Partie préliminaire
Tout déplacement d'une figure plane de forme invariable dans son plan peut être considéré comme produit par le roulement sur une courbe fixe déterminée, d'une courbe mobile déterminée à laquelle la figure plane est reliée invariablement.
Si la figure plane se réduit à un point, les courbes qui définissent le roulement deviennent indéterminées , à moins qu'on ne les assujettisse à certaines conditions ; par exemple on peut astreindre soit la courbe mobile, soit la courbe fixe à être une droite. Or, tout déplacement d'une figure plane réduite à un point, engendre une courbe plane. On est ainsi conduit à considérer une courbe plane quelconque comme engendrée, soit par le roulement d'une droite mobile sur une courbe fixe, soit par le roulement d'une courbe mobile sur une droite fixe.
La génération d'une courbe plane considérée sous l'un
de ces deux points de vue n'est pas encore une génération déterminée, c'est-à-dire qu'on peut engendrer une courbe plane donnée d'une infinité de manières différentes, soit par le roulement d'une droite sur une courbe, soit par celui d'une courbe sur une droite.
Mais la génération n'est plus possible que d'une seule manière, si l'on astreint la droite à être constamment normale à la courbe donnée.
Ceci est évident dans le cas du roulement d'une droite sur une courbe. Car, si la droite doit toujours être normale à la courbe donnée, la courbe sur laquelle doit rouler cette droite pour engendrer la courbe donnée, ne peut être que la développée de cette dernière courbe ; elle est par suite parfaitement déterminée.
Dans le cas du roulement d'une courbe sur une droite, la proposition subsiste, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'une courbe qui en roulant sur une droite fixe puisse engendrer une courbe donnée .
On dira que cette courbe est la déroulée de la courbe donnée.
Pour rendre cette proposition plus claire, comparons le roulement d'une droite sur une courbe au roulement d'une courbe sur une droite.
I. — Génération S une courte plane par roulement d'une droite sur une courte.
Etant donnée une courbe E (fig. 1), une droite quelconque D et un point m sur la courte, il existe une certaine courte G et une seule, telle que le point m engendre la courte E, lorsque la droite B roule sur G en entraînant m.
Car il y a toujours une manière et une seule de déterminer la courbe G élément par élément: le point m étant
donné, la normale mO à la courbe E est déterminée; le point d'intersection de cette normale avec la droite D . est le centre instantané de rotation du mouvement que doit prendre cette droite. Lorsque D a tourné d'un angle infiniment petit clB autour de et a pris la position D', le point m est venu en m\ tel que mm' = mO. dO; la nouvelle position m' du point m est bien déterminée ; par suite aussi celle de la normale m'O' ; celle-ci détermine sur D' le point 0' et 00' est le premier élément de la courbe 0; les autres s'obtiendront de la même manière.
La droite D étant donnée, la courbe G varie suivant la position initiale du point m sur la courbe E; ce point m peut être choisi arbitrairement sur la courbe donnée, excepté à Vun des points d'intersection de cette courbe avec la droite donnée ; il peut toutefois être choisi aussi près que l'on voudra de cette intersection,
En effet si l'on choisit le point m au point d'intersection A, le point se confond avec A: donc lorsque la droite D tourne autour de A d'un angle d9, le point générateur reste immobile, puisqu'il est au centre de rotation.
Il y a exception si la droite D est normale à la courbe E ; dans ce cas le point m peut être choisi en A, et si l'on astreint la droite à être constamment normale à la courbe, le point générateur m est forcément sur la droite D ellemême.
En effet, si les deux positions D et D' de la droite mobile doivent être normales à jS, le point est le centre de courbure correspondant au point A; mais puisque m est une normale, pour qu'elle passe par ce centre de courbure, il faut que le point m soit lui-même infiniment voisin de A. La courbe E est alors une développante de 0,
c'est-à-dire que la courbe doit être la développée de la courbe donnée.
Ainsi en résumé :
1° La génération d'une courbe par roulement d'une droite sur une courbe, n'est pas une génération déterminée si Von ne fait aucune restriction.
2° La restriction qui détermine cette génération consiste à astreindre la droite mobile à être constamment normale à la courbe donnée.
