CHAPITRE PREMIER
LE CALCUL DES PROBABILITÉS
Il arrive souvent que divers événements peuvent avoir lieu, et par une sorte de raison de symétrie, doivent être considérés comme également possibles. Donnons des exemples. Un dé possède six faces, si ce dé est un cube bien régulier, quand on le jette en 1 air, on doit considérer comme également possibles les apparitions des diverses faces. Si, avec une pièce de monnaie, on joue à pile ou face, on regarde comme également possibles l'arrivée de pile et l'arrivée de face. Si Ton bat les cartes, elles sont ensuite rangées dans un ordre quelconque. Tous les ordres dans lesquels on peut les ranger, doivent être considérés comme également possibles.
i54 sii; i.\ l'iiiLosopiiii:; ])r.s m \ tiikmatioies
Quand on a ainsi un certain nombre de cas également possibles, on appelle probabilité d'un événement, une fraction dont le numérateur est le nombre de cas favorables à cet événement, le dénominateur étant le nombre total des cas possibles.
Par exemple, si l'on tire une carte dans un jeu de
o2 cartes, la probabilité de tirer un as est -^t^ou -—pr :
en effet, il y a 52 cas possibles, et parmi eux il y en a 4 favorables à l'arrivée d'un as, puisqu'il y a 4 as dans le jeu.
Pour faire dans le calcul des probabilités, des raisonnements bien nets, il convient de fixer la nature des événements qu'on considère. On supposera par exemple que l'on a dans une urne, des boules toutes égales entre elles, et de couleurs diverses ; la probabilité de tirer une boule rouge sera une fraction dont le numérateur est le nombre des boules rouges contenues dans l'urne, et le dénominateur le nombre total des boules.
Comme exemple de ces démonstrations, nous en indiquerons deux, le théorème des probabilités composées, et celui des probabilités totales.
{(^ Probabilités composées . — La probabilité d'un événement composé de deux autres, est égale à la pro-
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habilité du premier, multipliée par la probabilité qu'acquiert le second, quaad on sait que le premier est arrivé. Supposons par exemple qu'une urne contienne en tout 17 boules, sur lesquelles il y en a 6 blanches et 11 colorées, et que parmi les 11 boules de couleur il y en ait cinq rouges. Je vais démontrer que : a La prohabilité de tirer une boule rouge est égale à la probabilité de tirer une boule colorée, multipliée par la probabilité que l'on a de tirer une boule rouge quand on sait que la boule tirée sera
une houle de couleur.» En eiïet d'abord la probabilité
de tirer une boule rouge est-jy. D'autre .part celle
de tirer une houle colorée est -ry , et comme, quand
on sait que la houle tirée est colorée, le nombre de
cas possibles est réduit à 11, nombre des houles de
couleur, la prohabilité de tirer une boule rouge
quand on sait que la houle tirée est colorée, est — p ;
le théorème à démontrer est donc traduit par l'éga-
,.,, 5 11 5 1 1 te -— = ——- X -rr- 17 17 11
Or c'est là une identité arithmétique, puisqu'on
peut supprimer le facteur 11 au numérateur et au
dénominateur.
i5() srn i.\ l'iiii.osoiMiii; dks m m iikm atiqi i:s
2o ProbahUités totaloi. — Si un événement peut se produire dans différents cas, la somme des probabilités de ces cas est la probabilité de révénement, pourvu que ces cas s'excluent, c'est-à-dire ne puissent se produire ensemble.
