sin a 1 sin a
- sin a
COS a
<5 La roulette décrite par le foyer s'obtient en posant
u = o et # = -~- ? son équation est donc :
4 & 1 — sin a
2 COS a
ou en éliminant a
J' = -V cosli '
c^est l'équation d'une chaînette.
Traitons maintenant le problème inverse : Etant donnée une courbe quelconque, trouver V équation de la courbe qui en roulant sur une droite donnée engendre la courbe donnée.
On peut toujours prendre la droite fixe comme axe des x ; la solution de ce problème peut alors se déduire de la forme de l'équation générale des roulettes, c'est-à-dire de la forme particulière des formules (3).
La seconde de ces formules est la dérivée par rapport à a de la première ; donc lorsque l'équation de la courbe donnée est exprimée en fonction d'un paramètre arbitraire a et se trouve être de la forme :
fr= *'(«) ()
F' étant la dérivée de F, on peut trouver immédiatement la courbe qui en roulant sur l'axe des x , engendre la courbe. donnée, en identifiant l'équation de cette courbe avec les équations (3). On obtient ainsi :
jF\ a ) = ^ COS a ~\- V SÎn a -f I /(a)d!a
JP^a) = — W Sill a -f- V COS a -f /W
La dernière de ces équations détermine la courbe cherchée f(a) , à condition de connaître les constantes w et v ; or, comme les équations précédentes expriment des identités, on obtiendra la valeur de ces constantes en posant a = , d'où :
et par suite :
f {a ) -= jF(0) sin a — F(0) cos a + .*'(«)
La courbe qui en roulant sur o$ engendre la courbe donnée a donc pour équation :
\x sin a — y cos a = F(0) sin « — jF'(O) COS a + .F'(a) ^ COS a + ^ sin a = F(0) COS a + i*'(0) sin a + F"(a)
Si Ton prend pour origine, sans changer la direction des axes, le point de la courbe donnée dont les coordonnées sont u = jF(0) et v = F'(0) , les équations de la courbe cherchée se réduisent à :
x sin a — y COS a -— F' {a) (r
x cos a -f y sin a = F'\a)
mais le roulement a toujours lieu sur l'ancien axe des x. Exemple : L'équation ordinaire de la cycloïde en fonction d'un paramètre variable est :
X = B (a — sin a) Y= B(l — cos a )
Ces équations sont donc de la même forme que les équa-
lions (4), c'est-à-dire que Y = -y- . Diaprés les formula
les (5), en transportant les axes parallèlement à euxmêmes au point dont les coordonnées sont u = F(0) et v = jF'(O) , l'équation de la courbe qui en roulant sur Fancien axe des x engendre la cycloïde, est :
x sin a — y COS a = B (1 — COS a) x cos a -f- y sin a s= B sin a
Mais dans le cas actuel jP(0) = et F'(0) = 0, il n'y a donc pas lieu de changer les axes; du reste en éliminant a entre les dernières équations, on trouve :
x" + (y — ny = b %
équation d'un cercle tangent à l'origine à l'axe des x. Or la cycloïde passe elle-même par l'origine, donc le point générateur est sur le cercle mobile.
Comme l'axe des x est ici la base de la cycloïde, on dira que le cercle est la déroulée de la cycloïde et, puisque le point générateur est sur le cercle, on voit que la cycloïde est une déroulante de sa déroulée.
Considérons maintenant le cas général où la courbe donnée est une courbe quelconque : ¥ = <p(.X). On peut représenter la même courbe d'une infinité de manières en fonction d'un paramètre auxiliaire a ; on doit donc se demander si l'on peut toujours introduire un paramètre dans l'équation de la courbe donnée de telle sorte que l'Zde la courbe soit la dérivée de son X prise par rapport à ce paramètre, ou si cela est possible de plusieurs manières.
On doit avoir 1 ï? = Y d'où « = f ' ~ + e
ce qui peut s'écrire, w étant une constante arbitraire :
^ dX
w est alors la valeur de X qui correspond à a = 0.
De l'équation (6) on tire X en fonction de a et de la constante u : X = F(a,u).
1 Cette remarque permet de démontrer facilement les théorèmes bien connus de Steiner :
1° Lorsqu'une courbe roule sur une droite, Paire (en coordonnées cartésiennes) de la trajectoire décrite par un point m entraîné dans le roulement est à chaque instant égale au double de Paire (en coordonnées polaires) de la podaire du point m par rapport à la courbe roulante (dans sa position initiale).
Soit X, Y les coordonnées d'un point quelconque delà trajectoire du
point m. Puisque ces coordonnées satisfont à la condition -r- = Y, on a :
YdX = T 2 da
ce qui démontre le théorème, car Y est évidemment égal à la distance du point m à la tangente à la courbe roulante qui est inclinée de l'angle a , donc Y est égal au rayon vecteur de la podaire.
2° L'arc de la trajectoire du point m est à chaque instant égal à l'arc de la podaire.
L'angle de la tangente à la trajectoire et de l'axe des x a pour tan-
dY gente : jy , l'angle de la tangente à la podaire et de la normale à
dY son rayon vecteur a pour tangente : y-, - , puisque ce rayon vecteur
est égal à Y. Ces deux angles sont égaux puisque dX = Yda\ si l'on désigne par V la valeur commune de ces deux angles, l'élément d'arc
de la trajectoire du point m est égal à : ~-~y et l'élément d'arc de la
podaire à : -—^7 . Ces éléments sont clone égaux, toujours en vertu r cos V 070
de la relation : dX = Yda.
