PRELIMINAIRES

1. On dit que deux portions de droite AU, CD sont égales quand elles sont superposables.

En supposant qu'on ait pu faire coïncider CD avec AB en mettant le point C sur le point A, il n est pas évident qu on puisse faire coïncider CD açec BA en mettant le point C sur le point B : il faut le démontrer.

Pour cela, M. de Tilly {loc. cit., p. 47) considère le milieu de AB, c'est-à-dire, comme il le dit lui-même, un point tel que OA =0B; en effet, si l'on admet l'existence de ce point, on pourra faire coïncider Bx\ avec AB et, par suite, avec CD.

Mais l'existence de ce point milieu est moins évidente que le théorème que nous voulons démontrer; il convient donc d'éviter la considération de ce point.

Supposons qu'on ait transporté le segment CD de façon que le point C coïncide avec le point B {fig. 1), et qu'on le fasse tourner

Fig. I.

autour de ce point jusqu'à ce qu'il vienne s'appliquer sur BA : il s'agit de démontrer que le point D tombera sur le point A. En effet, supposons qu'il tombe en un point D' situé entre B et A; alors, en faisant tourner BD'A en sens inverse jusqu'à ce que le point D' revienne en D, le point A viendra se placer en un point A' situé sur le prolongement de CD. D'autre part, si l'on fait glisser le segment CD' jusqu'à ce que l'extrémité D' soit venue se placer en D" sur le point A, l'origine C

prendra une certaine position C" entre B et A. Actuellement, transportons ie système des deux segments A'B, CD sur le système des deux segments CD", AB; comme les segments A'B et C"D" sont la reproduction des segments AB et CD, on peut appliquer, en vertu de Tbypoihèse, A'B sur CD", le point A' sur le point C et le point B sur le point D"; mais alors il arrive que le point C se trouve placé en A, et le point D entre A et C", par conséquent entre A et B, ce qui est contre rhypothèse. Donc il est impossible que le point D' tombe entre B et A. On démontrerait de la même façon qu'il ne peut pas tomber sur le prolongement de BA; donc il tombe au point A. c. q. f. d.

On appelle somme de plusieurs portions de droites la portion de droite obtenue en les portant, à la suite les unes des autres, sur une même ligne droite.

On dit qu'une droite A Q^i plus grande qu'une droite B, ou que B est plus petite que A, si Ton peut trouver une troisième droite C telle que A = B 4- C.

En s'appuyant sur les définitions et le théorème qui précèdent, on démontre ( * ) que :

i"* L'addition des portions de droites est une opération associative et commutative;

2*^ Entre deux portions de droites A et B, il existe l'une des trois

relations

et chacune de ces trois relations exclut les deux autres; 3^ Si A = A', B = B'; il en résulte A -h B = A' -+- B'; Etc.

2. On peut répéter sur les angles tout ce qu'on vient de dire sur les portions de droites.

3. Pour évaluer le rapport de deux droites A et B, les définitions et les principes précédents ne suffisent pas; il faut encore admettre que, quelles que soient A et B,

C) 0. Stolz, yorlesungen ûber cUlgemeine Arithmetik, p. 70.

(7) On peut trouver un multiple de B qui surpasse A ( * ) : /iB > A.

On en déduit -A<B, c'est-à-dire qu'on peut trouver un sous-multiple de A qui soit moindre que B.

Le rapport de deux droites données est un nombre déterminé, commensurable ou non; mais, comme nous n'acceptons que les constructions qu'on peut faire avec la règle et le compas, nous n'admettrons pas qu'à tout nombre donné a corresponde nécessairement un système

de deux droites A, B telles que « = «•

Pour la même raison, chaque fois qu'il sera question de diviser une droite en n parties égales, nous supposerons que n est une puissance de 2.

En ce qui concerne la mesure des angles, il n'est pas nécessaire d'admettre un axiome nouveau : si l'on admet que les multiples d'un segment de droite peuvent surpasser toute droite donnée, on peut démontrer i\\xQ les multiples d'un angle a peuvent surpasser tout angle donné. En effet, considérons un triangle quelconque et un cercle situé à l'intérieur de ce triangle; construisons n angles consécutifs égaux à a et ayant pour sommet commun le centre du cercle; soit c la corde qui sous-tend l'arc compris entre les côtés de Tun de ces angles, on peut, par hypothèse, choisir n de façon que ne surpasse le périmètre du triangle considéré, et alors ncL sera plus grand que quatre angles droits. c. q. f. d.

(*) M. Stolz {loc, cit., p. 70) désigne cet axiome sous le nom de principe d'Archimède; mais il se trouve aussi dans Euclide, qui l'énonce sous forme de définition en disant que des grandeurs ont un rapport entre elles quand les multiples de chacune d'elles peuvent surpasser toutes les autres (Livre V, définition IV).