3° La courbe sur laquelle doit rouler une droite pour engendrer la courbe donnée dans ces conditions est la développée de la courbe donnée.
Lorsqu'une droite roule sur une courbe, tous les points de la droite deviennent successivement des points de contact, à moins que la courbe n'ait des points de rebrousse» ment (fîg. 2). Dans ce cas^ si B est le point de la droite D qui vient coïncider avec le point de rebroussement, tous les points de D situés au delà de B ne peuvent pas devenir des points de contact, à moins de considérer la tangente AT au point de rebroussement comme faisant partie de la courbe G; tous les points de D au delà de B deviennent alors simultanément des points de contact.
On verra qu'au point de vue du roulement, il convient de considérer les tangentes aux points de rebroussement comme faisant partie intégrante de la courbe sur laquelle se trouvent ces points singuliers, parce que ces tangentes ne troublent en aucune manière le roulement, et en les considérant comme appartenant à la courbe, on supprime les exceptions dans l'énoncé des théorèmes»
Ainsi, avec cette convention, on peut dire quhme courbe rencontre toujours sa développée? qu'elle ne la coupe qu'à angle droit et qu'aux points de rencontre correspond tou-
jours un point de rebroussement soit sur la courbe ellemême, soit sur la développée 1 .
IL— Génération d'une courbe plane par roulement d'une courbe sur une droite \
Etant donnée une courbe E et une droite quelconque D il existe une certaine courbe G et une seule, telle qu'un point m du plan engendre la courbe donnée lorsque ladite courbe G roule sur la droite en entraînant le point m.
Car il y a toujours une manière et une seule de déterminer la courbe G élément par élément : prenons un point m quelconque sur E (fig. 3), la normale mO est déterminée; considérons la normale infiniment voisine m'O': le point est le centre instantané de rotation et lorsque m' vient en m en tournant autour de 0, le point 0' vient en un certain point Q; OQ est le premier élément de la courbe G; les autres éléments s'obtiennent de proche en proche de la même manière.
Ce second mode de génération par roulement diffère du premier, car dans celui-ci, alors même que la courbe E et la droite D étaient données, la courbe G variait avec la position initiale du point m ; tandis qu'ici, on trouve toujours la même courbe G (mais dans différentes positions) quelle que soit la position initiale du point m sur E.
Néanmoins le second mode de génération conduit à la même proposition que le premier, à savoir que le point m peut se trouver n'importe où sur la courbe E, excepté aux
1 On entend ici par « points de rencontre » non pas tous les points de rencontre fortuits, mais seulement ceux qui sont relatifs à des points correspondants sur la courbe et sur sa développée.
2 Dans ces deux paragraphes certains passages ont été mis en caractères italiques afin de faciliter la comparaison entre les deux modes de génération.
points de rencontre de cette courbe avec la droite donnée D.
En effet, si l'on choisit le point m au point A, le point se confond avec A, donc le point m tourne sur lui-même sans pouvoir décrire de courbe, à moins que la droite D ne soit normale à la courbe E.
Ainsi, lorsque la droite D est quelconque, la courbe G est telle que lorsqu'elle roule sur la droite, le point générateur m ne peut jamais traverser cette droite ; si la droite D ne rencontre pas la courbe J57, la courbe G n'offrira rien de particulier; mais si elle la rencontre, la courbe G aura forcément la forme d'une spirale dont le point asymptotique est le point m, et lorsque la spirale roule sur D, le point m n'atteint jamais le point A (fig. 4).
A la portion E' de la courbe E qui est de l'autre côté de la droite D, correspond une autre spirale, de sorte que la courbe G complète est formée de deux spirales ayant même point asymptotique.
La courbe E peut donc toujours être engendrée par le roulement d'une courbe sur une droite quelconque, si Ton supprime les éléments de la courbe E qui se trouvent sur la droite fixe. Or, ces éléments étant supprimés, la droite D ne rencontre plus la courbe E\ ainsi, pour que la génération par roulement soit possible, il faut et il suffit que la droite donnée ne rencontre pas la courbe E (ce qui veut dire que si elle la rencontre, on doit supprimer les éléments de la courbe qui se trouvent aux points d'intersection).