On obtient ainsi l'équation de la courbe donnée
r=cp(X)
sous la forme voulue :
X=F(ec,u)
Ces équations représentent toujours la courbe donnée, quelle que soit la valeur attribuée à la constante u. Cette transformation étant opérée, l'équation de la courbe qui en roulant sur Taxe des X engendre la courbe donnée sera, d'après les formules (5) :
( x sin a — y cos « = F' ^ («,w) (7)
( x cos ce -f- y sin a = F" (a,u)
à condition de transporter l'origine au point dont les coordonnées sont : F (0,u) et F' (0,^), c'est-à-dire au point de la courbe donnée qui correspond à la valeur a = ; or on vient de voir que la valeur de X qui correspond à a = est u, c'est-à-dire qu'on trouvera toujours :
En d'autres termes les équations (7) représentent la courbe cherchée, en transportant l'origine au point de la courbe donnée dont l'abcisse est u. On voit alors que la constante arbitraire u n'est qu'un paramètre de position, et que si l'on fait varier ce paramètre, les équations (7) ne représentent pas une famille de courbes différentes, mais la même courbe dans différentes positions, ce à quoi l'on pouvait s'attendre puisque la courbe cherchée est mobile.
Le problème est donc parfaitement déterminé et les
équations (7) en fournissent la solution sous une forme très commode, puisqu'il suffit de faire varier u pour obtenir l'équation de la courbe cherchée dans toutes ses positions et que la valeur de ce paramètre est l'abcisse du point générateur mobile sur la courbe donnée ; de sorte que Ton peut trouver directement la position du point générateur correspondant à une position donnée de la courbe mobile et réciproquement.
Ainsi en résumé : étant donnée une courbe quelconque
Y = cp (X) on peut toujours exprimer son équation en fonction d'un paramètre auxiliaire a de telle sorte que
dX
Y = -j- et cette transformation n'est possible que d'une
doc
manière.
On retrouve ainsi les résultats obtenus géométriquement plus haut, à savoir que lorsqu'une courbe et une droite sont données, il existe toujours une courbe et une seule, qui en roulant sur la droite donnée engendre la courbe donnée.
Exemple : Quelle est la courbe qui en roulant sur l'axe des x engendre la courbe exponentielle : Y = e x ?
Soit m un point quelconque de la courbe d'abcisse u, on a:
D'où:
X = log 1
Cette équation représentera courbe donnée, quel que soit Uj et l'on a bien pour a = o:
X = u et Y = e u
Si donc on prend le point m pour origine, l'équation de de la courbe cherchée (dans la position qu'elle occupe lorsque le point générateur est en m) est, d'après les formules (7) :
x sm a — y COS a = — x cos a -f- y sin a --
En général, on ne recherche que la nature de la courbe mobile, sans se préoccuper d'obtenir son équation dans ses différentes positions ; on donne alors à u telle valeur particulière que l'on voudra, choisie de manière à simplifier les calculs. Ainsi, si la courbe donnée coupe l'axe des Y (ce que l'on peut toujours supposer, puisqu'on dispose du choix de l'origine sur l'axe des x), on peut poser u = et le résultat final est l'équation de la courbe mobile dans la position particulière qu'elle occupe lorsque le point générateur est sur l'axe des Y; cette équation ne contient alors plus de constante arbitraire. Ainsi dans l'exemple précédent, en prenant dès l'abord u = O, on aurait trouvé comme équation de la courbe mobile :
x sm a — y. COS a = x cos a -f- y sin a =
l'origine étant transportée au point d'intersection de la courbe donnée avec l'axe des Y, Dans le cas où la courbe
donnée passe par l'origine, il n'y a plus lieu de changer les axes lorsqu'on pose u = 0, car les équations (7) représentent alors la courbe mobile lorsque le point générateur est à l'origine.
La méthode analytique que nous venons d'employer conduit à la même discussion que la méthode géométrique :
Aux points de rencontre de la courbe donnée avec la droite fixe qui est ici l'axe des X, on a Y = cp (X) = et par suite en ces points, la valeur de a (éq. 6) devient généralement infinie, c'est-à-dire que la courbe mobile aura un point asymptotique et que le point générateur ne pourra jamais traverser la droite fixe, quoiqu'il puisse s'en rapprocher autant que l'on voudra.
Ainsi une courbe quelconque peut être engendrée d'une manière et d'une seule par le roulement d'une courbe sur une droite donnée, pourvu que celle-ci ne rencontre pas la courbe donnée (ce qui veut dire que si elle la rencontre on doit supprimer les éléments de la courbe qui se trouvent sur la droite).
Exemple : Quelle est la courbe qui en roulant sur une droite engendre une droite?
1° Les deux droites sont parallèles, c'est-à-dire ne se rencontrent pas: le problème est possible sans restriction.
