o-a,/oj

où les Yo, Yij Y2 doivent être remplacés par les valeurs (4), les a/, ^y étant liés par les relations (5).

8. Equations de degré cinq. — Il suffit d'exprimer qu'il j a une solution remarquable pour C = 00 par exemple; d'où a^ =4ot2 2to.On vérifiera que le facteur ^3t2j'-|- a, figure dans le premier membre de l'équation différentielle formée précédemment. C'est là une vérification un peu longue, mais qui ne présente aucune difficulté. On supprimera ce facteur yiajj- -|- a, , et Ton obtiendra Téqualion de degré cinq demandée.

9. Equations a points critiques fixes. — Si nous exprimons que l'abaisse-

menl est plus considérable, c'est-à-dire qu'il y a deux solutions remarquables, le degré de l'équation différentielle ainsi obtenu est égal à quatre. Mais, comme il y a deux intégrales singulières, sans lieux de points de rebrou ssement (y = o), nous avons affaire à une équation à points critiques fixes. Vérifions qu'il en est bien ainsi.

Pour cela, écrivons l'intégrale générale sous la forme

C»-2(p,7«-f-(3i7-+-PoC-+-y,y«=^o,

y = o, j'- = 00 étant les deux solutions remarquables pour C = o et C = oo. Soit (y — I )* le carré parfait II=* figurant dans le discriminant p* — ay. Si

est divisible par {y — i)', on aura entre les a/, p/, y/ les relations

et, par suite.

Il en résulte que Tinlégrale générale

C«-2[i3,0«-M) + (3,r]C + (2p,+ ^.)«j»r=o qu'on peut écrire

[(2(3,+ p,)«-2i3î](7-ir+(2(3,^(3,-Cr-=o devient

v/(2(3,-fP,)»-2p, L^équation a donc bien ses points critiques fixes.