II. Soit une équation donnée

ALGÉBRIQUE cny^y^ ce; on sait (à Vaide d'un nombre fini d'opérations) reconnaître si ^intégrale générale est une fonction transcendante qui ne prend qu'un nombre fini (inconnu ) {*) de valeurs autour des points critiques mobiles, ou ramener l'équation aux quadratures.

6. Cela posé, considérons d'abord une équation du premier degré en j/,

et cherchons à déterminer explicitement toutes les équations de celte forme, de degré q donné en y, et dont l'intégrale générale acquiert un nombre donné n de valeurs autour des points critiques mobiles.

M. Painlevé a développé une discussion complète, relative à la compatibilité des conditions imposées aux coefficients aj, b/c dans un Mémoire (^) consacré à Tétude plus générale des équations (2) dont Tintégrale générale est de la forme

c^h(x)[r^g,{x)yr[y-g,{x)y..,.[y-g,,(x)Y^,

où /i, «2) • ■ •» tf( sont des constantes numériques données, et A, ^1, ^2? • • • ? ©"a des fonctions inconnues de x.

Je reprends tout d'abord l'exposé de celle méthode, en lui faisant subir certaines modifications, et je l'applique à la formation explicite de tous les ivpes

(^; Ce nombre est le même pour toutes les intégrales, sauf pour certaines intégrales exceptionnel/es, (*) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse^ G. i-35; 1896.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 7

d'ëqualions (2) de degrés 3, 4> 5, 6, 7, 8 en y doiU Tinlégrale générale prend deux, trois on quatre valeurs autour des points critiques mobiles (*).

Quant au passage des équations du premier degré aux équations du second degré en y^ la méthode montre bien encore que les conditions imposées aux coefGcients de Téquation (i) peuvent recevoir une forme algébrique, mais la question de compatibilité entre ces relations algébriques présente des difficultés nouvelles, où interviennent les intégrales singulières et les lieux des points de rebrousse menls des intégrales.

Avant d'exposer en détail la méthode et la discussion à laquelle elle donne lieu, je voudrais, dans cette Introduction, en indiquer rapidement les principes.