En prenant l'axe des# comme base du roulement, la droite qui doit être engendrée a pour équation : Y = b .
n a rx dx i /v N
On a donc : a = I -r- = -r (A— u)
La nouvelle équation de la droite est ainsi :
X = u-j-ba, Y=b
d'où pour équation de la courbe cherchée, l'origine étant au point de la droite dont l'abcisse est u :
x sin a — y cos a = b x cos a. -\- y sin a —
c'est-à-dire : x" -f y 2 = 6". La courbe mobile est un cercle ayant son centre au point générateur. Dans cet exemple particulier, la constante u ne figure pas dans l'équation de la courbe mobile ; cela tient à ce que l'équation du cercle relativement au point générateur est toujours la même, quel que soit u.
Le cercle ne doit pas être considéré comme la déroulée de la ligne droite parce que dans cet exemple l'axe des x n'est pas une base de la droite engendrée.
2° Les deux droites ne sont pas parallèles. On peut prendre l'origine à leur point de rencontre, l'axe des x étant toujours la base du roulement. L'équation de la droite donnée est alors : Y = m X
tv * C x dX IX
D ou : a = — ^ = — log -
J u mX m D u
La nouvelle équation de la droite est ainsi :
\ X = u e m * ( Y = mu e m *
Donc, lorsque le point générateur est au point de la droite E (fig. 7) dont l'abcisse est u 9 la courbe cherchée a pour équation, relativement aux axes (x,y) :
x sin a — y cos a = m u e m * (7 bis)
x cos oc + y sin a = m 2 u e ma <
On tire de ces équations :
x 2 -J- y" = m 2 (1 -f- m 2 ) u 2 epM*
x m cos a -f- sin a
et - = . — — —
y m sm a — cos a
Et en posant ;
x 2 -)- ^/ 2 = p 2 et - = — tang &>
on trouve : a = &> — J5J, jB étant l'angle que fait la droite donnée avec Taxe des a?. L'équation polaire de la courbe est alors
t m(co-E)
du roulement, il faut que «, c'est-à-dire l'intégrale |
Cette équation représente deux spirales logarithmiques égales et ayant même pôle. Ce pôle est du reste le point générateur ; celui-ci peut donc décrire toute la droite E excepté l'élément qui se trouve sur Ox.
Une courbe quelconque étant donnée, pour que le point générateur puisse traverser ou seulement toucher la base
**dX
u cpX
reste finie aux points de rencontre de la courbe avec la
base; or en ces points, 9 (X) = 0. Donc si X° est une
X — X racine de © (X) il faut que l'expression — 7^^ tende vers
<P ( A ) zéro lorsque X tend vers X , ou en prenant le rapport des
dérivées, que: , , v , =
dX.
c'est-à-dire que le rapport -^ doit être nul aux points de
rencontre, ou encore: la droite fixe ne doit couper la courbe donnée qu'à angle droit.
Lorsque cette condition est remplie, on dit que la droite
fixe est une base de la courbe donnée et la courbe mobile correspondante en est la déroulée.
Ainsi pour trouver la déroulée d'une courbe quelconque, on se servira de la même méthode que précédemment, en ayant soin seulement de prendre comme axe des x une base de la courbe donnée.
Exemples :
1° Déroulée d'une droite. L'axe des x doit être perpendiculaire à la droite donnée. Le coefficient angulaire de celle-ci est infini ; or si l'on donne à m une valeur infinie dans l'équation de la spirale logarithmique trouvée précédemment, cette spirale est rejetée à l'infini.
Ainsi la ligne droite n'a pas de déroulée, ou si l'on veut sa déroulée est comme sa développée une courbe quelconque rejetée à l'infini dans une direction perpendiculaire à la sienne. Le roulement de cette courbe revient alors à une rotation autour d'un point à distance infinie, c'est-à-dire à une translation.
Quoique la ligne droite ait apparemment une infinité de bases, elle n'en a qu'une en réalité, puisque le roulement qui détermine sa génération se passe à l'infini et que toutes les bases de la droite se confondent à l'infini,
2° Déroulée du cercle : L 5 équation d'un cercle en prenant comme axe des x une de ses bases, c'est-à-dire un quelconque de ses diamètres est : X" -J- Y" = B% d'où :
- C X dX * :?
a ~~ J ±i/l î =Z 5 - arcsm j?
par suite :
X = B sin a
Y = B COS a
Donc en prenant l'origine au point de rencontre du
cercle avec Taxe des Z, l'équation de la déroulée du cercle est:
x sin a — y cos a ■== B cos « x cos « -f- ?/ sin a = — i? sin a
c'est-à-dire, par rapport à l'ancienne origine :
x sin oc — y cos « ~ # cos a + ?/ sin a =
donc la déroulée du cercle est, comme sa développée, un point qui coïncide avec son centre.
3° Déroulée des coniques. L'axe des x doit être une des bases de la conique, c'est-à-dire un de ses axes réels.
On peut prendre l'origine à l'un des sommets ; l'équation de la conique est alors de la forme :
y* = ± a* x 2 + âpx (8)
La conique sera une parabole lorsque a = 0, et lorsque a est différent de zéro, l'équation (8) représente une ellipse ou une hyperbole suivant que l'on prend le coefficient a 2 avec le signe moins ou avec le signe plus.
D'après ce qu'on a vu plus haut, puisque la conique passe par l'origine on obtiendra directement l'équation de la courbe cherchée dans la position qu'elle occupe lorsque le point générateur est à l'origine (c'est-à-dire au sommet de la conique) en posant u = et sans avoir à changer les axes.