Ainsi on a dans une urne 17 boules, dont 6 blanches, 5 rouges, 4 vertes et 2 bleues. La probabilité de tirer une boule colorée est la somme des probabilités de tirer une rouge, de tirer une verte, de tirer une bleue. La probabilité de tirer une boule colorée est
— r-, c'est la somme des probabilités — -, — -, -^•
Pour appliquer les propositions précédentes ou du
moins la première d'entre elles, admettons que la
tuberculose entre à Paris pour -^ dans les causes de
décès. Cherchons la probabilité que parmi les six ancêtres d'une personne, son père, sa mère, ses deux grands-pères et ses deux grand'mères, il y ait au moins un tuberculeux. Je vais prendre la chose indirectement en cherchant d'abord la probabilité pour que aucune de ces six personnes ne devienne tuberculeuse. La probabilité pour que la première ne le
soit pas est -^; la probabilité pour que ni la pre-
mière ni la deuxième ne le soient, est égale, d'après le l'i' principe, à la probabilité pour que la première
LE CALCUL DES PROBABILITES
De le soit pas, multipliée par la probabilité pour que
la seconde ne le soit pas ou au carré de-n-c'est-à-dire
à -^^ -, pour que ni l'une ni l'autre des trois pre-
mières ne le soient, ce sera le nombre précédent mul-
tiplie encore par -^^ ou -— ; pour que aucune des 4
o IJiD
premières ne le soient, ce sera le nombre précédent
multiplie par -^ ou : pour que aucune des
cinq premières ne le soient, ce sera le nombre précé-
4 l.OM dent multiplié par---ou— ttttj, enfin pour que ni l'une ^ ^ 5 3A2d
ni l'autre des six ne soit tuberculeuse ce sera le nom-
bre précèdent, encore multiplie par ^7- ou -
Pour que cela ne se produise pas, c'est-à-dire pour que l'une d'elles au moins soit tuberculeuse, la probabilité s'obtient en retranchant de un le nombre précédent. Si l'on veut, on peut encore dire sur 15.625 cas, il y eu a 4.096 où aucune des 6 personnes n'est tuberculeuse, il en reste donc 11.529 où l'une au moins d'entre elles l'est. Cela fait environ 3 cas sur 4. On voit que, sans que la tuberculose soit héréditaire, on doit s'attendre avoir 3 fois sur 4 un tuberculeux avoir d'autres tuberculeux parmi ses ancêtres.
i58 SI K i.v l'iiii.osopiiiE DES M \ iiiTma rioi ns
Cet exemple montre combien il faut se défier des preuves fondées sur la statistique.
Une notion importante dans la théorie des proba bilités est celle de Vespérance mathématique. Je vais indiquer en quoi consiste cette notion, pour l'appliquer ensuite à la démonstration d'une curieuse proposition.
L'espérance mathématique d'une personne ayant des billets de loterie cest, par définition, le prix que cette personne doit équitablement payer ses billets.
Supposons que 1.000 personnes se réunissent et donnent chacun 1 franc, on aura une somme de 1.000 francs. Supposons qu'on fasse une loterie de 250 billets, dont ces 1.000 francs sont l'enjeu. Il est clair que chaque billet devra être vendu quatre francs. Une personne ayant par exemple 11 billets, aura une
probabilité de gagner égale à ——, elle aura payé ses
— oU
billets4Xll, or 4X11 c'est 1.000 X^— -, c'est la somme
à gagner multipliée par la probabilité de l'obtenir.
L'espérance mathématique est ainsi égale au gain espéré multiplié par la probabilité de l'obtenir.
Je vais maintenant résoudre le problème suivant : On a une série de parallèles équidistantes, tracées sur une feuille de papier. On jette sur ce papier une
LE CALCUL DES PROBABILITES
fOÇ)
aiguille dont la longueur est inférieure à la distance de ces parallèles. Quelle est la probabilité pour que l'aiguille rencontre Tune des parallèles tracées ?
La solution que je vais donner est due à M. Joseph Bertrand! Elle est fort curieuse et mérite d'être citée ici.
i\.u lieu d'une aiguille, nous supposons une courbe fermée rigide, en fil de fer par exemple. Nous supposons cette courbe convexe, pour que si elle rencontre une droite, elle la rencontre en deux points, et pas davantage.
