VI AY
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AVERTISSEMENT (')
Dans une étude sur l'hjperespace, les définitions sont faites en vue de théorèmes qui les expliquent : certains calculs, comme ceux du n** 38, s'éclairent par les résultats qu'on en tire ; je crois devoir faire, en me plaçant à ce point de vue, une revue rapide de l'Ouvrage. J'en profiterai pour mettre mieux en évidence quelques formules, et je conseille au lecteur de noter dès maintenant dans le corps de l'Ouvrage les passages qui correspondent à des formules portant un numéro dans l'Avertissement; je donnerai en même temps plusieurs figures schématiques indiquées dans le texte.
I. On considère une corrélation générale (18), et l'on a deux
SL
(•) Voir les Préliminaires, p. i, 2 et 3, avant de lire l'Avertissement.
VI AVERTISSEMENT
équationnelles doubles S et ^ (24); la pseudo^dislance de deux points est M 011,= -rlog(Y/R), . . . (78); chaque rayon a un para-
mètre 9, . . . (82); le o- de deux points est donné par la dernière formule du n" 80, .... Un A est un a- ou un S (97), et Ton a les figures schématiques de la page v.
Pour deux éléments quelconques M J MJ, on a les A principaux, avec la figure schématique suivante indiquée au n° 99 :
Le moment de deux éléments associables MJ,, M^ est le produi des A principaux (HO), et, quand on change l'ordre des deux éléments, le moment est multiplié par ( — i)^^; l'association de deux éléments est définie aux n"** 13 et 57. Voir au n° 171 une remarque snr le plan suivi dans l'Ouvrage.
Les coordonnées x d'un élément M^ sont indiquées au n" 10; je les donne ici, en y joignant les notations du n** 7 :
.rf= A(IM, «0' T,^. \{m, A/),
r^J— (Aj , Aj), hf^- l(af, A/),
•ni.
AVERTISSEMENT. Vil
dans les dernières formules^ on a mis / au lieu de t. Relativement aux coordonnées w, je remarque seulement qu'on a U^= — >
avec ««' = ( — \)P^x^^ ^L= ( — \)P^'r^^] on a en particulier 11^= ^>
avec u^:=z (— i)"-'^', hi:^{— i)«~* A';
L'élément transformé d'un élément MJ (18, 58) est désigné par N^, avec des coordonnées ^ ou s?] le comoment de deux éléments M^ est défini aux n«« 18 et 59.
2. La fonction ponctuelle a- de/> points, la fonction tangentlelle S de/> tropes sont définies au n'* 27; pour /? = /2, on a les fonctions 5 et S (29).
Le moment de deux éléments associables a deux propriétés essentielles : l'une est donnée aux n°* 56 et 37, l'autre aux n®* 51, 35, 30; pour le comoment on a les n"* 59, 3(5, 31.
Les deux propriétés du moment donnent pour le poljtrope de référence (Chap. I) les formules
(2) (~ O'-T^LCTT X r,\ = 5o, (— i)T,L2t,2lx T)i: = So,
(3) hf ... /l'=(TL2:LXT^i(,
le déterminant des A se réduisant ici à un produit; on a, en particulier,
(2') (-lyjsfx hi= 5o, (-ly.TS/x hi= So,
(3') /t» ... A« = 5oSo,
avec / au lieu de t dans l'avant-dernière formule; l'élimination de yjr entre les formules ci- dessus donne les premières formules du n" 6. (Les formules du n" 9 sont employées aux n°* 47, 113, 118, 140.)
Le théorème des déterminants de A explique la définition des coordonnées normales x\ d'un élément M^ au n** 53, l'élément étant défini par/? points ou par q tropes, et par suite la définition des coordonnées homogènes au n" 46. Le cas particulier p'=^n — i explique la formule du n° 33 (dans laquelle il faut rétablir le signe = qui a été omis), et par suite les résultats du n" 14. Le cas p = n rend compte des deux formules du n° 29 (dans ce numéro, ligne 10, il faut remplacer le mot : colonnes, par le mol :
VIII AVERTISSEMENT
rangées)] ce cas peut encore expliquer le facteur normalisant indiqué à la fin du n^ 33.