Déroulée de la parabole : L'équation de la parabole est: y* = 3px, donc :
dx s / 2x
+ y 2px — y p La nouvelle équation de la parabole est alors
\y=pa
L'équation delà déroulée (par rapport aux mêmes axes) est donc :
x sin a — y COS oc = poc (9)
x cos a -f y sin a = p
Nous rechercherons plus loin la nature de cette courbe ; pour le moment nous nous bornerons à donner l'équation de la déroulée.
Déroulée de V ellipse : L'équation de l'ellipse est :
y* — — a~x* -f 2px.
D'où :
dx 1 / cfx arc cos il -
Px
OC === I ~~. r 1 S j ~ - ail; UUt3 \ JL ~
La nouvelle équation de l'ellipse est donc :
x = ~ (1 — cos aa)
y = - sin Cloc
J a Et par suite, l'équation de sa déroulée est :
x sin oc — y cos a = - sin (aa) , , A n
a? cos oc + 2/ s i n <* =P c °s (fl«)
On a vu qu'à chaque base d'une courbe correspond une déroulée, mais quoique l'ellipse ait deux bases, ses deux déroulées sont des courbes de même nature et toutes deux sont comprises dans les équations (10), car l'équation (8)
peut se rapporter aussi bien au sommet du petit axe qu'à celui du grand axe ; dans un cas a < i, dans l'autre a> 1.
Il en est en général de même des courbes qui ont plusieurs bases.
'Déroulée de l'hyperbole : L'équation de l'hyperbole est : 2/ 2 = $V -j- 2px. Pour passer du cas de l'ellipse au cas de l'hyperbole, il suffit de remplacer a 2 par — a\ c'est-àdire a par + ai. La nouvelle équation de l'hyperbole est alors, en employant les fonctions hyperboliques :
X = — —„(1 — COSh Qa)
y -— i, sinh aa
et celle de sa déroulée :
\ x sin a — y cos <x = - sinh (a«) (11)
\ x cos a + y sin a = p cosh (ax)
Nous terminerons l'étude du roulement d'une courbe sur une droite par la recherche de l'enveloppe d'une courbe entraînée.
Lorsqu'une courbe participe au mouvement de la courbe mobile, chacun de ses points décrit une roulette. Pour trouver l'équation de l'enveloppe d'une courbe entraînée A, il suffit de se rappeler que: cette enveloppe est aussi V enveloppe de toutes les roulettes décrites par les différents points de A.
Or pour avoir l'équation de cette famille de roulettes on écrira dans l'équation générale des roulettes (éq. 3) que le point (u,v) doit se trouver sur la courbe A, c'est-àdire que si y = .<p (x) est l'équation de A dans sa position
initiale, on doit poser : v = cp (w) L'équation des roulettes décrites par les différents points de A est donc :
\ x = u cos a -j- cp (%J sin a + | f(cc)d<z /-. 9 x
y = — w sin a + <p (w) COS a -f- /'(<*)
Cette équation ne contient qu'un paramètre arbitraire u et Ton obtiendra l'enveloppe cherchée en éliminant ce pa-
ramètre entre les équations (12) et l'équation — ~ = ~ -- qui est dans le cas actuel :
' ( ) — sin « K<*) 4- cos « /*( <*) — ^
? ( ' COS a f(ot) — Sin a f(a) -f- cp (u)
Exemple :
Trouver l'enveloppe du diamètre d'un cercle qui roule sur une droite.
L'axe des x est la base du roulement ; on peut prendre comme position initiale du cercle, celle où le diamètre considéré est parallèle à Ox et comme origine le point de contact correspondant.
L'équation du diamètre est alors : y = B et par suite v = 9 (u) = B d'où <f(u) = 0. On a vu que pour le cercle f(a) — B (1 — cos a) : il faut donc éliminer u entre les trois équations :
x = . u cos oc -f- B sin a 4- B (a — sin a)
, y = — ^ sin a -f- i? COS ce -\- B (1 — COS a)
a __ sina. i? (i — cos^) -f- cosa. Usina — u ~~ cosa. jR (I — cosa) — sina. B sina -j- B
qui deviennent après réduction :
IX= u COS a -f- B a \y = — u sin a -j- B ( = jB sin a — u
D'où en éliminant u
( x = B (a -f- sin a COS oc) l y = B COS 2 a
Ou en posant 2a = <p -)- tt
= ^ (<p — si» <p) + w -g
y = -(l — COS <p)
L'enveloppe est donc une cycloïde dont la déroulée est
un cercle de rayon -= .
Les formules (3) permettent aussi de trouver l'équation du cercle des inflexions : on sait que les points d'inflexion d'une courbe
X = cp(«) ï = X (a)
sont déterminés par la condition.
