j^ <choj

et alors les relations précédentes donnent

ch Al a < cil w eh 9 ( a A ) , ch9(aA) < chwch/ïa;

d'où

n(x — (i)<;9(«A)<;/ia4-w.

De même

par conséquent

/i9(aa,) — ck) < 9(aA) < /i9(aa, ) -h (/i -hi)fi).

Or /i est un entier fixe, tandis que w est un nombre positif aussi petit qu'on voudra, donc

9(rtA) = n9(aai) OU

(>) On peut démontrer plus rapidement cette formule. En effet, comme /^ir</;i.ç, on a, en faisant itat = ^y

«, 6, < - (ats -4- Cl r)< ^rfQ^

et, en général,

•^^iài /( P )< «/-f-i ^/-i-i -H rt/-i ô/i ;

Ceci posé, soit X une longueur quelconque, et supposons d'abord

A = — a A =: /n aaii n

il en résulte

Supposons maintenant

n ak n

maa, < X < (//i 4- i)<ï«i,

comme la fonction 9(X) croit en même temps que X (9), il en résulte

m'^{aa^) < 9(X) < (/n H- i)cp(aai)

-9(aA)<9(X)< — ^^9(aA),

et cela, quelque grand que soit n. Donc, dans tous les cas,

9(X)i=:^-9(Aa).

Mais rien n'empêche de représenter \di longueur X par le nombre

- --9(Afl),

d'où

De même, de ce que <\»'U on déduit

«iCi > = > -;î ■

et, en général,

\aiCi(\ -f- ji/) > rt,>iC/+, -+- ji/flr/,c/, ;

mais {x/< I -h -T^r-°; donc, si l'on fait tendre AqBo vers zéro, |x/ tend vers i, et la rclatien précédente devient

Par conséquent,

d'où l'on déduit aisément <p(//P) = //?p(P).

qui lui est proportionnel : c'est ce que nous ferons désormais; et alors, en désignant ce nombre par x, nous écrirons

Cp(j7) zz: X

f{^X^ :=iç\\XZ=.

Il semblerait plus naturel de poser

et d'écrire

cp(Aa)'

/(X)=:ch|^ r=ch^,

en désignant par x le nombre qui mesure la longueur X quand on prend pour unité la longueur K, que Bolyai appelle V unité naturelle de longueur.

Mais, comme il est impossible de construire exactement la longueur K, il faudrait admettre Vexistence de cette longueur : ce qui implique un postulatum que nous avons voulu éviter.

11. Étant donné un angle aigu j^Ay {fig- 8), si d'un point B pris

Fig. 8.

sur l'un des côtés ky on abaisse Bè perpendiculaire sur l'autre côté kx, nous savons (8) que le rapport

diminue en même temps que AB; on pourrait en conclure que ce rapport tend vers une limite lorsque AB tend vers zéro. Mais celte limite n'interviendra pas dans nos raisonnements. 11 nous suffit de montrer qu'à tout nombre positif e on peut faire correspondre une longueur o telle que, si les hypoténuses AB et AC de deux triangles rectangles AB6, ACc qui ont un angle aigu commun A satisfont à la relation

AC < AB < ô,

on ait

Ce Bb Ce,

ÂG<ÂB<AC^'-^^^'

quelle que soit la valeur de l'angle commun A.

En effet, projetons les points B et C en b\ c' sur la perpendiculaire à A^ au point A; nous savons (8) que

d'où

KU A c' Ce ÀB ^ AC "^ AC'

B6 Ce \\b

^'^ Alï ^ AC A^'"

Ceci posé, prenons sur la perpendiculaire à kx au point A une longueur arbitraire AD, et sur le prolongement de AD une longueur DE

telle que

AE DE<çAI), ou TTC <'-*-*;

puis, sur AiF, une longueur AF=^ AD. Ensuite joignons EF qui rencontre en G la perpendiculaire menée par le point D à la droite AD; enfin abaissons G^ perpendiculaire sur kx.

Je dis que kg est la longueur cherchée S.

Car A^ < AF — AD. Si donc AB < A^, le triangle ABi est contenu tout entier à l'intérieur du quadrilatère ADG^, et, en appelant H le point où le prolongement de 6B rencontre DG, on a (7)

6B ^^H gi\ AE ky ^ AI) ^ AD "^ AD ^ ' "^ ^' Cl. 4

d'où, en vertu de la relation (i),

12. Nous allons maintenant chercher la relation qui existe entre les trois côtés d'un triangle ABC rectangle en A.

D'un point B' (/ig. 9) pris sur l'hypoténuse BC, abaissons B'A' per-

Fig. 9-

pendiculaire sur AC; puis faisons glisser le triangle ABC le long de AC jusqu'à ce que le point A vienne en A' : le point B viendra en B< sur le prolongement de A'B', et le point C en C, sur le prolongement de AC. Le triangle BB'B, a ses trois angles aigus (5); donc, si nous menons les hauteurs BD, B^ D^ , le point D tombe entre B, et B', et le point D^ entre B et B'. De plus, l'angle B'B, B, qui est égal à l'angle ABB^ , est plus grand que B'BB<; donc