MESURE DES AIRES

46. On aippelle polygone une portion de plan limitée par une lij»ne brisée fermée dont les côtés ne s'entrecoupent pas :

i^ On dit que deux polygones sont équivalents quand ils sont ou supcrposables ou composés d'un même nombre de polygones superposables chacun à chacun.

Il en résulte que deux polygones formés d'un même nombre de polygones équivalents chacun à chacun sont eux-mêmes équivalents.

De plus, il est facile de montrer que deux polygones A e/ B équivalents à un tmisiérne polygone C sont équivalents. En effet, par hypothèse, on peut décomposer C en parties a^ avec lesquelles on peut former A, et en parties p, avec lesquelles on peut former B. Mais, si l'on trace à la fois dans le polygone C les lignes qui limitent les a^ et celles qui limitent les p,, le polygone C se trouvera décomposé en parlies Yi avec lesquelles on pourra former soit A, soit B. Donc A et B sont équivalents.

Cette démonstration est d'ailleurs connue depuis longtemps, bien qu'elle soit assez peu répandue.

2** On dit qu'un polygone A est la somme de plusieurs polygones B, C, D quand il est formé de polygones partiels respectivement équivalents à B, C, D.

3*^ On dit qu'un polygone A est plus grand qu'un polygone B, ou que B est plus petit que A, quand on peut trouver un troisième polygone C tel que A soit la somme de B et de C.

47. Comme on peut décomposer un polygone en plusieurs autres d'une infinité de manières, il y a lieu de démontrer que chacune des

( loi )

trois relations

exclut les deiLV autres.

Pour peu qu'on réfléchisse à cette proposition, on reconnaîtra qu'elle n'est rien moins qu'évidente. Pour la démontrer, M. Flye Sainte- Marie propose de décomposer le plan en zones identiques par une suite illimitée d'horicycles concentriques et équidistants, puis de partaj^er toutes ces zones en cases identiques par des normales communes limitées à deux horicycles successifs; après quoi, en désignant par n le nombre des cases situées à l'intérieur d'une surface A, et par n' le nombre des cases situées à l'intérieur d'une autre surface B, on démontrerait :

1^ Que, si A et B sont équivalentes, c'est-à-dire formées de parties superposables, à tout nombre positif e on peut faire correspondre une longueur d telle que, si les dimensions des cases sont inférieures à r/, on ait

quelle que soit la position des surfaces A et B dans le plan ;

a? Que, si A > B, on peut trouver un nombre positif s' et une longueur rf' tels que, si les dimensions des cases sont moindres que (l\ on ait

Il en résulte évidemment que les hypothèses A = B, A>B sont incompatibles.

Mais, en se bornant, comme nous le faisons, à la considération des polygones, l'incompatibilité des hypothèses A = B et A^B résulte immédiatement de la comparaison des déficits àç; A et de B.

En effet, n'eus avons appelé déficit d'un polygone de n côtés (4) ce qui manque à la somme de ses angles pour faire (n — 2)11, en supposant, bien entendu, que, s'il y a des angles rentrants^ on attribue k chacun d'eux une valeur comprise entre 11 et 211. Or on voit aisément que, si à un polygone P on ajoute un triangle T, de quelque manière que se fasse la juxtaposition, le déficit du polygone ainsi formé est la

somme des déficits de P et de T ; on en déduit que, si un polygone est la somme de plusieurs autres, son déficit est la somme des déficits des polygones partiels. Donc :

i" Si les polygones A, B sont équivalents, c'est-à-dire formés des mêmes polygones partiels, leurs déficits sont égaux.

2" Si A>B, c'est-à-dire si l'on peut trouver un troisième polygone C tel que A = B -h C, le déficit de A est plus grand que celui de B.

Gomme le déficit de A ne peut pas être en même temps égal et supérieur à celui de B (2), il faut en conclure que les relations A = B, A>B s'excluent mutuellement.

Le raisonnement qu'on vient de faire s'applique à la Géométrie sphérique, en remplaçant la considération du déficit par la considération de Vexcês sphérique.

