Construire une longueur x telle que

%h}x =: sh'a -h sh'a'.

Soient OA et OA' (Jig. 3g) deux cordes d'un horicycle ayant pour Ion-

Fig

gueurs respectives ia et 2a', et considérons la longueur inconnue ix comme une corde OM du même horicycle, de sorte que

sh'

OA'

(93) d'où, en abaissant AQ, A'Q', MR perpendiculaires sur la tangente en 0,

shMR=:shAQ + shA Q\

Connaissant AQ et A'Q', on pourra construire une longueur MR satisfaisant à cette relation et, par suite, déterminer le point M.

On peut aussi remarquer que, en abaissant iVP et A'P' perpendiculaires sur le rayon Oj, on a

shAP z=2sh — =2sha,

D'autre part,

d'où

OA' shA'P'=: 2sh ~ 2sha'.

eOP=ichAP, e<>p'=chA'P',

1 nnr I / chAP chA'P' ch PP' = - I . .,,., -h

2\chA'P' chAP

2chPP' chAP ch A'P' = sh'AP -+- sh«A'P' -h 2 ;

donc, en appelant P l'hypoténuse du triangle rectangle qui aurait pour côtés de l'angle droit AP et PA', on a

2chp = 4sh'a •+■ 4sh*a'-h 2,

d'où

Cela revient à dire que, si l'on fait tourner le demi-horicycle OA' autour de Oy jusqu'à ce qu'il vienne se placer dans un plan perpendiculaire au plan jOA, les trois arcs d'horicycles OA, OA', AA' seront liés par la relation

(arcAA')*= (arcOA)»H- (arcOA')».

On sait d'ailleurs, depuis Lobatschewsky, qu'on peut faire toutes les constructions de la Géométrie euclidienne sur la surface, appelée horisphère, qui est engendrée par un horicycle tournant autour d'un de ses rayons. Si nous avons évité la considération de cette surface, c'est pour montrer que la Géométrie plane se suffit a elle-même.

Polygones réguliers.

44. Le côté a d'un polygone régulier de n côtés inscrit dans un cercle de rayon r satisfait à la relation

sh — zzishrsin — • 2 n

Donc on peut construire a toutes les fois que la valeur de sin - peut

s'obtenir en résolvant une ou plusieurs équations du second degré à coefficients entiers^ c'est-à-dire pour

Ainsi on peut construire en Géométrie non euclidienne les mêmes polygones réguliers qu'en Géométrie euclidienne. Par exemple, pour /i = 6,

sh - =: - shr.

Or, si parles extrémités d'un diamètre AB {fig> 4o) du cercle con-

Fig. 4o.

sidéré on fait passer un horicycle qui rencontre en M le diamètre perpendiculaire à AB, on a