Ainsi les valeurs de a, pour lesquelles la trajectoire du point u, v présente une inflexion, sont données par l'équation
[— u sin a + ^ cos a -f- /(a)] [u sin a — V COS a + /*"(«)] —
[u COS a -f- V SUl a — /*(<*)]* =
Réciproquement, le lieu des points u, v 9 qui pour une même valeur donnée « de « ont un point d'inflexion sur
leur trajectoire, est représenté par l'équation précédente en y remplaçant a par a, et regardant u et v comme les coordonnées d'un point du lieu ; cette équation représente alors un cercle dont le rayon a pour valeur
& = \ [f'M - f(* )J +f 2 k) + fMf'M-f'X*»
ou
R = ^[fM+f"Ml
Ainsi ce rayon est la moitié du rayon de courbure de la courbe f au point où la tangente est inclinée de l'angle « . Les coordonnées du centre du cercle sont :
Uq = ~ ~2 Siîl a ° l^'O*») — /l«o)] + C0S «.f («o) o = J c <> s « [f (a ) — f(a Q )] + Sitl a f (« )
Si Ton suppose le cercle entraîné dans le roulement, la trajectoire décrite par son centre s'obtient en remplaçant dans les formules (3) les coordonnées w, v par la valeur de u etv en fonction de « , que l'on vient de trouver: si dans l'équation de cette trajectoire on pose a — a oJ on trouve comme coordonnées du centre du cercle des inflexions
c'est-à-dire, à cause de la valeur de l'arc de la courbe f donnée précédemment, que le cercle des inflexions est tangent à la droite sur laquelle a lieu le roulement au point de contact de la courbe roulante.
II Roulement S! une droite sur une courbe. Le problème général s'énonce :
Étant donnée une courbe t, trouver V équation générale des roulettes décrites par les différents points du plan, lorsqu'une droite roule sur la courbe donnée.
On prendra comme axe des x une des positions de la droite mobile, c'est-à-dire la courbe fixe r tangente à Taxe des x. L'équation de T est donnée sous la forme
ix&mtù — y cos <*> = cp (&>) ( x cos tù -f y sin &> = cp'( w )
et Ton a comme précédemment: <p(0) = et <p'(0) =00'. On a vu que si la courbe r roulait sur l'axe des x (fig. 6), un point m du plan, de coordonnées u et v, décrirait une roulette mM dont l'équation serait, d'après les formules (3),
X = u cos go -j- v sin w -f I cp(w)dco Y = — u sin w + ^ cos go -f- cp(w)
X et Y étant les coordonnées d'un point quelconque de la roulette s Si au contraire Taxe des x roulait sur la courbe r en entraînant m, ce point décrirait une autre roulette; mais si au lieu de chercher la roulette décrite par m P on cherche la roulette décrite par le point M, il est évident que lorsque Taxe des x roule sur r, le point M revient en m lorsque B vient coïncider avec A (puisque Bq = Ar et Mq = mr) quoique M ne suive pas le même chemin Mm, c'est-à-dire que le point X, Y revient au point u,v. Il suffit donc de permuter les lettres X, Zavec les lettres u, v dans les dernières équations., ce qui donne
X sin oo — Z cos go = cp(oo) — v
X cos oo — Z sin w = I <p((ù)dcù — u
Telle est l'équation générale des roulettes décrites par le point u 9 v lorsque la droite Ox roule sur la courbe r.
Le problème général inverse du précédent serait : Étant donnée une courbe quelconque et une droite, trouver sur quelle courbe doit rouler la droite pour engendrer la courbe donnée. Mais on a vu au commencement de cette étude que pour que ce problème soit déterminé, il faut se donner en outre la position du point générateur sur la courbe donnée qui correspond à la position initiale de la droite donnée. Ce problème offre donc peu d'intérêt, à moins que l'on n'astreigne la droite mobile à être constamment normale à la courbe donnée. On sait que dans ce cas la génération n'est plus possible que d'une manière et que le point générateur se trouve sur la droite mobile elle» même.
Comme l'axe des x doit coïncider avec une des positions de la droite mobile, cet axe doit être choisi de manière à coïncider avec une des normales à la courbe donnée.
On peut toujours mettre l'équation de la courbe donnée sous la forme
- X cos oo — Y sin go = F '(go) X sin oo — Y cos go = F'(u>)
go étant l'angle que fait la normale avec Taxe des x. Mais puisque le point générateur est sur la droite mobile, il doit être sur l'axe des x dans sa position initiale ; on a donc v = o dans les équations (13). Celles-ci peuvent alors s'identifier avec les équations de la courbe donnée, en posant
cp(co) ■= F' (on)
Les coordonnées du point générateur seront du reste
puisque la courbe F est normale à Taxe des x.
Ainsi la courbe sur laquelle doit rouler une normale pour engendrer la courbe donnée a pour équation
\x sin w — y cos co = F' (co) \x cos w -J- y sin « = F" (co)
Ce sont bien les équations de la développée de la courb e F.
Étant donnée une courbe cp tangente à Taxe des x } toutes les développantes s'obtiennent en posant v = dans les équations (13) et en faisant varier u.
Exemple .-Développantes du cercle. Un cercle de rayon B et tangent à Taxe des x à l'origine, est l'enveloppe de la droite mobile :
x sin go — y cos w = B (1 — cos co)
Soit u l'abcisse d'un point quelconque de Ox ; la développante du cercle donné engendré par le point u lorsque l'axe des x roule sur le cercle, a pour équation, d'après les formules (13) :
t X sin w — Y cos co = B (1 — cos co)
( — X cos w — Y sin &> = B (co — sin co) — w
ou en transportant l'origine au centre du cercle :
x sin co — • v cos co = B . N
— a? cos co — 2/ sin co = jB co — ^
Enfin lorsqu'une droite roule sur une courbe, en entrai-
nant une courbe donnée, on pourra trouver l'enveloppe de la courbe entraînée par la même méthode que précédemment, parce que cette enveloppe est encore dans ce cas l'enveloppe des roulettes engendrées par les différents points de la courbe entraînée.
