ON ON

c'est-à-dire encore :

sin 9 = -— et cos 9 — ' ^

<p(co) cp (w)

Il ne reste plus maintenant qu'à reporter toutes ces valeurs dans les équations des roulettes tournantes. Afin de ne pas compliquer inutilement les formules, nous ne rechercherons que l'équation de la roulette décrite par l'origine. La roulette décrite par un point quelconque de l'espace, s'obtiendrait de même, on aurait seulement des équations un peu plus longues. Supposons encore a -= c'est-à-dire que l'origine coïncide avec le point de contact 0"\

En posant u = 0, v = 0, w = 0, dans les équations (24) relatives aux roulettes tournantes et résolvant ces équations par rapport à X, YetZ, on obtient :

/ X= [cpXoj>)sinG0 + cp' 1 (a))coSw]-/ r 1 (^)COS9sina)-/ r ' 1 (a)coSG0

] Z = [?i ( w ) C0Sw ~ <p'i ( w ) s i nw ] ~^ ( a ) cose C0Sw + A W s i n w

i r=/;( a )sine

Dans ces équations on a remplacée par — Z, parce que l'axe 0# a une direction opposée à celle qu'il avait lorsqu'on a établi l'équation des roulettes tournantes.

Remplaçant 9,(00) et par leur valeur, on trouve :

Z=- f a $m4f,(*W(aj\da- ffi ffi COSoH-/','(a)sinc,>

1/1+rw

avec « = S ~t4^ i---7^7^ ° Telles sont les équations de Jo yi +/"(«)

la roulette décrite par l'origine, lorsque la surface développable roule sur le plan des xz ; ces équations ne dépendent plus que des fonctions /(*) et f,( a ), c'est-à-dire de l'équation de la surface développable.

Exemple : On donne la surface développable enveloppe du plan mobile ;

X Sin a — jFcOS a = Z tg a -j- B (1 — COSa)

et Ton demande l'équation de la roulette gauche engendrée par un point de cette surface, lorsqu'elle roule sur un de ses plans tangents, c'est-à-dire l'équation des déroulantes de la surface donnée.

On commence par prendre le dit plan tangent comme plan des xz ; et Ton choisit comme position initiale de la surface celle où le point générateur se trouve en contact avec le plan fixe. On peut alors faire coïncider l'origine avec la position initiale du point générateur et faire usage des formules (38).

Ces transformations ont déjà été effectuées dans l'équation donnée ; celle-ci représente en effet une surface développable tangente au plan des xz, puisque l'on a actuellement :

f(a) = tang a fX<x) B{\ — COS «0

Si donc on coupe cette surface par les plans £=0 et#=l, on obtient les deux courbes :

x sin a — y cos a -- jR (1 — cos a) et x sin a — y cos a ~ tang a -f- i2 (1 — cos «)

Ces deux courbes sont bien tangentes à Taxe des x ; la première est un cercle passant par l'origine. On a d'abord ;

C°- tang a da .

1 ° — 1 — COS a

et:

J /l -ftg'a

f.w + rw-^

On peut prendre go pour variable indépendante ; on a alors : cos a, = 1 - w ; sin a = i/ w (2-co) ; et rfjc = -t^ttT^

D'où pour équation de la roulette décrite par l'origine, en employant les formules (38) :

X = B I ^t^—\— B yV2 — w) (o sm « + cos &>)

J y co(2-w)

-n f ^ Siîl w ^ w 71 f-7^ \ ( ' \

Z=~B — n* — \ ~ - B V w ( 2 — w ) (°° cos °° — sm w )

J yc«)(2-co) Y= Bu(l — u)

2° Boulement d'un plan sur une surface développable Pour avoir l'équation de la roulette engendrée par un point u, v, w y de l'espace, lorsque le plan des xz roule sur une surface développable donnée, il suffit, dans les formules générales relatives au roulement d'une surface développable sur le plan des xz, de permuter les lettres X, Y,Z avec les lettres u, v, iv. On peut effectuer cette permutation

dans les équations (24) relatives aux roulettes tournantes ce qui donne, après avoir résolu par rapport aux nouvelles lettres X,Y,Z(et en se rappelant qu'on doit changer Z en — Zet par conséquent aussi w en — w) :

X sin a- Tcos «= [u sin w -f w cosw-cp 1 (w)] cos9 - i;sin8 +f A (a)

XcOSa+ Y $iïl ot= ££ COS où -^sinw + /./(<*)- cp/(oo)

Z= [u sin m + w cosw- y, (&>)] sin +■ i; cos

équations dans lesquelles il n'y a plus qu'à remplacer w,6 et cp^w) par leur valeur , trouvée précédemment en fonction de a.

3° 'Roulement d'une surface dêveloppàble sur une surface développahle. En général ce roulement n'est pas possible sans glissement, si l'on veut que les deux surfaces aient constamment une génératrice en commun. Il suffit pour s'en rendre compte de considérer le mouvement des courbes gauches qui sont les arêtes de rebroussement des deux surfaces développables.

On dira qu'une courbe gauche roule sur une .autre courbe gauche, lorsque la première courbe roule sur la seconde de manière à ce que les plans oscillateurs des deux courbes, correspondant à leur point de contact, coïncident constamment.

Le roulement infiniment petit d'une courbe gauche est alors le résultat de deux rotations infiniment petites, savoir : 1° une rotation du plan osculateur de la courbe mobile autour de la tangente commune aux deux courbes, mouvement qu'on peut appeler le roulement de torsion de la courbe mobile; 2° une rotation de la courbe mobile parai» lèle à son plan osculateur et autour du point de contact, ou si l'on veut une rotation de la courbe mobile autour de de la bi-normale commune aux deux courbes, mouvement

que Ton peut appeler le roulement de courhure de la courbe mobile.

