AVANT-PROPOS

Dans la première Partie de ce travail, j'expose une méthode nouvelle pour établir les formules fondamentales de la Géométrie non euclidienne, en partant de cette remarque que :

Si l'on désigne par L une longueur arbitraire, il existe un nombre correspondant X tel que, dans tout quadrilatère ABCD qui a trois angles droits A, B, C, on ait

on en déduit immédiatement la relation qui existe entre les trois côtés d'un triangle rectangle et, par suite, toutes les autres formules.

Je n'ai pas cru devoir employer les procédés du Calcul infinitésimal, qui masqueraient l'enchaînement des raisonnements géométriques, sans apporter de simplifications notables.

En outre, je me suis astreint à la condition de ne raisonner que sur

des figures que l'on sache construire. i i

Cette condition, qu'Euclide s'est imposée comme une règle inflexible, n'est plus guère observée aujourd'hui; on a été jusqu'à dire que c'est une pure règle de jeu indigne de la Géométrie (*).

Il semble pourtant qu'elle soit indispensable si l'on veut réduire au minimum le nombre des postulats qu'on est obligé d'admettre sans démonstration.

En effet, la possibilité des constructions qu'on effectue avec la règle et le compas repose uniquement sur quatre hypothèses parfaitement définies :

i*" Par deux points on peut faire passer une droite;

2*^ On peut tracer un cercle ayant pour centre un point donné et pour rayon une longueur donnée;

3" Une droite qui rencontre le périmètre d'un polygone en un point autre que l'un des sommets le recoupe en un ou plusieurs autres points;

4" Deux lignes droites, ou deux cercles, ou une ligne droite et un cercle se rencontrent, si l'une de ces deux lignes a des points situés de part et d'autre de l'autre.

Au contraire, si, comme Lobatschewsky et Bolyai, on considère des figures que Ton ne sache pas construire, par exemple, des droites parallèles (^), des horicycles, des horisphères, etc., on est obligé ou d'admettre l'existence de toutes ces figures comme autant d'hypothèses distinctes, ou d'en démontrer la possibilité par des considérations de continuité, ce qui revient à invoquer un principe assez mal défini qu'on peut appeler le principe de continuité. A\ est bien difficile d'énoncer ce principe sous une forme assez précise pour servir de base à un raisonnement et assez générale pour embrasser tous les cas; et, quand même on y serait arrivé, on peut toujours se proposer d'établir les relations qui existent entre les éléments d'un triangle indépendamment de ce principe et en s'appuyant seulement sur les quatre hypothèses énoncées plus haut.

C'est ce que j'ai essayé de faire.

(*) WiLSON MA., Euclide comme texte de Géométrie élémentaire. Mémoire lu à la Société mathématique de Londres (Gior/ta/e di Mat., p. 364; i868).

(') Il est vrai que Bolyai indique le moyen de construire des parallèles, mais ce n*est qu'après avoir établi les formules fondamentales.

D'ailleurs, a priori, l'idée qui se présente naturellement à l'esprit pour découvrir la relation qui lie les côtés d'un triangle rectangle, c'est de tracer un réseau de perpendiculaires. Il est permis de croire que Lobatschewsky et Bolyai n'auraient jamais songé à l'horicycle et à l'horisphère s'ils ne s'étaient pas proposé avant tout de trouver une surface k laquelle puissent s'appliquer tous les raisonnements de la Géométrie euclidienne.

M. Battaglini (*) détermine directement la relation qui existe entre les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle et l'un des angles aigus; mais sa démonstration, que MM. Rouché et de Comberousse ont reproduite dans leur Traitéde Gèoméirif, n'est peut-être pas à l'abri de toute objection.

Dans la deuxième Partie, je commence par établir succinctement les formules de la Géométrie analytique non euclidienne en définissant la position d'un point dans le plan par trois coordonnées X, Y, Z liées par la relation X^ h- Y^ — Z^ = — i . Ce système de coordonnées donne des formules tout à fait analogues à celles de la Géométrie sphérique; il se prête très bien à la considération des points idéaux et permet de distinguer les points situés sur le recto et sur le verso du plan, absolument comme on distingue, en Géométrie sphérique, les points diamétralement opposés : cette distinction parait nécessaire pour la généralité de certaines théories, par exemple, pour le théorème de Ménélaiis et pour \di puissance d' un point par rapport à un cercle.

Ensuite, je passe en revue les diverses constructions qu'on peut faire en Géométrie non euclidienne avec la règle et le compas, et je

démontre qu'il est impossible de construire la longueur rL, définie

plus haut, que Bolyai appelle Y unité naturelle de longueur (^).

Enfin, dans la troisième Partie, qui est très courte, je me propose uniquement de montrer qu'on peut présenter d'une manière très simple la mesure des aires des polygones en ne considérant deux poly-

(1) SuUa Geometria immaginariti di Lobatschewsky {Giornale, p. 217). {') Bolyai, Appendix, 11° 33.

gones comme équivalents que dans le cas où ils sont formés de parties superposables chacune à chacune, et en s'affranchissant de ionipostulatum. Pour cela, il faut démontrer :

1^ Que deux polygones quelconques A et B sont comparables, c'està-dire que l'on peut toujours :

Ou bien décomposer A et B en parties superposables chacune à chacune,

Ou bien décomposer A en deux parties dont Tune soit équivalente à B,

Ou enfin décomposer B en deux parties dont l'une soit équivalente à A;

2*" Que ces trois manières d'être des deux polygones X et B sont incompatibles; par exemple, si Ton a pu décomposer A en deux parties dont l'une soit équivalente à B, il sera impossible de décomposer B en parties avec lesquelles on puisse recouvrir tout le polygone A.

Le premier de ces deux théorèmes est indispensable à tous les points de vue; quant au second, on pourrait sans doute l'ériger en axiome s'il était indémontrable; mais il ne l'est pas : il est même susceptible d'une démonstration très simple, aussi bien en Géométrie euclidienne qu'en Géométrie non euclidienne.

Ouvrages consultés.

LoBATSCHBwsKY, Etudes géométriques sur la théorie des parallèles. — Pan^ geometria (traduction italienne, Glornale di Mat.; 1867).

lioLTAi, Appendix scientiam spatil absolute veram exhibens (traduction italienne, Glornale di Mat. ; 1868).

Battaglini, Sulla Geometria immaginaria di Lobalschewsky (Glornale ; 1867).

Beltraxi, Saggio di interpretazione délia Geometria non euclidea {Glornale dlMat,; 1868).

Klefn, Ueber die sogenannte nichteuclldlsche Géométrie {Math. Ann,; 1871).

Flye Sainte-Marie, Études analytiques sur la théorie des parallèles.

Cassanf, Geometria rigorosa.

De Tilly, Essai sur les principes fondamentaux de la Géométrie et de la Mécanique {Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux; 1880).

RoucHfi et DE CoMBEROUSSB, Traité de Géométrie (Note I! de la sixième édition ).