PRÉLIMINAIRES

J'indiquerai brièvement les deux idées essentielles de ce travail; la première est, je pense, une idée neuve, et je l'exposerai en restant dans l'espace réel.

On a défini depuis longtemps la pseudo-distance de deux points et le pseudo-angle de deux plans par rapport à une quadriqiie quelconque ; cette quadrique est la quadrique double d'une correspondance par polaires réciproques.

Je ne croîs pas qu'on ait essayé de remplacer cette correspondance par une corrélation générale, la pseudo-distance étant alors définie par rapport à la quadrique des points doubles de la corrélation, le pseudo-angle étant défini par rapport à la quadrique des plans doubles.

En cherchant dans cette voie, j'ai été conduit à la notion du paramètre d'un rayon (droite lieu d'un point) et du paramètre d'un axe (droite enveloppe d'un plan); et c'est cette notion que je crois surtout nouvelle. Étant donné un rayon, tout point M de ce rayon donne lieu à un plan transformé n qui coupe le rayon en un point N; les deux points M et N sont liés homographiquemenl sur le rayon, et la pseudo-distance MN est constante; c'est cette

a PRELIMINAIRES.

constante que j'appelle le paramètre du rayon. Dans une correspondance par polaires réciproques, rhomographie des points

M et N est une involution, et le paramètre est - pour tous les

rayons; dans une corrélation générale, chaque rayon a un paramètre particulier.

Je définis de même \^ paramètre d^un axe.

J'appelle alors o* de deux points le quotient du sinus de leur pseudo-distance par le sinus du paramètre du rayon qui les contient; je définis de même le S de deux plans. (Le rapport anharmonique de quatre points ou de quatre plans conserve, avec des a ou des S, la même expression qu'avec des sinus de pseudo-distances ou de pseudo-angles.) Le y de deux points MetOÎL, pris dans cet ordre, est le a* des points OTL et N,N étant le point du rayon qui est dans le plan n transformé de M; les quantités y ( M, ^) ety(on^,M) sont différentes. On définit de même le F de deux plans dont l'ordre est donné. Dans le cas d'une correspondance par polaires réciproques, les c et les S sont des sinus, les y et les F sont des cosinus.

Les propriétés métriques du tétraèdre dans une corrélation générale sont les mêmes que dans une correspondance par polaires réciproques, avec des o- et des 2 au lieu de sinus. Par exemple, la proportionnalité entre les aires des faces et les sinus des trièdres supplémentaires de ceux du tétraèdre se conserve avec les changements convenables.

Je suis arrivé à la notion du paramètre, ou du moins à la notion analogue pour la Géométrie conique, en considérant le déterminant d'un trièdre et en cherchant à le remplacer par un déterminant non symétrique ; j'ai à peu près deviné la forme (n° 89)

I cosc — Y^iï^^

cosc -h Y sine i

dérivée d'un déterminant symétrique et d'un déterminant gauche, et j'ai alors été conduit à prendre y = cotô afin d'avoir

sin(0 — a) sin(6-ha)^

sin6 sin6 '