AM I , AB
sh — = - sh — :
donc AM est le côté de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle de diamètre AB.
Cette construction est due à Bolyai, qui y est arrivé par la considération de l'horisphère.
Déplacement d'une figure dans le plan.
45. Nous avons admis au n** 38 que tout déplacement d'une figure dans le plan équivaut à une rotation autour d'un point fixe réel, idéal ou à Vinfini,
Pour établir cette proposition, désignons par X, Y, Z les coordonnées normales d'un point M réel ou iV/ea/ relativement à deux axes rectangulaires Oa?, Oj. Supposons que, après le déplacement, le point M soit venu en M' et que le système xQy soit venu en x'ÇS' y \ les coordonnées du point M' dans le système aj'O'y sont toujours X, Y, Z ; donc les coordonnées de ce point dans le système arOj sont
X'=:aX-ha'Y-+-a''Z, Y'=:6X-+-6'Y-4-6^Z, Z' = cX-hc'Y-+-c'Z,
les neuf coefficients a, 6, c, ... étant liés par les relations (2) du n« 18.
Pour que le point M soit resté fixe, il faut que
c'est-à-dire que le point M doit appartenir aux trois droites
Or le déterminant
h b' — ib'
est nul en vertu des relations
b'c^ -'db^'—ay c''a — a''c:=.b'y ab' — ba'=c";
donc les trois droites (2) concourent en un même point.
(96) Soit I ce point : trois cas peuvent se présenter.
1** Le point I est réel. — En prenant ce point pour origine des coordonnées, les formules (i) se présentent sous la forme
X' = X cos a — Y sin a, Y'=:Xsina h- Ycosa, Z' = Z;
donc tous les points du plan tournent autour du point I d'un angle a.
2® Le point I est idéal. — Alors sa polaire P est réelle. En prenant cette polaire pour axe des x, les formules (i) prennent la forme
X'mXchd-hZshd,
Z'=Xsh«-t-Zchô;
donc tous les points du plan décrivent des hypercycles ayant pour axe la droite P, et leurs projections sur cette droite parcourent des chemins égaux à 8.
Remarque. — Que le point I soit réel ou idéal, sa polaire rencontre le cercle de l'infini en deux points V et T qui restent immobiles : ainsi il y a dans le plan trois points fixes I, l\ V (Klein). Si le calcul précédent ne nous en a donné qu'un, cela tient à ce que les points l et I" n'ont pas de coordonnées normales. Mais rien n'empêche de convenir que, dans les formules (i), X, Y, Z et X', Y'', Z' désignent les coordonnées homogènes des deux points M et M'; alors, pour que ces deux points coïncident, il suffît que
ce qui donne
X'=:XX, Y' = XY, Z'=XZ:
ou, en développant,
, XM- (a 4- 6'4- c") X (X — i) = o.
^97) En prenant la racine X = i, on retrouve le point I; les deux autres racines donnent les points V et F.
3** Le point I est à V infini. — En faisant passer l'axe des y par ce point, les formules (i) deviennent
On en déduit d'abord
ce qui montre que les points M et M' dont les coordonnées sont X, Y^ Z et X', Y', Z' se trouvent sur un même horicycle ayant pour centre le point I.
Eiisuite considérons l'horicycle H qui a pour centre le point I et qui passe par l'origine; et projetons les points M et M' sur cet horicycle en N et en N' {fig- ^\), c'est-à-dire menons par les points M et
M' des parallèles k Oy qui rencontrent l'horicycle H en N et en N'. Désignons par S et par S' les arcs d'horicycle ON, O'N' considérés comme positifs à droite de Oy et comme négatifs à gauche
ON