3. La figure de référence auxiliaire ( 19) a une importance capitale; on peut la comparer au triangle polaire du triangle de référence en Géométrie sphérique, ce triangle polaire étant à la fois»
Pet P.
En premier lieu, si, dans la suite considérée au n** 59, les deux éléments intermédiaires appartiennent au polytrope de référence P,
on a la suite A^ A^^ AJ A^, qui donne
(4) (At,A^) = ((A|,Aï))=Yg,
la double parenthèse indiquant un comoment, c'est-à-dire que (o8) les coordonnées ^j' des éléments Aj du pol^'trope P sont les quantités y^T; par exemple, dans le second alinéa du n° 19, en consi-
dérant la suite r/^Ax A/a^, on a pour les coordonnées ;rx des tropes de P,
(4') A(a/,A>)=:Y(Ax,A/) = Y)./;
de même, en considérant la suite A/a^rr'Ax, on a pour les coordonnées x^ des tropes de P,
(4") A(A/, fù^) = r{aK af) = ^>•^
En second lieu, si, dans la suite du n" 59, le second élément intermédiaire appartient seul au poljlrope de référence, on a la suite A?r MJ, a;; NJ, qui donne (58, 64)
(A!r,M;0 = ((M7„AÎ)=(AÎ,N(;), ou bien
(5) 4=((m;{,aî)) = pî;
on peut aussi considérer la suite L^ AJ JNIJ^ A-, . C'est ainsi que, aux n"' 20 et 26, en considérant la suite rt^M A//2, on a
AVERTISSEMENT. IX
on a de même
(5") ii, = r(m, af) = i^f,
(A la fin du n" 28, dans les deux formules de droite, il faut remplacer j^ par v et ii par x; dans ce même numéro, on a mis plusieurs fois ai pour a^,)
4. Au n^ 5S.on a le théorème des moments; rélément M^, affecté du coefficient i , est le résultant des éléments de même espèce Aj affectés de coefficients Xj qui sont les coordonnées X relatives aux éléments opposés : en prenant les moments par rapport à M^, on a la formule
. x(Mi, m;;) = 2xîx (m;î, a^) = ^xï-^.
signalée au n" 10. Le théorème lui-même explique les coefficients XJ; car, en désignant par kj^ les coefficients qui doivent rendre le théorème exact, et en prenant les moments par rapport aux éléments Af, on a
ix{A.l,M'^) = klx(Al,Ak), d'où Ton conclut XrJ = XJ. On peut écrire
(mî!,m;;)=2;-
It I • .'3"'['
Ot
et cette formule contient des moments d'une seule espèce.
La formule du n" 60 doit être comprise comme il suit : en considérant la suite M^Mj^Nj^N^, on a, d'après la dernière formule
ci-dessus,
(6) ((Mj;, w2)) = (N2, NÇ) =2Y^i.,.=2y^i^'';
la formule de transformation du n" 54, qui donne u^', s'explique ainsi :
(7) «'•=(aV,m};)=2x^-ï<i..
les coordonnées xy de l'élément A^ étant les quantités yj'i,
X AVERTISSEMENT
comme on Ta vu ; on arrive à la formule
(8) ((MlNj,))=^'^X^.Vxrn.-
o. Au n" 61, on a le théorème des comomenls; la formule (6) devient
le second élément est considéré comme un élément résultant, *. l'on prend les comoments par rapport au premier; on a de même
le premier élément étant considéré comme un élément résultant (au n" 61, on a mis par erreur A|^ pour A^^). La formule de transformation du n" S9, qui donne ((MJ,, A, )), et qui équivaut à la formule (7), résulte de la dernière formule que Ton vient d'écrire ;
on a
On retrouve ainsi la formule
((8)) ((Ml,Xp)='^^X^.\^'xr.j.
