CHAPITRE II

DES METHODES DANS LES SCIENCES ET EN PARTICULIER EN GEOMETRIE. - COUP D'ŒIL GÉNÉRAL SUR LA GÉOMÉTRIE.

Les anciens distinguaient deux méthodes pour parvenir à la vérité, l'analyse et la synthèse. L'analyse va de la conclusion à l'hypothèse, et la synthèse au contraire, de l'hypothèse à la conclusion. Il convient d'éclaircir cela par un exemple. Supposons que l'on veuille chercher une démonstration de cette proposition, a Le côté de hexagone régulier inscrit dans un cercle, est égal au rayon. » En joignant le centre aux extrémités d'un côté de l'hexagone, on aura un triangle ; tout revient à démontrer que ce triangle est équilatéral ; pour démontrer ce dernier point, il suffît de faire voir que tous, les angles du triangle sont égaux. Or l'angle au centre vaut la sixième partie de quatre angles droits ou deux tiers d'angle droit ; l'angle en l'un des sommets interceptant sur la circonférence 2 divisions dont chacune

est — de la circonférence, vaut — de deux angles

droits ou - de droit. On a ainsi trouvé la démons-

tration, en remontant de proposition en proposition, depuis celle qu'on veut démontrer jusqu'à une que l'on sait être vraie. C'est là l'analyse. La synthèse consiste à parcourir les propositions dans l'ordre inverse, en partant des hypothèses et aboutissant à la conclusion. C'est la manière ordinaire d'exposer les démonstrations.

L'analyse est simplement la recherche d'une démonstration, en commençant par la fin, ce qui est généralement plus commode. Quand la démonstration a été trouvée, ou la rétablit dans l'ordre naturel, c'est la synthèse.

Mais les mots analyse, synthèse, s'emploient dans d'autres sens. En voici un sensiblement différent du sens indiqué ci-dessus. Prenons ce problème (( construire un cercle tangent à trois cercles donnés ». En supposant qu'il existe un tel cercle, on trouve une construction donnant les trois points de contact, la recherche de cette construction constitue l'analyse ; mais elle a besoin d'un complément. 11 faut, par la synthèse, démontrer que le cercle ainsi construit est bien tangent aux trois cercles.

Enfin, ces expressions ont un autre sens, bien différent des précédents, dans les mots: démonstration

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analytique, démonstration synthétique. A tout point on peut, comme il a été dit précédemment, faire correspondre à un système de trois nombres, ses coordonnées. A toute propriété d'un ensemble de points correspond une propriété de l'ensemble de leurs coordonnées. Ainsi toute propriété des figures est réductible à une propriété des nombres. Lorsqu'au lieu de démontrer une propriété des figures, on démontre la propriété correspondante sur les nombres, c'est là ce qu'on nomme une démonstration analytique. Par opposition, une démonstration directe est dite synthétique. Jetons maintenant un coup d'oeil sur la science géométrique.

L'objet de la géométrie est, nous le savons, l'étude des figures, c'est-à-dire des ensembles de points. Ces ensembles peuvent être de natures très diverses ; aussi la science géométrique est-elle fort étendue et très riche par le nombre et la variété des propositions qui la composent.

L'étude des droites, des plans et des sphères avec quelques notions sur les sections coniques, compose la géométrie élémentaire, et cela représente déjà un ensemble fort étendu de propositions. La géométrie analytique, en permettant de définir un ensemble de points, ligne ou surface, par une équation, élargit énormément ce domaine. La théorie des sections

coniques devient ici celle des courbes du second degré. Dans l'espace à trois dimensions, on a d& même les surfaces du second degré, surfaces qu'un plan quelconque coupe suivant une section conique.

La théories des courbes algébriques, qui se rattache étroitement à l'analyse, peut être considérée ensuite. L'introduction des points imaginaires est indispensable pour donaer aux propositions toute leur généralité. Lorsque l'équation d'une courbe^ par exemple, est vérifiée quand on remplace les coordonnées d'un point par des quantités imaginaires, a + bi, ('■ + di (en remplaçaut dans les calculs *^ par — 1), on dit que la courbe passe par le point imaginaire ayant ces quantités pour coordonnées. Ce n est là qu'une manière de parler, car aucun point réel ne possède de coordonnées imaginaires, mais l'expression a un sens puisqu'elle correspond à un calcul que l'on peut faire et qui permet, dans chaque cas particulier, d'en vérifier l'exactitude ou la fausseté.

Les courbes algébriques se classent d'après leur ordre, qui est le degré de leur équation. Une courbe de degré ou d'ordre m est coupée par une droite quelconque en m points réels ou imaginaires. La classe de la courbe est le nombre de tangentes, réelles ou imaginaires, qu'on peut lui mener par un point.

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^lais il y a un nombre bien plus important pour l'étude des courbes algébriques que l'ordre et la classe, ce nombre est celui qu'on nomme le genre.

11 est impossible ici, d'en donner une définition. Disons seulement que si deux courbes se correspondent point par point, de telle manière que, sauf pour certains points particuliers, à un point de l'une des courbes correspond un point unique de l'autre, ces deux courbes ont forcément même genre. Ainsi, il n'est pas possible de trouver une transformation faisant correspondre à un point d'une courbe un point unique d'une seconde courbe, et vice versa, qui transforme une courbe en une autre de genre différent.