111° Roulement d'une courbe sur une courbe. On prendra comme axe des x la tangente commune aux deux courbes dans une quelconque des positions de la courbe mobile ; l'origine est d'ailleurs laissée arbitraire. Soit :
x sin go — y cos go = cp (go) i cp (0) =
. avec <
x cos go + y sin go = 9' (00) f cp'(O) = OO
l'équation de la courbe fixe G et :
x sin a — y COS oc = f(cc) i f (0) =
X COS a + y Sin a = /' (a) ^^ \ f '(0) = OÔ'
l'équation de la courbe mobile D dans sa position initiale.
On se propose : étant données les deux courbes f et cp de trouver V équation de la roulette décrite par un point quelconque m du plan, dont les coordonnées sont net y dans sa position initiale , lorsque la courbe f roule sur la courbe cp.
Lorsque le point p de la courbe D vient coïncider avec un certain point r de la courbe G (fig. 8), le point m se v trouve en un certain point M de sa propre roulette. Or, si l'on suppose que la courbe D roule sur la tangente Ox, lorsque le point p sera devenu point de contact en q et que D occupera par conséquent la position D', le point m se trouvera transporté par ce roulement en un certain point n ; si maintenant la tangente Ox roule sur la courbe fixe C en entraînant la courbe D' et le point n, lorsque le point q viendra coïncider avec r (puisque O'q = arc O'p
= arc Or) la courbe D' prendra la même position que si elle avait roulé sur la courbe C, donc aussi le point n viendra coïncider avec M.
Ainsi le roulement d'une courbe D sur une courbe C peut être décomposé en un roulement de la courbe D sur la tangente Ox et un roulement de cette tangente sur la courbe C.
Si l'on désigne par u^v, les coordonnées du point w, l'équation de la roulette mn est, d'après les formules (3)
1 = u cos a 4- v sin a + I /*(«) <#a
^ = — ^ sin a +- V cos a -f /*(«)
De même, si X et F" sont les coordonnées du point Jf, l'équation de la roulette w-M" est, d'après les formules (13):
iX sin go — F cos go — cp (go) — ^ — X cos go — F sin go = cp (go) ^go — ^,
Il suffit maintenant d'éliminer u , et v, entre les quatre dernières équations pour obtenir celles de la roulette mM.
On trouve ainsi :
l X Sin go — FCOS go = U Sin a — ^ COS a -f- cp (go) — -/"(a)
/ X cos go + F sin go = u cos « -f- «; sin a + ? («) — f (<*). en remarquant que :
00' + arc OV = OÔ' + arc ô^>
c'est-à-dire :
p cp (*>) da> + cp' ( W ) = f * fia) da + f (a) (16)
équation qui fait dépendre a de co.
L'équation (15) est générale, c'est-à-dire qu'elle s'applique aussi bien au cas où la courbe D roule extérieure» ment sur la courbe C.
L'enveloppe d'une courbe entraînée se trouverait toujours par la même méthode que précédemment. Nous nous occuperons plus particulièrement de la roulette décrite par l'origine et dont l'équation s'obtient en posant u = et v = dans les formules (15) :
X sin g) — Y cos & = <p (&>) — f(a) X cos où -f- Y sin w = cp' (a>) — /*'(«)
Lorsque les courbes f et 9 sont symétriques par rapport à leur tangente commune, on a go = — « et <p (&>) = — /(a) d'où cp'(oo) d&> = — f (a) <fc et comme du = — dx, il en résulte : ?'(&>) = /*(«). Substituant ces valeurs dans les formules générales, on obtient pour équation de la trajectoire décrite par un point u,v:
X = *u cos 2 a -\- v $in2 a ~{- 2 f(x) sin a Y = — u sin 2 a -f- V COS 2 a + 5 /(a) cos ^
Les formules (15) peuvent être interprétées d'une manière plus large : une courbe f roule sur une droite pendant que cette droite roule sur une autre courbe fixe cp, les deux roulements étant indépendants l'un de l'autre, c'est-àdire que les courbes f et cp n'ont plus un point de contact commun, mais simplement une tangente commune. Les formules qui donnent la trajectoire d'un point quelconque sont toujours les mêmes, seulement les angles a> et a ne dépendent plus l'un de l'autre par la relation (16). Cette relation devra être remplacée par une autre déduite des données de chaque problème particulier.
Exemples : Une courbe f roule sur une droite pendant
que celle-ci roule sur une courbe fixe cp, de telle sorte que les arcs des deux courbes qui ont subi le roulement soient constamment égaux. La trajectoire décrite par un point u,v du plan est toujours représentée par les formules (15), La distance a des deux points de contact de la tangente commune aux deux courbes reste constante et en exprimant que les arcs des courbes sont égaux, on obtient comme relation faisant dépendre co de a :
f(ot) doc 4- f(a) + a= 1 ?(<*>) ^ w + ?' («)
en prenant pour axe des x la tangente commune dans la position initiale des courbes. Cette relation ne diffère de la relation (16) que par l'introduction d'une constante.