Nous allons montrer que, en Géométrie euclidienne, on peut trouver quelque chose d'analogue.

Traçons dans le plan deux axes rectangulaires Qx^ Oy et désignons par

^X9 Aj, • • • , Art

les sommets d'un polygone, tels qu'ils se présentent en parcourant le périmètre du polygone dans Xeisens dit positif , c'est-à-dire, en supposant les axes disposés comme l'indique la figure {fig* 42), dans un sens tel qu'on ait constamment à sa gauche l'intérieur du polygone.

Fig. 4a.

Désignons par x^, yi les coordonnées de A/ et considérons l'expression

( loi ) Il est aisé de voir, en considérant les formules de transformation

jc=z x' cos a — /' sin a, y z=zjc' sina-^ y' cos a,

que la valeur de cette expression ne change pas quand les axes se déplacent dans le plan.

De plus, si Ton retourne le système ccOy, en changeant le sens de Taxe des y sans toucher à l'axe des x, les y des divers sommets changent de signe; mais en même temps il faut renverser le numérotage des sommets : A^ devient A^, A3 devient A;,,, ...; par conséquent, S reprend la même valeur.

Ainsi la valeur de S est indépendante du choix des axes, ou, ce qui revient au même, indépendante de la position du polygone dans le plan.

Or la S d'un triangle AjAaAj est positive, car, en prenant A^ pour origine et A, A2 pour axe des a:, on a

= ^iyi>o.

Ensuite, s'il s'agit d'un quadrilatère A, Aj A3 A », en posant

Xi Xj

ïi yj

l'identité

montre que la S du quadrilatère A^A^AjA, est la somme des S des triangles A, A2A3, A, A3A4.

En général, si un polygone est la somme de plusieurs autres, sa S est la somme des S des polygones partiels.

En particulier, comme tout polygone peut se décomposer en triangles, la S d'un polygone est un nombre essentiellemeni positif ,

( ïo4 )

Ceci posé,

I** Si deux polygones A et B sont équivalents, c'est-à-dire formés des mêmes polygones partiels, ils ont même S;

2° Si A>B, c'est-k-dire si l'on peut trouver un troisième polygone C tel que A = B -h C, la S de A est plus grande que celle de B.

Comme la S de A ne peut pas être à la fois égale et supérieure à celle de B, il faut en conclure que les hypothèses A = B, A >► B sont incompatibles.

On voit que la démonstration précédente repose tout entière sur la distinction des deux sens dans lesquels on peut parcourir le périmètre d'un polygone ABCDE (y?g-. 42); il importe donc de définir le sens positif d'une façon aussi précise que possible. A cet effet, imaginons qu'on déplace l'angle droita?Ovdansle plan, de manière que lepointO vienne en B et que Oy se place sur la bissectrice de l'angle ABC à l'intérieur du polygone : OiT tombera d'un côté ou de l'autre. Supposons qu'il tombe du côté de BC : c*est le sens de B vers C qui sera le sens positif sur le côté BC. Or, en déplaçant de nouveau l'angle xQy de manière que le point vienne en C et que Oy se place sur la bissectrice de l'angle BCD et toujours à l'intérieur du polygone, on voit que Ox tombe nécessairement du côté de CD : c'est donc le sens de C vers D qu'il faudra prendre pour sens positif sur le côté CD. Et ainsi de suite.

48. Revenons à la Géométrie non euclidienne, et montrons que deux polygones quelconques sont comparables, c'est-à-dire qu'entre deux polygones A et B, il existe toujours l'une des trois relations

Considérons un triangle ABC (Jig. 43) et menons la droite DE qui joint les milieux des côtés CA et CB. Les angles CDE, CED ne sont pas tous deux obtus ; supposons, par exemple, que CDE soit aigu.