6. Si l'on suppose chacun des deux éléments MJ^, NjJ, défiui par/? points, la formule (6) donne la première formule du n"6(), la formule (7) donne la formule de transformation du n" 38, et la formule (8) donne une expression du produit a-(T'((lM^, N^) sij^nalée au n**62. De même, si chacun des deux éléments est défini par q tropes, etc.
7. Si les deux éléments M et N sont identi(jues, les trois formules du n'* 4 de l'Avertissement, ou celles du n" 5 qui leur sont équivalentes, donnent la relation entre les coordonnées d'un élément Mj^(o4); au n" 6 on a les trois premières formules du n° 38 pour le calcul de t-, etc.
AVERTISSEMENT
Au n" 38, la formule
donne, par un développement connu,
it
le second membre étant une somme de produits de déterminants; on a écrit, d'une manière très concise,
»'=[[«f]].[[xn].
Une remarque analogue s'applique aux formules de transformation, quand on évalue le déterminant des u.
4'. Avant de faire p = i ou q ^= i dans ce qui précède, nous signalerons la composition des points ou des tropes, dont la première est analogue à la théorie du barycentre, et la seconde, est aqalogue à la composition des forces dans un plan. La composition des points s'explique de proche en proche en partant du n° 76 ; on a facilement le premier alinéa du n^ 49; si l'on considère un point M, affecté du coefficient i, comme le point résultant des /i points de référence affectés de coefficients convenables, on voit, en partant de la coniposition de deux points, que ces coefficients sont les coordonnées X du point. De même, etc. On a le théorème des A (41). On comprend alors la définition d'un A au n" 12
A(IM,/77)--.yX/..r', A(m,M)=^yX'.:r/;
on a encore
XII AVERTISSEMENT
Les formules du n'* 21 s'expliquent comme celles du n" 60, et les formules de transformation du n^ 19 s'expliquent comme celles du n** St; on «i
(7 ) ^'-- A(«/, M) =2xVy)./,
on a de même pour deux Iropes
5'. On a aussi le théorème des y (i2). On en conclut (26)
et Ton a également
la formule de transformation du n** 26, qui donne y(M, A/), et qui équivaut à la formule (7'), résulte de la dernière formule que l'on vient d'écrire : on a
((7')) ^({M,A;)=^X>^.rHi
on arrive ainsi à la formule
as')) viM, N) -22^"^'-^''^ '^^•'•
On a de même le théorème des F, elc. On en conclut
et Ton a également
AVERTISSEMENT
la formule de transformation donne la formule
r(m,n)^^^Xl.\;xr^^f.
[ Les formules inverses du n° 19 demandent quelques éclaircissements. D'abord, les deux déterminants inverses du n** 5 son t
Vu
et
pu Y 12
Al 7*2
Cela posé, les formules directes étant écrites sous la forme
on a, d'après la fin du n" 1, les formules inverses
on considère les colonnes du premier déterminant et les rangées du second; on tient compte des relations
hfr= A(a/, A/) = A(A/, a^) =rr A/.
En échangeant \ et /, on a les formules du n" 19.]
6'. La formule (6''), en supposant chacun des deux tropcs m et n défini par n — i points, conduit à la formule qui donne la valeur de l'expression (T(T'r(/n, n) en fonction des coordonnées u des points du premier trope et des coordonnées Y des points du second : cette formule est analogue à la première formule du n'' 32; la formule (7") donne les formules de transformation du
AVERTISSEMENT
n'* 32, et la formule (8^') donne la valeur de l'expression ci-dessus avec la seule figure de référence P. De même, etc.
7'. Si les deux tropes m et n sont identiques, les formules (6"), (7"), (8"), ou les formules ((6'')), ((7")), ((8'')) qui leur sont équivalentes, donnent la relation entre les coordonnées d'un trope (22); au n" 6', on a le calcul de (t^ (32, 34); De même, etc.