Dans le domaine de la géométrie à trois dimensions on rencontre la théorie des surfaces où se présentent des questions extrêmement variées, exigeant à chaque instant, pour être résolues„remploi de l'analyse. Les surfaces possèdent en chaque point un plan tangent, contenant les tangentes à toutes les courbes que l'on peut tracer sur la surface par ce point. Si l'on coupe la surface par un plan très voisin du plan tangent, on obtient une courbe que l'on peut toujours considérer comme une conique infiniment petite. Charles Dupin qui imagina cette petite conique, lui donna le nom d'indicatrice et elle lui servit pour étudier la courbure de la surface.

On peut étudier sur la surface différentes séries de lignes remarquables. Les lignes de courbure qui, en chaque point de la surface, sont tangentes aux axes de symétrie de l'indicatrice. Les lignes asympîotiques, tangentes aux lignes suivant lesquelles le plan tangent en chaque point coupe la surface dans le voisinage de ce point. Les surfaces ayant en chaque point leurs lignes asymptotiques rectangulaires se nomment surfaces minima. Si l'on considère une courbe fermée non plane, la surface de plus petite étendue qu'on puisse faire passer par la courbe, est une surface minima. Le célèbre physicien Plateau a indiqué le moyen de réaliser physiquement de pareilles surfaces. Il plonge un petit contour en fil de fer formant une courbe fermée non plane dans un liquide susceptible de former des lames minces, comme l'eau de savon, ou mieux, un mélange d'eau de savon et de glycérine. Le liquide adhère au contour et forme une membrane mince limitée au contour et la forme affectée par cette surface est celle d'une surface minima.

Le problème de déterminer une surface de cette espèce passant par un contour donné est des plus difficiles. Il ne peut être résolu que dans des cas très particuliers.

Une espèce de ligne que l'on peut tracer sur une

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surface est constituée par les lignes géodésiques. Ce sont les lignes les plus courtes que Ton puisse tracer sur la surface entre deux de leurs points suffisamment rapprochés. La distance de deux points comptée sur une ligne géodésique est la distance géodésique.

Le problème de faire correspondre à une surface donnée une autre surface, de manière que la distance géodésique de deux points de la première soit égale à celle des deux points correspondants sur la seconde est le problème des surfaces applicables sur la surface donnée. C'est encore là un problème des plus difficiles. Toutefois, on peut résoudre le problème dans le cas où la surface donnée est un plan. Les surfaces applicables sur le plan sont les surfaces développahles, formées de toutes les tangentes à une €Ourbe.

En géométrie, nous l'avons déjà dit, on considère autre chose que des ensembles de points. On considère également des ensembles de lignes ou des ensembles de surfaces. Nous avons déjà dit, à propos des dimensions de l'espace, qu'une ligne droite dépend de quatre quantités, ou, suivant l'expression adoptée, que l'ensemble des droites est une variété à 4 dimensions.

Il en est de même de l'ensemble des sphères, car

pour déterminer une sphère il faut se donner les trois coordonnées du centre et le rayon. M. Sophus Lie a indiqué un moyen de faire correspondre à chaque droite une sphère et à chaque sphère une droite, de sorte que deux sphères tangentes correspondent à deux droites qui se coupent. Cette transformation est très intéressante, mais pour en donner une idée, il faudrait entrer dans de longs développements. Je me borne donc à la signaler.

Les ensembles de vecteurs doivent aussi être signalés ici. Ils ont dans les applications à la mécanique et à la physique mathématique, une très grande importance, et nous aurons l'occasion d'en reparler. Disons-en seulement quelques mots ici.

Un vecteur est un segment de droite AB, dont l'origine A se distingue de l'extrémité B. Le sens du vecteur est le sens AB.

L'ensemble de tous les vecteurs possibles est une variété à six dimensions, puisque donner un vecteur c'est donner les trois coordonnées de son origine, et les 3 coordonnées de son extrémité.

Deux vecteurs égaux, parallèles et de même sens sont dits équipollents.

La somme géométrique, ou résultante de deux vecteurs OA, OB, est la diagonale du parallélogramme ayant OA et OB pour côtés.

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La vitesse d'un point qui décrit une courbe, par exemple, se représente par un vecteur, ce vecteur a son origine au point qui décrit la courbe, sa direction est celle de la tangente à la courbe, dans le sens du mouvement, et sa grandeur est celle de la vitesse.

Si, un point A décrivant une courbe, on mène par un point fixe 0 une droite OB égale, parallèle à la vitesse du point A et de même sens, on obtient un point B qui reste immobile dans le cas où la courbe décrite par le point A se réduit à une droite parcourue d'un mouvement uniforme. Dans ce cas, en effet, la vitesse est constante en grandeur et direction. Dans le cas contraire, le point B se déplacera et décrira une seconde courbe souvent appelée l'indicatrice de la première; et la vitesse de ce second point B, est appelée l'accélération du premier. J'indiqueicicettenotion,pourfaciliterau lecteur lin telligence de ce que je dirai à propos de la mécanique.

Si à chaque point de l'espace on fait correspondre un vecteur ayant son origine en ce point, on a ce qu'on nomme un champ de vecteurs. Les diverses théories de la mécanique et de la physique présentent de nombreuses applications de cette notion.