En prolongeant DE d'une longueur EF = DE, on forme un quadrilatère ABFD évidemment équivalent au triangle ABC; ensuite, abaissons AH et BG perpendiculaires sur DE; comme l'angle CDE est aigu ainsi que l'angle F, qui lui est égal, les points H et G tombent l'un à gauche de D, l'autre à gauche de F. Les deux triangles AHD et BGF

( to5)

sont égaux : Bolyai en conclut que les quadrilatères ABFD et ABGH, qui s'obtiennent en retranchant ces deux triangles de la figure totale ABFH, sont équivalents. Mais, à notre point de vue, pour établir l'équivalence de ces deux quadrilatères, il faut montrer qu'on peut les décomposer en parties superposables chacune a chacune.

Fig. 43.

Cela est évident si les deux segments égaux HD, GF n'empiètent pas l'un sur l'autre.

Dans le cas contraire, partageons ces deux segments HD, GF en un même nombre n de parties égales qui soient chacune moindres que HG, et, par les points de division, menons

HiA|, H2A2, ..., GiBj, GjBj, ...

perpendiculaires à HF, de manière à décomposer les triangles AHD, BGF en parties respectivement égales chacune à chacune.

Le quadrilatère AHH^Ai est contenu tout entier dans AHGB, puisque HH<<HG; donc, en transportant AHH^ A, en BGG,B<, on transforme le quadrilatère AHGB en un hexagone équivalent AA,H,G<B,B

AHGB = AA,H,G,B,B;

de même

AA,H,GiBiB==AAïH,G,B,B;

et ainsi de suite.

Finalement on arrive au quadrilatère ADFB. Donc

AHGB = ADFB = ABC.

( ïoG )

Inversement, si sur la droite HF on prend un point quelconque D', en menant la droite AD' et en la prolongeant d'une longueur D'C' = AD', on aura un triangle ABC équivalent a AHGB, et par conséquent (46) équivalent au triangle ABC. De plus, on peut faire en sorte que le coté AC du nouveau triangle soit égal à une longueur donnée / plus

grande que AC : il suffit pour cela de prendre AD'= -•

Ainsi, étant donnés deux triangles quelconques T et T', on pourra construire doux triangles ABC, ABC {fig^ 14) de même base AB, res-

Fig. 4'|.

pectivement équivalents à T et a T. Joignons les milieux D, E et D', E' des cotés CA, CB et C'A, CB; et abaissons BG et AH perpendiculaires sur DE; le quadrilatère ABGH ainsi obtenu étant birectangle et isoscèle, la perpendiculaire k AB en son milieu Oesl aussi perpendiculaire à DE <Mi un point M; et, pour la même raison, elle est aussi perpendiculaire \\ DE' en un point M'. De trois choses Tune : ou OM = OM', et alors les triangles T et T' sont équivalents;

Ou OM > OM'; alors D'E' rencontre BC en un point E", et, en prenant sur BC une longueur E''C'= BE", on obtient un triangle ABC équivalent k ABC et contenu tout entier dans ABC : donc

T = T -hACC>T'; Ou 0M'> OM; alors on trouve un triangle T" tel que

d*oij

Soient maintenant deux polygones quelconques A et B; décomposons-les en triangles a/ et b^

A = flTj -H ^j 4- . . . , B =: ^, -h ^, -f- . . . .

Comparons les triangles a, et b^ comme on vient de Texpliquer; nous trouverons, par exemple,

comparons ensuite a, et b.^\ nous trouverons, par exemple,

^, rr: a, -+. Pi ;

comparons «2 et fl^, et ainsi de suite. Finalement,

Ou les deux polygones A, B seront épuisés en même temps, et alors A = B,

Ou B sera épuisé avant A; alors, en appelant A' ce qui reste de A,

on a

Ou A sera épuisé avant B; alors, en appelant B' ce qui reste de B,

on a

Dans le premier cas, le déficit de A sera égal à celui de B; dans le second cas, il sera plus grand, et, dans le troisième, plus petit.

Donc, réciproquement, selon que le déficit de A sera égal, supérieur ou inférieur à celui de B, on en conclura que A est lui-même équivalent, supérieur ou inférieur à B.