Si au lieu de conserver l'égalité des arcs, on conserve celle des angles de rotation, c'est-à-dire si la courbe /et la droite mobile tournent d'angles égaux pendant des temps égaux, la relation qui fait dépendre w de a est simplement : M = a. Les équations de la trajectoire d'un point, sont alors, en les résolvant par rapport à X et à F :
X = U -f ■ [<p(a) — f(a)} Sin a -f [?'( a ) — f'ipO] cos <* Y — V — [<p(a) — /(oc)] COS a -j- [cp'(oc) — jf(a)] sin a
Des lignes cycloïdales: Comme les mots : épicycloïdes, lignes cycloïdales, etc., ont été employés dans des sens différents par les divers auteurs, nous devons définir exactement le sens que nous attribuerons à ces termes.
Étant donné un cercle mobile roulant sur un cercle fixe, toute ligne engendrée par un des points du cercle mobile sera appelée ligne cycloïdale. Ces lignes seront divisées provisoirement en deux genres : Si les deux cercles sont du même côté de leur tangente, la ligne cycloïdale appar-
tient au genre hypocycloïde] s'ils sont de côtés différents, elle appartient au genre épicycloïde. Le cas limite qui sépare les deux genres est celui de la cycloïde (lorsque le cercle fixe devient une droite), ou celui de la développante de cercle (lorsque le cercle mobile devient une droite).
Étant donné un cercle mobile roulant sur un cercle fixe, toute ligne engendrée par un point quelconque du plan entraîné dans le mouvement sera appelée ligne trochoïdale. Ces lignes seront divisées en hypotrochoïdes et épitrochoides d'après la même règle que les lignes cycloïdales.
Soit B le rayon du cercle fixe (fig. 9). Ce cercle est l'enveloppe de la droite mobile :
x sin go — y cos &> = B (1 — ~ cos &>)
en prenant l'origine au point de contact. Soit r le rayon du cercle mobile : ce cercle sera du même côté de l'axe des x que le cercle fixe ou de côté différent suivant que r sera de même signe que B ou de signe contraire. Le cercle r, dans sa position initiale, est l'enveloppe de la droite mobile :
x sin a — y cos oc = r (1 — cos a)
et la roulette engendrée par l'origine sera une hypocycloïde ou une épicycloïde suivant que r est de même signe que B ou de signe contraire. Cette roulette a pour équation, d'après les formules (17) :
X sin go — Y cos oo = B (1 — cos &>) — r (1 — cos a) X cos &) + Y sin oo = B sin co — r sin a
a dépendant de go par la relation (16) qui ici se réduit à : r a = B go Reportant cette valeur de a dans les équations précé-
dentés, et résolvant par rapport à X et à Y on obtient l'équation ordinaire des lignes cycloïdales :
i X = r sin I « ) — (r — J?) sin w
i? — f cos (- « ) + (*" — -B) cos '
oo étant l'angle au centre du cercle B correspondant au point de contact des deux cercles et compté à partir de Taxe des 2/.
Cherchons encore l'équation des lignes cycloïdales considérées comme enveloppe de leur tangente et en les rapportant à des axes choisis en vue de faciliter l'étude de la génération des coniques, que nous traiterons plus loin.
Nous prendrons les nouveaux axes dans la position qu'ils occupent dans la fig. 10; c'est-à-dire l'origine au centre du cercle fixe, l'axe des x passant par le point de contact des deux cercles dans leur position initiale. Il faut donc remplacer X par y et Zpar B — x. La ligne cycloïdale engendrée par le point A a ainsi pour équation :
(r — B \ , ^ x = r cos ( o) ) — (r — M) cos go
y = r sin ( w I — (r — B) sin oo
&> étant toujours l'angle au centre du cercle fixe.
Soit maintenant q? l'angle que fait la tangente à la ligne cycloïdale avec le nouvel axe des x; on a :
(EL) dy ___ \do)J
dx — fdx \ ~ ^
En remplaçant \~-\ et ( -.— ) par leur valeur, on trouve
que :
Keportant cette valeur de « dans l'équation de la ligne cycloïdale, celle-ci devient :
[x = r cos (2 T £=^j) - (r - B) cos (29 ^-^ | y = r sin (2, £=^|) - (r - B) sin (2, —-^
En combinant ensemble ces équations, on a finalement pour équation générale des lignes cycloïdales considérées comme enveloppe de leur tangente :
x cos cp -f- y sin cp = B cos ( ^ ^ «
et sous cette forme, on reconnaît la déroulée de l'ellipse (équation 10).
Sur une classe de lignes cycloïdales : Jusqu'ici nous n'avons considéré que les lignes cycloïdales obtenues en faisant varier r de — ©c à + ©c , mais l'étude de ces lignes doit être poussée plus loin : lorsqu'on donne à r une valeur imaginaire, c'est-à-dire lorsqu'un cercle imaginaire roule sur un cercle réel, les lignes cycloïdales engendrées sont en général imaginaires, mais il n'en est pas toujours ainsi et il existe une infinité de courbes réelles qui sont engendrées par le roulement d'un cercle imaginaire sur un cercle fixe réel.
