X.izi 3 sh

ON

Y.= 2sh*^ = i€S

Z,=:chON =i4-i?';

on en déduit sans peine que celles du point M sont données par les formules

Y := Yi e--^ -h shY] = {l^e-^ -h sh y),

Z = Z, e-^-+- shY] = (i 4- H*)e-^ 4- shY),

et celles du point M' par des formules analogues. En substituant dans les relations

on trouve d'abord

d'où 7)'= Y), ce qui montre à nouveau que les points M et M' sont sur un même horicycle concentrique à H; ensuite

donc Tare d'horicycle NN'= $'— S est constant et égal à b.

Ainsi» tous les points du plan restent à une distance constante de r horicycle H, et leurs projections sur cet horicycle parcourent des chemins égaux à b.

On pourrait d'ailleurs démontrer tout ce qui précède par des raisonnements géométriques analogues à ceux qu'on fait en Géométrie euclidienne.

Les coordonnées horicycliques que nous avons définies plus haut ont été introduites par Beltrami et par M. Flye Sainte-Marie.

Les formules précédentes montrent que, dans ce système de coordonnées, l'équation d'une droite est de la forme