V. — Nombre de constantes et de fonctions arbitraires

DONT DÉPEND l'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

14. L'équation (2), nous venons de le voir, dépend de /+4 fonctions arbitraires et de 2/1 + A* — q constantes arbitraires distinctes ; mais en sera-t-il de même pour l'équation (i)? Quel sera le nombre de fonctions et de constantes arbitraires dont dépendra celte équation?

Je dis que Téquation différentielle (i) dépendra de /-h ^fonctions arbitraires et de l constantes arbitraires, l désignant le nombre in-{-k — q — 3 si ce dernier nombre est positif et étant égal à zéro dans tous les autres cas. II suffit, pour le démontrer, de nous appuyer sur la proposition suivante :

Quand l'intégrale d^une équation (i) prend exactement n valeurs autour des points critiques mobiles, et que le genre tj3 de la relation entre les constantes intégrales est nul, on peut mettre l'intégrale sous la forme (2) et

toutes les formes (2) s^ obtiennent en effectuant sur C une transformation ho mo graphique à coefficients constants.

On pourra donc se servir de celle Iransformalîon de façon à donner à Irois des valeurs remarquables Cr de la conslanle des valeurs parlicuHères, soit o, i, 00, el il reslera seulemenl in -{- k — q — 3 constanles arbilraires.

Si le nombre des valeurs remarquables de la conslanle est seulement égal à deux, on donnera à ces conslanles les valeurs o et 00 par exemple; si ce nombre est égal à un, on donnera à la constante correspondante la valeur 00; enfin, s'il n'y a pas de constante remarquable, on ne fera rien.

D'autre part, les « -4- 4 fonctions arbilraires et les / constanles arbitraires figureront bien dans (i) d^ une façon indépendante.

En efiel, considérons une équation (2) où Ton ferait varier d'une certaine manière les i-f-4 fonctions arbilraires et les / constantes arbitraires; s'il lui correspondait toujours la même équation (1), on devrait, d'après la remarque précédente, passer d'une de ces formes (2) à une aulre par une transformation homographique continue, puisque la forme (2) varie d'une façon continue; ce qui est impossible, cette transformation devant conserver les valeurs o, 1, oc.

13. Remarque 7. — Dans l'équation (1) les racines y = g{^) de'L = o el les racines de QR = o sont données algébriquement à l'aide des fonctions indéterminées )v(:r), |J».(^), sans que les dérivées figurent; par conséquent, on pourra, par exemple, prendre comme /-f- 4 fonctions arbitraires, i-\-^ des coefficienls de L, Q, R, et les autres coefficients de (i) s'exprimeront algébriquement en fonction de ceux-là et de leurs dérivées.

Remarque IL — On pourra se servir de la transformation homographique pour abaisser, par exemple, au degré q — 3 le coefficient N dé (i).