Donnons en effet à r une valeur imaginaire et posons : r = a -f- pi ; ce rayon dépend alors de deux paramètres a et p , de sorte que même si Ton donne à a une valeur particulière, le rayon r peut encore prendre une infinité de valeurs si on laisse p arbitraire.
Posons donc <j = — et laissons p variable. Le rayon du
cercle mobile est
d'où :
2r — R = 2pi .
En reportant cette valeur dans l'équation générale des lignes cycloïdales, celle-ci devient :
x sin ç — y cos cp = 2p% sm I ^— . cp
f a? cos cp + y sin cp = R cos ( ^ cp
On voit que les imaginaires disparaissent et que l'équation devient, en employant les fonctions hyperboliques :
x sin cp — y cos cp = 2p sinh f -^- 9 )
# cos cp -j- 2/ sin cp = i? cosh » 9
et sous cette forme on reconnaît la déroulée de l'hyperbole (éq. 11).
Ainsi les lignes cycloïdales engendrées par le roulement d'un cercle imaginaire sur un cercle réel, sont des courbes réelles, lorsque le rayon du cercle imaginaire est de la forme
r = "ô" "f~ P^ P étant un paramètre arbitraire qui peut varier de — oc à -f- «= •
Il y a donc une infinité de pareilles courbes et nous leur donnerons le nom de paracydoïdes.
En résumé on a la classification suivante des lignes cycloïdales :
1° B a une valeur finie :
Hypocycloïdes : — oc < r <
Epicycloïdes : < r < oc
Développante de cercle : r ~ + oc
Paracydoïdes : r = -^ -j- pi avec — oc < p < ~j- oc
2° B est infini :
Cycloïdes : — oo < r < + oc
Il est intéressant de remarquer d'une manière générale que lorsqu'une courbe imaginaire roule sur une courbe la roulette décrite par un certain point du plan peut être réelle (mais les autres points décrivent des courbes imaginaires).
IV. Génération des coniques. Les coniques, ainsi que toute autre courbe, peuvent être engendrées soit par le roulement de leur normale sur leur développée, soit par le roulement de leur déroulée sur leur base. Cette dernière génération est la seule qui nous intéresse.
1° Parabole: L'équation de la déroulée de la parabole trouvée plus haut (éq. 9) est identique (à part la position des axes) à l'équation (14) ; cette déroulée est donc la développante d'un cercle de rayon j? (fig. 11). Le point générateur est le centre du cercle ; il se trouve donc bien sur la déroulée, parce qu'il est sur la tangente au point de rebroussement de la développante.
Par suite la parabole est une déroulante de sa déroulée.
2° Ellipse : On a vu que la déroulée de l'ellipse est une
ligne cycloïdale appartenant au genre hypocycloïde ou au genre épicyeloïde. En effet on peut identifier les équations (10) de cette déroulée avec les équations (18) en posant:
iE=p
ou:
Quelles que soient les valeurs des coefficients p et a dans l'équation de l'ellipse, les valeurs correspondantes de B et de r sont toujours réelles, et réciproquement. Ainsi la déroulée d'une ellipse quelconque est une hypocycloïde ou une épicyeloïde 1 et réciproquement l'ellipse est toujours une des déroulantes d'une hypocycloïde ou d'une épicyeloïde quelconque.
Il n'est du reste pas besoin de traiter séparément les deux axes de l'ellipse car, en donnant à a et hp toutes les valeurs possibles, on trouve deux fois la même ellipse : l'axe des x coïncidant successivement avec le grand axe et avec le petit axe.
Le point générateur est toujours le centre du cercle de rayon i?, il se trouve donc sur les tangentes à tous les points de rebroussement de la ligne cycloïdale.
La génération de la parabole n'est du reste qu'un cas particulier de celle de l'ellipse.
La figure 12 représente P épicyeloïde dans ses différentes positions et l'on voit qu'à un tour complet de l'ellipse
1 Cette génération de l'ellipse a déjà été démontrée en partant de la ligne cycloïdale; on en trouvera en particulier une démonstration géométrique dans la dernière édition du bel ouvrage de M. le colonel Mannheim sur la géométrie cinématique. Mais au point de vue du sujet que nous traitons, il était intéressant d'arriver au résultat par la voie inverse, c'est-à-dire en partant de l'ellipse.
correspondent deux boucles de la ligne cycloïdale. Le point A est le centre de courbure de l'ellipse correspondant au sommet parce que le point est le point de rencontre de l'ellipse avec sa base.
Enfin les demi-axes de l'ellipse ont pour valeur en fonction des coefficients a et p :
D'où en remplaçant p et a par leur valeur (eq. 20) :
(2r-Sy in- 3 '
S ou \ ~ S
3° Hyperbole : Les équations de la déroulée de l'hyperbole (éq. 11) peuvent être identifiées aux équations (19) de la paracycloïde en posant :
B ou : p (21)
[ a= T P U = fa
Quelles que soient les valeurs des coefficients a etp, les valeurs correspondantes de B et p sont réelles et déterminées et réciproquement ; donc la déroulée d'une hyperbole quelconque est une paracycloïde et réciproquement^ l'hyperbole est toujours une des déroulantes de la paracycloïde.
Les relations entre les axes de l'hyperbole et les rayons des cercles sont :