Dans le roulement plan, le roulement de courbure est le seul qui existe parce que la torsion des courbes planes est nulle. Mais d'une manière plus générale, on peut dire que le roulement d'une courbe gauche sur une autre ne donnera pas lieu à un roulement de torsion lorsque les deux courbes gauches ont constamment le même rayon de torsion en leur point de contact» Au contraire le roulement ne donnera pas lieu à un roulement de courbure toutes les fois que les deux courbes ont constamment le même rayon de courbure en leur point de contact.

Enfin si les rayons de torsion et les rayons de courbure sont constamment égaux, il n'y a plus de roulement possible, parce qu'alors les deux courbes gauches coïncident.

Le roulement d'une courbe gauche sur un plan tel que nous l'avons défini plus haut est un pur roulement de torsion, carie roulement sur le plan de la surface développable dont la courbe gauche est l'arête de rebroussement, consiste en une simple rotation autour de la génératrice de contact, c'est-à-dire de la tangente à la courbe gauche.

En général, lorsqu'une courbe gauche roule sur une autre, si l'on considère les surfaces développables dont ces courbes gaucbes sont les arêtes de rebroussement, on voit que le roulement de torsion produit le roulement d'une des surfaces sur l'autre, c'est-à-dire une rotation autour de leur génératrice de contact, tandis que le roulement de courbure produit un glissement de la surface développable mobile sur le plan tangent commun, glissement qui a pour effet de ramener en coïncidence les génératrices des deux surfaces qui tendaient à se séparer par suite du roulement de torsion.

Donc pour qu'une surface développable puisse rouler sur une autre sans glissement, il faut que le roulement de leurs arêtes de rebroussement soit un pur roulement de torsion, c'est-à-dire que ces arêtes aient constamment le même rayon de courbure en leur point de contact. Si cette condition est remplie, on obtiendra l'équation de la trajectoire décrite par un- point quelconque de l'espace ^,fl,w, en combinant les formules relatives au roulement d'une surface développable sur un plan avec celles relatives au roulement d'un plan sur une surface développable, exactement comme on a combiné le roulement d'une courbe sur une droite avec celui d'une droite sur une courbe pour obtenir le roulement d'une courbe sur une courbe, dans le plan.

Mais il y a une autre sorte de roulement sans glissement d'une surface développable sur une autre : c'est le roulement dans lequel les deux surfaces n'ont qu'un seul point de contact ; ce roulement est plus général puisque les deux surfaces ne sont plus astreintes à avoir une génératrice commune; ce roulement peut être réalisé par des surfaces développables quelconques, et cela d'une infinité de manières .

On a déjà traité à propos du roulement dans le plan, le mouvement produit par une courbe qui roule sur une droite, tandis que cette droite roule sur une autre courbe fixe. De même, considérons dans l'espace deux surfaces développables qui ont un plan tangent commun sans avoir une génératrice commune ; si la première surface roule sur le plan tangent pendant que celui-ci roule sur la seconde surface, les deux surfaces roulent l'une sur l'autre (sans glissement) car elles ont toujours un point de contact, qui est l'intersection des deux génératrices qui se trouvent dans le plan tangent mobile.

Exemple : Bâillement d'un cône sur un cylindre. On prend comme plan des xz le plan tangent commun au cône et au cylindre , comme origine le sommet du cône, et comme axe des z une droite parallèle aux génératrices du cylindre (fig. 24).

Cherchons par exemple la roulette décrite par un point w de Taxe des z (u ~~ 0,v = 0). Soit :

X sin a — Zcos a ■= Z f(y) avec f(0) =

l'équation du cône dans sa position initiale ; et :

X sin cp — Y cos cp = F(y) avec F(0) =

l'équation du cylindre fixe. Lorsque le cône f roule sur le plan des xz, le point w décrit la roulette :

v < = VT^WT\f^) avec w =

^ = 7îT7^ C(,Bw

d'après les formules (31) ; lorsque le plan des xz roule sur le cylindre F, l'équation de la roulette décrite par un

point u^ v. n ?,/;, i; de l'espace, est, d'après les formules (13):

X sin <p — - Y cos c? = JP(cp) — v,

TV Z cos cp --f ? sin cp = — S jF(cp) dy -f- ^

En éliminant ^ ., ?;,, , w. n on obtient l'équation delà roulette engendrée par le point w, lorsque le cône roule sur le cylindre :

Xsintp-rcosy^^)-^^-^ /•(«)■ (39)

X cos cp -f Zsin cp = - F(y) de? +- — r=

COS w

Ces équations contiennent deux paramètres arbitraires, a et cp. La roulette ne sera donc déterminée que lorsqu'on se sera donné une relation entre ces deux paramètres.

On traiterait de même le roulement d'un cylindre sur un

cône.

Remarque sur la génération des surfaces : Lorsque les angles a et cp sont laissés indépendants, les équations (39) représentent une surface. Cette surface est le lieu de toutes les roulettes engendrées par le point w lorsque le cône roule sur le cylindre de toutes les manières possibles en partant de la même position initiale. On peut appeler ce lieu, la surface roulette du point w. Ainsi, lorsqu'une surface développable quelconque roule sur une autre surface développable de toutes les manières possibles en partant de la même position initiale, un point quelconque de l'espace engendre une surface roulette, dont l'équation peut s'obtenir par la méthode précédente. Réciproquement, on pourrait considérer une surface donnée quelconque comme engendrée par une surface développable qui roule de toutes les manières possibles sur une autre surface développable à partir d'une certaine position initiale.

-v-wvw^ ^-^