître, à Vaide dUin nombre rivi.d* opérations, si son intégrale y{x) ne prend qu'un nombre DONNÉ n de valeurs autour des points critiques mobiles, et, dans ces condilions, r équation s'intègre algébriquement, ou se ramène algébriquement,

soit à une équation

du -v / X j

= A(j?)rf.r, '

soit à une équation de Riccati.