8. On peut rapprocher des calculs indiqués aux n"** 6, 7, 6', 7' de l'avertissement les calculs des n°* 116, H7, 118 de l'Ouvrage.
9. Au Chapitre VH, § iV, on a le théorème des quatre éléments : je prie le lecteur de lire les deux énoncés, en se reportant à la fiffure ci-dessous.
J'écris ici les formules du n" 131 : tout d'abord, Télément H^ ayant pour transformé I^, on a
I = (H;„ IP) = (H,„ M?) X (Ma, I/O,
et comme les deux éléments H^, MP, pleinement conjugués de seconde espèce, ont un moment tangentiel dont le carré est i , . . . , on a simultanément
(H^,MP)=i, . (Ma,I^) = i;
on a alors, par le théorème des quatre éléments,
(10) (II
(H^, M/M = (H,„ Mfi) X (Ma, M/') = (M^, W>), (M;„I/0 = (M„. MP)x (Ma, I/O =(M^„MP),
AVERTISSEMENT
le moment tangentiel, ou le moment ponctuel, étant égal à i parce que les deux éléments dont on prend le moment sont pleinement conjugués; on en conclut
(i'2) (M,„ MP) = (Mp, MP) X (Ma.MP) = (M,„ Ip) x (lïp, Mp):
on a aussi, en faisant disparaître l'élément H,
(•3) (M/', Mp) = ({Mp, IP)) X (Ip, Mp).
[Après celle formule on a mis dans le texle : el ainsi de suite, pour : etc.].
Oh a en particulier, avec la figure suivante
les relations
(II'
, = (/,M) = (/, R)x(L,M), (/,R) = i, (L,M) = i, (/,M,)=(/,R)x(L,M,) = (L,M,), (lx,M) = (|A,R)x(L,M) =((i,R)
el la formule (lo'), avec l'hypothèse (L, M)= i, est une formule du o? 97 ; on a encore
(iV) (i3')
(|i, M,) = (|x, R) X (L, M,) = ((X, M) X (/, M,), (M„^) = ((M„M))x(M,|ji)
et ces formules ont servi au n° 102.
Je donne encore, pour le théorème des quatre éléjnents, la
AVERTISSEMENT
figure schématique
On a ensuite le corollaire du théorème des quatre éléments, avec une application (lOo) qu'on peut voir dans le texte. On a la figure schématique
[A la fin du n° 97, on a mis le rayon A pour Taxe A; au n° 99, ligne 1 1, il faut lire M*. Au n" 103, lignes 23, 20 et 89, il faut mettre A-=i; au même numéro, le A des deux formules est A(Dn;^m), et il est égal à ( — i)"~S et non à i, quand D\L est le transformé de m, attendu qu'on a alors A(mOl'L) = i : d'ailleurs, la suite m 011, OÏL donne bien
y(01l„ Ole ) = A(/«,orL,) -=(— ly^-i A(oii,, m)].
10. Je signale en terminant la Géométrie autour de Madans MP (Chapitre VIII), les moments réduits (9, 118), la fonction ponctuelle de P éléments Ma+i ayant un élément Ma inscrit commun (138), et le théorème des déterminants de moments (loO). Je
AVERTISSEMENT. XVII
donne ici deux figures schématiques indiquées aux n<*'142 et 151.
/Tlx
11 . Dans les figures schématiques, on doit considérer un point comme un élément dirigé : on dirige un point en l'affectant du signe + ou du signe — . La notion de point dirigé ne se présente pas en Géométrie euclidienne, parce que la relation entre les coordonnées tétraédriques d'un point s'écrit
XVIII AVERTISSEMENT
Cette relation pourrait être écrite sous la forme
le cercle de rinfîni (quadrique évanouissante) ayant pour équation ponctuelle
quand on part de l'équation tangentielle ; le point serait alors un élément dirigeable.
G. FONTENÉ.
Juin 1892.
UHYPERESPACE
{n-i) DIMENSIONS.