Imaginons qu'on divise cette ligne en parties très petites, de longueurs égales, assez petites pour qu'on puisse les considérer comme des lignes droites. On leur donne à chacune un numéro, et ce sont autant de billets de loterie. On jette la courbe sur le système de ces parallèles. Si aucune rencontre ne se produit, on ne paie rien ; si il y a une rencontre, il y en a deux, les deux numéros qui rencontrent les parallèles reçoivent chacun une certaine somme, cent francs par exemple.
Il est clair qne la chance de gagner est la même pour tous les numéros, et qu'elle est indépendante de la forme de la courbe. En effet, tous les morceaux de courbe peuvent être considérés comme de petites droites d'égale longueur ; le fait pour la petite droite
lOo SI K l.\ l'IlILOSOI'MIi; DES M A IIIKMATIOL ES
d'être liée à la courbe ne change rien à sa probabilité de couper l'une des parallèles, la probabilité est la même que si le petit morceau était découpé et lancé seul.
L'espérance mathématique d'un joueur qui a pris un billet, est égale à cette probabilité multipliée par cent. S'il prend plusieurs billets, l'espérance se trouve encore multipliée par le nombre de billets. Il est facile de voir que le fait que deux billets peuvent gagner ne change rien à cette conclusion. Si quelqu'un a pris tous les billets, son espérance mathématique se trouve donc multipliée par le nombre total des morceaux, elle est indépendante de la forme de la courbe, elle ne dépend que de sa longueur.
On peut aussi envisager cette espérance mathématique de la façon suivante : elle est égale à la probabilité que la courbe rencontre les parallèles, multipliée par 200, car si une rencontre se produit, il s en produit deux et la personne possédant tous les billets gagne 200 francs. Cette espérance étant indépendante de la forme de la courbe, il en est de même de la probabilité pour qu'une rencontre se produise.
Supposons que cette courbe soit un cercle. On voit alors facilement que la probabilité est égale à une fraction, dont le numérateur est le diamètre du cercle et le dénominateur la distance des deux parai-
LE CALCUL DES PROBABILITÉS iCl
lèles. Si L est la longueur de la courbe, le diamètre c'est L divisé par le nombre tt, rapport de la circonférence au diamètre. Si D est la distance des parallèles, la probabilité est donc L divisé par tt x D.
Si au lieu d'un cercle, on a une courbe fermée de longueur L, la conclusion subsiste, d'après ce qui précède. Une aiguille de longueur l peut être considérée comme une courbe fermée de longueur 21, repliée sur elle-même. Donc, pour cette aiguille, la probabilité d'une rencontre s'obtient en divisant 21 par ttXD,
Imaginons maintenant qu'avec l'aiguille on fasse un certain nombre d'épreuves, 10.000 par exemple, et qu'on note le nombre des rencontres, la fraction de dénominateur 10.000 et dont le numérateur est le nombre des rencontres, sera approximativement égale à cette probabilité; donc en multipliant la fraclion obtenue renversée par 21 et divisant par D, on aura approximativement le nombre 77, c'est-à-dire 3,1416.
J'ai fait autrefois l'expérience avec un millier d'épreuves et j'ai obtenu 3,1.
Le calcul des probabilités présente de nombreuses applications. Citons d'abord la théorie des jeux de hasard. Un jeu de hasard est équitable lorsque l'espérance mathématique de chaque joueur est égale à
lO? sut i.\ iMiiFosopiFiK mii> M A riiKM \ ri()[ I:^
sa mise. Il y a des jeux où l'espérance mathématique d'un joueur est infinie, de sorte que, quelle que soit sa mise, le jeu le favorise toujours. Tel est le jeu de Saint-Pétersbourg, dont parle longuement M. Bertrand dans son calcul des probabilités. Expliquons rapidement en quoi consiste ce jeu. Il y a deux joueurs A et B ; B jette une pièce de monnaie ; sil amène face, il donne un franc à l'autre joueur, et la partie est finie ; s'il amène pile, il recommence ; si la seconde fois il amène face il donne deux francs à A, et la partie se termine là, s'il amène pile il recommence, si cette 3°^^ fois il amène face, il donne quatre francs à A, s'il amène pile il recommence. Si cette 4n^e fois il amène face, il donne huit francs à A, et s'il amène pile il recommence, et ainsi de suite toujours en doublant la somme donnée à A.
