I. — Il Y A QUATRE INTÉGRALES SINGULIÈRES

1 . y = O, A* r^ 4- L'équation la plus générale correspondante est de degré huit. C'est en même temps Téqualion la plus générale dont Tinlégrale acquiert deux valeurs autour des points critiques mobiles.

Pour la former, il suffit de partir de la relation

(«,/*+ «i7 H- ao)C»- 2(p,j»-4- p,y 4- (3o)C -t- y»/*-»- yi7 + y^—o.

Si Ton suppose que y = o, ^==1,^=00 sont intégrales ordinaires correspondant à C = o, C = I , G = x>, on aura entre les a/, Pi,.Yi les relations

«1=70=^0, «i-hi — 2(î3,-h(3,-f-(3o)-f-y,-i-yi = o. L'équation différentielle demandée s'écrira

|(a,7,4-2yî7 4-y,)r'H-7[(a,y;~y,a;)7*4-(aiy;--y,a;-hy;)/H-/Jj» -4[(«,p,y*+ 2(3,7 -+-P»-a,(3o)/+(a,(3;-.6,a;)j»

+ (a, (3; - (3, «; 4- (3;)7«+ (a,p; - (3oa; 4- (3; )7 4- [3^]

X ![{Piy2-yiPî)r'H-2(3oy,7-+-(3oyJ/

+ (P.y;-yîP;)y*+((^.y;-y«P; + Piy;-yiP;)y'

+ (Piy'i ~ yiP; 4- Poy;- y,p;) v»-^ ((3oy;- y.(3;)/| =

ou encore

où L, M, N sont des polynômes de degrés 4, 6 et 5, dont je me dispense d'écrire les développements.

5o A. CAHEN.

2. Si l'on avait voulu meltre en évidence les quatre intégrales singulièreSj on aurait pu se servir de la transformation homographique et du changement X = 'f (X) de façon que ces intégrales fussent j' = o, y = }^y = cc^y = ûr^ en posant

(?t7*+ ?i/ ^- !3o)*- («27'+ «ly 4- «o) (y«7' -+- viy -+- yo)

= 7(j— 0(r -«^OC^PiP,— a.yj— y,as)

avec les conditions

Pî — ajy2= o, j3; — aoVo= o, 2^,(3,— a, y,— y, a, + [3? 4- 2(3o(3,— ar/o— y»— «lyi-l- 2(3oPi— a,yo — yi~ o»

( ^- P, pî — a, yj — y, a, ) a:» -h . . . m o ;

mais il vaut mieux, pour ce qui va suivre, s'en tenir à l'équation (3).

3. Équatioks de degré sept. — Si nous exprimons maintenant qu'il y a une intégrale remarquable ^ = oo, par exemple, pour C = oo, nous obtenons une équation différentielle de degré sept, qu'on déduit de (i) en faisant aa= o; d'où

(2) Li/*-2]V1,7'-H7(v-j)Ni=zo,

L,, M<, N| étant de degrés 3, 5 et 4 en 7.

4. Equations de degré six. — Pour ces équations, il ;y a deux intégrales remarquables, soient y = 00, y = o pour C = oc et C = o, par exemple ; il suffit de poser, dans (2), y, = o; d'où

x[(y.|3.J+2(3oy,)/

OU bien encore ^

[(2|3,7 + (3.) (y.iS,/ + a^oy.) - yh]y* + î(2?./ + (3.)[((3,y;-y.p;)J' + (P.y;-y,p;)7»^-■(p„y;-y.p;)/]

+ r(7-')ÎP;(^y;-y,p;)7'

s. Equations de degré cinq. — H J a ici trois valeurs remarquables de la constante, soient C = 00, C = o, C = i avec j^ = x, y = o, y = i , par exemple,

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. DI

comme solutions remarquables correspondantes; d^où

2(P,-+-?i,-h(3o) = i-+-y„ ayj^aPj-f-p,.

L'équation diflférentielle de degré cinq, que l'on obtient, s'écrit

-(îo(2y.(â', + (3,y; + 3p;y,)y-2PoP;y2]7'

-^[p;(?iy;-y.p;)-^i3,y;-y.p;+p;(p,y;-y,p;)]/

-+-P'o(y«?'o~y;Po)| = o,

où l'on doit remplacer po P^^r Pa H ^ et Pi par ya — 2 P^.

6. Équations a points critiques fixes. — Il est impossible d'avoir un abaissement plus considérable, sans que l'équation correspondante ait ses points critiques fixes.

Four vérifier celte remarque sur l'exemple que nous venons de former, exprima •

nions que, pour la valeur C| de la constante, j^i = ^ = 1 H -^ est une intégrale remarquable. L'expression

devient un carré parfait quand on y remplace C par C| etj^ par j^,. Posons

l'intégrale générale s'écrit alors

( 3 ) C*— C[A.Vr«- B*(7 — 1)»-+- 1] 4- A=j'= o.

Écrivons que, pour C == C|, Téquation admet la solution remarquable

Gomme pour C = C|, le premier membre de (3) étant carré parfait, ji a également pour expression

Ci(A*-B^)'-A*

et, par suite, on obtient successivement

^- (,-A* • L'équation (3) peut donc s'écrire

[(I - C, ) (C, - A') + C(C, - I)] AV« — 2C(C,-i)A-7 + C[(C, — A»)(C-i) + A'(C,-i)l = o

^ A(C-.)C^ ,/(Ai:,.)(A--c,) m^^TKc^. )

C(A«— i)H-Ci-A*

C'est une équation à points critiques fixes, dont la relation entre les constantes intégrales^ primitivement du genre zéro, s'écrit maintenant

Elle est donc devenue de genre un (*), par suite de l'existence de quatre solutions remarquables.

L'équation difierenlielle s'écrit, d'ailleurs,

avec

v-A' ,6- AMi-A') A'((:.-.) 3 C.C-AM

IL — Il Y A DEUX INTÉGRALES SINGULlt^RES.

7. Equations de degré six. — Dans ces conditions, le degré maximum de l'équation différentielle est égal à six. C'est le cas où il ny a pas de solution remarquable. Disposons des coefficients de la transformation homographique, de façon que les deux intégrales singulières soient ^ = o, j^ = oc, et que, dans p2 aY£^n2R, n se réduise à l'unité.

L'intégrale générale

(*) Sur \q passage du genre zéro au genre un, voer les n"* 12 et 13 du Chapitre VI. (') Ci désigne, comme nous l'avons dit, une constante arbitraire.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 53

peut s'écrire actuellement

est divisible par

Soit Y2>'^-h Y* J^ ^~ To '^ quotient, on calcule facilement les coefficients V2, y, , yo

les a/, ^y étant liés par les deux relations

L'équation différentielle s'écrit alors