Corollaires.

1*^ Si le déficit de A est égal à la somme des déficits de B et de C, on a A = B 4- C.

2? Si A> B, il y a une infinité de polygones X qui vérifient l'équation

B-hX = A;

( io8 ) mais ils sont tous équivalents puisqu'ils ont même déficit, savoir

déficit A — déficitB ;

on peut donc désigner l'un quelconque d'entre eux par le symbole A - B.

3** Si A > B, on peut trouver un entier m tel que

/nB> A;

cela résulte de ce qu'on peut déterminer m de façon que

m déficilB > déficit A.

ff A etB étant deux polygones quelconques, à chaque entier n, on peut faire correspondre un entier m tel que

mH^/iA< (a?h-i)B.

La fraction — ainsi déterminée s'appelle la i^aleur approchée à près du rapporter; et l'on définit le rapport '|t lui-même, comme un

nombre supérieur ou égal à tous les — et inférieur aux

Mais, pour tous les systèmes de valeurs de //i et de /z satisfaisant aux relations précédentes, on a aussi

m déficit H 1/j déficil A < (/?« -h i) déficitB.

11 en résulte

A déficit A

B "" déficilB'

Le rapport de deux polygones est égal au rapport de leurs déficits.

C'est le théorème que nous voulions établir.

On voit que, à la rigueur, il n'est pas nécessaire de savoir diviser B en n parties équivalentes. Néanmoins, pour ne rien laisser à désirer, nous allons montrer que cette division est possible toutes les fois que n est une puissance de 2,

Soit n = 2.^y et désignons par ^ le déficit de B. On peut choisir un

( I09 ) entier q de façon à satisfaire aux relations

<llPy

puis faire un angle

et mener une perpendiculaire BC au côté G^ qui ne rencontre pas l'autre côté 0\ (yîg". 45) : en menant la perpendiculaire'commune DE aux

Fig. 45.

deux droites OA et BC, on obtient un quadrilatère trirectangle OBED, dont le déficit est égal à ~ Par conséquent, en juxtaposant 2^~^ quadrilatères égaux à OBED, on forme un polygone qui, ayant pour déficit

sera précisément la A^'*■'"* partie de B.

49. Enfin, pour terminer, considérons l'espace compris entre deux parallèles OA, FG et la perpendiculaire OF abaissée d'un point de OA sur FG (Jig. 45). Soit M un point mobile sur OA et MP la perpendiculaire abaissée de ce point sur FG : nous allons montrer que l'aire du quadrilatère OMPF tend vers une limite lorsque le point M s'éloigne indéfiniment.

Construisons, comme plus haut, un quadrilatère trirectangle OBED qui ait pour angle aigu l'angle AOF; comme l'angle OMP est obtus, le quadrilatère OMPF est moindre que le quadrilatère ODEB, et la diffé-

rence entre ces deux quadrilatères est un polygone ayant pour déficit

AiMP : donc pour établir que cette différence peut devenir moindre

qu'un polygone donné Q, il suffit de montrer que, en désignant par a> le déficit de Q, on peut déterminer le point M de façon que

- - AMP < 03.

En effet, construisons un triangle rectangle dont l'un des angles aigus soit égal à ^- — co j, et soit S le côté de l'angle droit de ce triangle

qui est adjacent k l'angle ( - •— co); nous pourrons déterminer le point

M de façon que MP = S (35), et alors l'angle AMP, qui est l'angle de parallélisme correspondant à la distance S, sera manifestement plus

grand que (-— 0)). c. q. f. d.

Ainsi le quadrilatère OMPF a pour limite ODEB, et l'on peut dire, dans un certain sens, que l'aire illimitée AOFG est équivalente à ODEB.

Vu et approuvé :

Paris, le i3 septembre 1892.

Le Doyen de la Faculté des Sciences, G. DARBOUX.

Vu et permis d'imprimer :

Paris, le i3 septembre 1892.

Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,