Il n'en est plus de même lorsque la droite D est astreinte à être constamment normale à la courbe E.
Dans ce cas ; le point générateur peut coïncider avec les points de rencontre de la courbe E et de la droite fixe; en effet si m est en A, le point ne coïncide plus
avec le point A mais il se trouve au centre de courbure de la courbe E correspondant au point A, puisque dans ce cas mO et I) sont deux normales infiniment voisines de la courbe E.
On voit aussi que la génération de la courbe E devient déterminée, parce qu'il n'existe en général qu'un nombre limité de droites qui ne coupent une courbe donnée qu'à angle droit. Ainsi les coniques en possèdent au plus deux, savoir leurs axes réels. Toute droite jouissant de cette propriété sera appelée base de la courbe donnée.
La condition qui rend déterminée la génération d'une courbe plane par roulement d'une courbe sur une droite est donc la même que celle qui détermine cette génération par roulement d'une droite sur une courbe, Lorsque cette condition est remplie, le point générateur se trouve en général sur la courbe mobile elle-même, de même que dans le premier mode de génération, il se trouve sur la droite mobile.
La courbe mobile qui engendre une courbe donnée en roulant sur la base de cette dernière, sera appelée déroulée de la courbe donnée. Réciproquement, lorsqu'une courbe mobile roule sur une droite, les roulettes engendrée par les différents points de cette courbe seront les déroulantes de cette dernière. De même que toutes les développantes d'une courbe fixe sont normales à la droite mobile, de même toutes les déroulantes d'une courbe mobile sont normales à la droite fixe sur laquelle elle roule.
Ainsi en résumé :
1° La génération d'une courbe par roulement d'une courbe sur une droite, n'est pas une génération déterminée, si Von ne fait aucune restriction,
2° La restriction qui détermine la génération consiste à
astreindre la droite fixe à être constamment normale à la courbe donnée (c'est-à-dire à être une base de cette courbe).
3° La courbe qui doit rouler sur une droite 'pour engendrer la courbe donnée dans ces conditions se nommera déroulée de la courbe donnée.
Enfin : Une courbe rencontre toujours sa base et ne la rencontre qu'orthogonalement (d'après la définition même), et aux points de rencontre d'une courbe avec sa base correspond en général un point de rebroussement soit sur la courbe elle-même, soit sur sa déroulée.
Les deux modes de génération des courbes par roulement que nous venons de considérer conduisent à l'étude du problème inverse de celui que Ton traite généralement dans la théorie des roulettes. C'est-à-dire qu'au lieu de rechercher la roulette décrite par un point du plan, lorsqu'une certaine courbe roule sur une droite, on se propose de trouver quelle est la courbe qui doit rouler sur une droite donnée pour engendrer une courbe donnée.
Tel est le problème que nous avons plus particulière» ment en vue ; nous traiterons toutefois aussi de la théorie des roulettes en général.
Sue la théorie des roulettes planes.
On représente souvent une courbe par l'équation d'une droite mobile :
x sin a — y COS a = f(a) (1)
a étant un paramètre variable; ce paramètre est l'angle que fait la droite mobile avec l'axe des x. La courbe définie par cette équation est l'enveloppe de la droite mobile ;
elle est donc entièrement déterminée par la fonction f(a); lorsque cette fonction est donnée, on peut obtenir l'équation ponctuelle de la courbe en éliminant a entre l'équation (1) et sa dérivée par rapport à «. Sans qu'il soit nécessaire d'éliminer «, on peut considérer les deux équations:
x sin a — y cos a = f(a) f() ,
x cos a -f- y sin a = f(a)
comme les équations de la courbe en fonction d'un paramètre auxiliaire, qui est ici l'angle de la tangente avec l'axe des x.
Toute courbe y = <p(x) peut facilement se mettre sous cette forme puisqu'il suffit de poser :
— = rj(x) = tang a
équation d'où l'on tire x et par suite y en fonction de a. On sait que lorsque l'équation d'une courbe est mise sous la forme (2), l'élément d'arc de cette courbe a pour va™ leur :
ds = [f{a) + f" («)] da
ainsi qu'il est facile de le voir, en calculant dx et dy en fonction de a. Les fonctions f(a) et f'(a) sont respectivement égales aux distances de l'origine à la tangente et à la normale à la courbe qui correspondent à l'angle «.
