III. Surfaces développables quelconques

1° Roulement d'une surface développable sur un plan* Une surface développable est l'enveloppe d'un plan mobile, c'est-à-dire du plan :

X Siîî a — Z COS a = Zf(a) -f f, (a)

équation dans laquelle a est un paramètre variable ; f(a) et f,(cc) sont deux fonctions arbitraires qui déterminent le mouvement du plan mobile.

L'équation de la surface enveloppe de ce plan s'obtient en éliminant a entre Péquation du plan et sa dérivée par rapport à a, c'est-à-dire entre les deux équations:

( X sin a — Y COS a = Zf(cc) + fXcc)

j X COS a -f F Sin a = Zf'{a)+f;(a) (

sans qu'il soit besoin d'éliminer a, on peut considérer ces deux équations comme celles de la surface développable. Toute surface développable peut se mettre sous la forme (35) ; on a ainsi des équations tout à fait analogues à celles dont nous nous sommes servis jusqu'ici.

Les formules relatives au roulement des surfaces développables, s'obtiennent encore par la considération des roulettes tournantes.

En coupant la surface développable donnée par les plans z = et z = 1, on obtient deux courbes planes A et B (tig. 23) dont les équations sont :

x sin a — y cos a = fia) \ f,(0) =

avec 5 1V J

x cos a + y sin« = f\(a) \ fX0)=O&"

et:

B .x$ma-yco$a = f(*)+fX«) avec ^ )^(°) =0

XCOSx + îJ$ma=f(a)+f\(a) ( f'(0)+f'A0) = O0"

Le paramètre a est donc l'angle que l'axe des x fait avec la tangente à l'une de ces courbes.

Lorsque la surface développable roule sur le plan xOz, la courbe A roule sur une certaine courbe G située dans le plan xOz; la courbe B roule aussi sur une certaine courbe D du même plan,

Pendant que la courbe plane B roule sur la courbe plane D, l'angle dièdre 9 que fait à chaque instant le plan mobile de la courbe B avec le plan fixe de la courbe D 9 varie suivant une loi déterminée par la forme de la surface développable.

Si donc, connaissant l'équation delà surface développable, on sait trouver l'équation de la courbe D et la loi de variation de l'angle 0, on pourra remplacer le roulement de cette surface développable sur îe plan des xz par le roulement de la courbe plane B sur la courbe plane D et se servir des formules relatives aux roulettes tournantes»

On dira que les courbes Cet B sont les développements des sections planes A et B. Le premier problème à résoudre est donc : Etant données deux sections planes parallèles d'une surface développable trouver l'équation de leurs développements.

Sur le développement de deux sections planes parallèles dhtne surface développable sur un plan tangent perpendiculaire aux plans des sections planes.

Comme les intersections des plans z -~ et z = 1 avec un plan tangent quelconque à la surface développable sont deux droites parallèles, si l'on mène aux courbes A et B deux tangentes parallèles, c'est-à-dire inclinées d'un même angle «, la droite mp qui joint leur point de contact est une génératrice de la surface. Si des points et 0' on abaisse des perpendiculaires OB et O'P sur ces tangentes on sait que l'on a :

OP - f\u) + f£a) mP=f(a) + f»

Lorsque la surface développable roule, il arrive un moment où le plan tangent PmpB coïncide avec le plan

des xz ; à ce moment le point m coïncide avec un certain point n delà courbe G et le points avec un certain point q de la courbe I). La tangente mP coïncide aussi avec la tangente nQ à la courbe Cet la tangente pB avec la tangente qS à la courbe D; enfin pm coïncide avec qn. Or les tangentes mP et pB sont toujours parallèles entre elles, donc la tangente au point n à la courbe G est parallèle à la tangente au point g à la courbe D

On peut donc exprimer les équations des courbes G et D en fonction d'un même angle oo; cet angle est celui que font les tangentes nQ et g$avec 0'X' Soit donc:

l x sin oo + z cos w = <p (w) -f- ^(w)

