BB'>B,B

D'ailleurs on voit sans peine que BB'> AA'= CC,. Ceci posé, dans le quadrilatère ABDA', on a (9)

chA'D<^, <chAB;

d'où, en supposant BB'< AB,

ch(AB - BB') < ^ < ch AB.

Ensuite, comme les angles C et C^ sont égaux, si par le point E milieu de ce, on mène EF perpendiculaire à BC, cette droite EF rencontrera B, C, en un point G tel que EF = EG et sera également perpendiculaire sur B^C,; de sorte que, dans le quadrilatère trirectangle B,D,FG, on a (9)

chFD,<^ <chGB„ et, à plus forte raison,

(2) ch(BC-BB')<?^^ <chBC.

Puis faisons glisser le triangle ABC le long de BC jusqu'à ce que le point B vienne en B' : le point C vient en Cj sur le prolongement de BC, et le point A en A^ à rintérieur de l'angle CB'A', parce que le déficit du triangle ABC est plus grand que celui du triangle A'B'C. En outre, comme les angles C et Cj sont égaux, si par le point H milieu de CCa on mène HI perpendiculaire à AC, cette droite Hl rencontrera A2C2 en un point J tel que HJ = HI et sera également perpendiculaire sur A2C2; de sorte que dans le quadrilatère trirectangle MA2JI, M étant le point de rencontre de B'A2 et de AC, on a (9)

AjM .

-jj- >cnJA,.

Or, en supposant CC2 = BB'< AC, on a JA2> AC - BB'. D'autre part, B'M > B' A' et B'Aa = B, A', donc

par conséquent

(3) ?lJL>ch(AC-BB').

Pour trouver une limite supérieure de B, B', je prends sur le prolongement de B'A' une longueur A'N = B^B', de sorte que, B'N étant égal à B'Aa, le point N tombe dans l'angle B'CaAj; donc, si l'on abaisse NP perpendiculaire sur IJ, le point P tombe entre I et J, et, dans le quadrilatère trirectangle A'NPI, on a (9)

-pj- < ch PN

( 28) et, à plus forte raison,

^ < ch PN.

MaisA'N = B,B'et

PN < PI -f IC -h CA' -+- A'N < AC -+- 3 BB' ;

donc

(4) ^5^<ch(AC+3BB').

Enfin, considérons les triangles rectangles BDB', B^D^B' qui ont un angle aigu commun, ainsi que les triangles rectangles HIC, EFG. Comme BB'>B,B', on a (8)

de même HC, qui est la moitié de BB', est plus grand que ËG, qui est la moitié de AA'; donc

/rx HI ^ EF IJ ^ FG

(^) HC^ÊC ^" BlF>ÂÂ-

De plus, nous avons vu dans le numéro précédent qu*à tout nombre

positif £ on peut faire correspondre une longueur 8 telle que, si BB'-< S,

on ait

BD BjDj

m EF, , IJ FG, ,

(^) HC<ÈC^'-^'^ ^" BB'<ÂA'('-^^)-

En réunissant les relations (i), . . ., (8), on a

ch(AB-BB')< U <chAB,

- ^ FG chBC^ BiDi ^ch(BC-BB')'

ch(AC-BBO < 5l^' <ch(AC-f- 3BB'),

1 BD BtPt BD 14- s BB'^BjB' ^ BB''