Si la courbe est tangente à l'axe des x (fig. 5) et que s représente l'arc compris entre le point de contact 0' et le point M où la tangente fait l'angle a avec l'axe des x, on a:
00' + S = . S f(a)da + f (a)
puisque f (0) = et que f (0) = TJÔ.
1° Roulement d'une courbe sur une droite. Le problème direct s'énonce ainsi :
Étant donnée une courbe r qui roule sur une droite , trouver l'équation de la roulette R décrite par un point quelconque m, invariablement relié à la courbe mobile.
On prendra toujours la droite fixe comme axe des #, l'origine étant du reste un point quelconque de cette droite (fig. 6).
L'équation de la courbe mobile r dans sa position initiale est donnée sous la forme :
x sin a — y COS a = f(a) x cos a 4- y sin a = f\y)
On a aussi f(0) = 0; f(0) = 00', puisque la courbe est tangente à l'axe des x. Soit m la position initiale du point entraîné; u et v ses coordonnées (u = Op,v == mp).
Prenons un point A quelconque sur la courbe r; ses coordonnées sont x = OC et y — AG ; et cherchons quelle sera la position du point entraîné, lorsque le point A sera devenu le point de contact de la courbe avec l'axe des x. La tangente en A fait avec cet axe un angle « ; menons encore la normale An au point A et appelons t et n les coordonnées du point m relativement aux axes At, An (t = Ar y n = mr).
Lorsque le point A sera devenu point de contact , il occupera sur ox la position J3, telle que O'B = arc OA = s, et si l'on suppose les axes At, An entraînés, At viendra coïncider avec Bx et le point m occupera la position .M, telle que Bq = Ar = t * t Mq = mr = n.
Si l'on désigne par X et Y les coordonnées du point M par rapport aux axes fixes Ox 9 Oy, on a donc
X = Oq = 00' + OB + Bq= 00' + s + tf Y = Mq = n
Or, en projetant le polygone fermé Armp C respectivement sur At et sur An, on a :
t = (u — x) cos a + (v — y) sin a
n = — (u — a?) sin a-\- (v — y) cos a
Mais puisque le point A est sur la courbe r, on a
# COS a -f- 2/ Sin a — f (a)
et
a? sin a — y cos a = f (oc)
Par suite
£ = w cos a + # sin « — T (°0
W = — WSilla -|- ^ COS a ~j~ f (a)
D'autre part, on a vu que
oo' + s= I ^ A«)^ + f W
Donc :
"0(7 -f S -)- £ = U COS a + ^ s i n « + S A a ) ^<*
Et comme 00' -f s -j~ « = Z et n = Y et que X et 7 sont les .coordonnées d'un point quelconque de la roulette B décrite par le point m, l'équation générale des roulettes, engendrées par le roulement de la courbe r sur l'axe des x est
\ X = U COS a -f- v sin « -f- i f(oc
\ Y = — usina -f v cos a + / («) « étant un paramètre arbitraire.
En particulier, la roulette décrite par l'origine s'obtient en posant u = o et v = o; elle a donc pour équation
X= ! f{a)da
Exemple : Une parabole roule sur. une droite, trouver la roulette décrite par son foyer.
On peut prendre pour origine le point de contact de la parabole lorsque l'axe de celle-ci est perpendiculaire à la droite fixe (prise comme axe des x). L'équation de la parabole est alors x 2 — 2py. d'où -^ = — = tang «. On rjl dx p
peut donc mettre cette équation sous la forme
fx = p tang a / y = |- tang 2 a
ou encore
p sin 2 a ~, ,
X Sin a — y COS a = 77 = fia)
J 2 cos a ! v J
Telle est l'équation de la parabole considérée comme enveloppe d'une droite mobile. Donc si u et v sont les coordonnées d'un point quelconque du plan, lorsque le sommet de la parabole est point de contact, la roulette décrite par ce point a pour équation d'après les formules (3) :
X = u cos a + v sin a -j- ~y -7T 1°§ T
TZ , , p sin 2 a
Y . = — W Sin a + ^ COS a + -V
a ce