/ £ COS oo — Z Sin oo = cp'(oo) -f <p\ (oo)

l'équation de la courbe C, et :

^ $ sin oo + z cos oo = cp^w)

# cos oo — ^ sin oo = cp^w)

celle de la courbe D. Le problème revient à trouver w, cp(oo) et (p^oo) connaissant ^ /(«) et /!,(«). Or on a :

08 — <^(oo) qS = cp', (&>)

Oy = cp(w) + cp^co) ^$ ~ cp'(oo) + ^(w)

Si Ton joint le point P au point jR, comme la tangente mP est perpendiculaire sur OTet sur 00\ elle est perpendiculaire au plan BOO'P et par suite à Pi?. Lorsque le point m coïncide avec n et le point p avec g, on sait que les tangentes coïncident aussi deux à deux 9 donc leurs distances sont égales, c'est-à-dire que ~PB = QS = OQ — 08 -.-•- cp(w). Si maintenant par le point on mène une parallèle ON à PB, on a :

ÔN=PR^<?(u) et WÏÏ=WP-TW=WP-ÔR=f{ a )

Or, dans le triangle rectangle 00' N, on a 00' = 1 et par suite: ON* .= 1 -f 0'JV\ c'est-à-dire:

De même, si par le point p on mène une parallèle pE à PB, cette parallèle est perpendiculaire sur la tangente mP; donc lorsque m vient en n et p en g, j?jB vient coïncider avec la perpendiculaire qM abaissée du point q sur la tangente nQ.

Or on a :

nM = MQ — nQ = qS— nQ = — cp'(o>)

et aussi : nM = mE = EP — mP = pB — mP = — f («) donc :

cp'( w ) = /X*)

En différentiani l'équation (36), on a:

<x> cp' dod - f f da

et comme cp' == f ' on a encore : cp du = f^a d'où

fi + rw (d °

Ainsi l'on connaît w et cp(oo) en fonction de a et f(a).

Pour déterminer cp^w), il faut écrire que l'élément d'arc de la courbe B est égal à l'élément ds de la courbe D, c'està-dire que :

ds = [fXa) + f\(a)) da

si donc x et z sont les coordonnées d'un point quelconque de la courbeD, on a :

dx = COS w [/.(a) -f- /V'(a)] ^

6fe = — sin (jù [/,(«) -f- /70*)] ^«-

équations qu'on peut intégrer, puisqu'on connaît oo en fonction de a. En désignant la distance 00'" par a, l'équation de la courbe D est donc :

lx= a -f- I COSco [/,(«) + /7'(«)] da

I z = — I " sin a) [/;(«) + /*/(«)] ** Mais la courbe D a aussi pour équation :

( x sin oo -f- COS go = cp,, (oo) ^ cos oo — ^ sin oo = cp'Xw)

On a donc aussi pour déterminer cp^oo) et ^(oo) :

(p,(oo) Sin oo -h cp/(oo) COS oo = a -f I COSoo [£(«) + /V'O*)] ^

/a Sin oo [/.(at) -f jf/O*)] ^

On peut remarquer que le théorème sur les points d'inflexion du développement de la section plane d'un cône (sur un plan tangent perpendiculaire au plan de la section plane) subsiste dans le cas d'une surface développable quelconque, c'est-à-dire que les points ,; et 0" J sont des points d'inflexion des développements G et D.

Car si l'on désigne par B et r les rayons de courbure des courbes B et D aux points correspondants, puisque les éléments d'arc de ces courbes sont égaux, on a \Bcla-~rd& ; mais on a aussi f{a) du = cp(oo) A*>, c'est-à-dire :

da. cp(co) __^ 1

do> ~~ f{a) COS 9

d'où

cos 9

Or au point 0'", l'angle 9 est droit donc r est infini. Il en est de même au point 0\

Enfin pour avoir la loi de variation de l'angle 9, il suffit de remarquer que cet angle est toujours l'angle que font les sections planes A et B avec le plan tangent à la surface développable le long de la génératrice mp. On a donc:

e = angle O'PB = angle UNO