Cherchons l'espérance mathématique de A. A peut gagner un franc du premier coup, la probabilité de
ce fait est — , l'espérance mathématique de A est donc
0,50, pour le premier coup. A peut gagner deux francs au second coup, mais la probabilité de cela est égale à la probabilité pour qu'on amène pile au premier coup multipliée par la probabilité pour
qu'on amène face au second, c'est donc - , l'espérance
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mathématique de A est donc le quart de 2 c'est-àdire 0,50. Au 3fne coup, A peut gagner quatre francs,
mais la probabilité n'est que —, comme il est facile
de le voir. Le huitième de quatre francs c'est encore 0,50. On continuera ainsi, et pour chaque coup, l'espérance mathématique de A est de cinquante centimes. Cela fait cinquante centimes une infinité de fois. L'espérance mathématique de A est infinie.
Ce résultat, quelque surprenant qu'il puisse paraître, n'a rien de contradictoire. Il faut l'accepter. Mais, dira-ton, on serait fou de risquer cent francs à ce jeu. Gela est vrai, mais il est vrai aussi qu'on serait peu sage de risquer 100 francs à une loterie, où le prix de billet étant cent francs, la somme à gagner un milliard, il y aurait un million de billets. On aurait 999,999 chances de perdre les cent francs, mais on paierait le billet 10 fois moins cher qu'il ne vaut, car l'espérance mathématique est de 1.000 fr. Quand on joue gros jeu, c'est toujours très dangereux, même quand le jeu vous favorise. Telle est la réponse de M. Bertrand au paradoxe de Saint-Pétersbourg, et c'est celle que l'on doit adopter.
Bien des gens s'imaginent pouvoir toujours gagner en adoptant la tactique suivante, u On joue chaque jour jusqu'à ce qu'on obtienne un gain, alors
l6^| SI H LA IMIILOSOIMIFF:; DES MATHÉMATIQUES
on s'arrête, et le lendemain on recommence. Puisque l'on est chaque jour en gain, cette tactique est proli table. »
Pour apprécier la fausseté de ce raisonnement, il suffît de remarquer que l'interruption faite chaque jour dans le jeu, et plus ou moins longue suivant la chance, ne change nullement les conditions du jeu. Si l'on doit faire en tout 500 parties, on a les mêmes chances de gain en les faisant avec des interruptions, qu'en les faisant consécutivement.
Le calcul des probabilités prédit la ruine certaine mais à très longue échéance de celui qui joue constamment à un jeu équitable. Pour indiquer au lecteur comment une telle prédiction est possible, supposons qu'on joue à pile ou face, en jouant chaque fois une pièce de dix centimes qui sert d'enjeu. Les joueurs A et B parient constamment le premier pour face, le second pour pile. B est infiniment riche, A ne possède qu'un franc. A sera ruiné quand le nombre des piles aura surpassé de 10 celui des faces. La probabilité pour que ce fait se produise avant un nombre déterminé de coups, par exemple pour qu'il se produise avant le centième coup, est un certain nombre qui pourrait être calculé. Or cette probabilité est d'autant plus grande que le nombre de coups est plus considérable, et elle tend vers la cer-
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titude. On peut donc affirmer que A finira par se ruiner.
Le calcul des probabilités a d'autres applications que la théorie des jeux de hasard. Les assurances de toute espèce, sur la vie ou sur les choses, la théorie des erreurs d'observation, d'une si grande utilité dans les sciences physiques, sont de son domaine, mais nous devons borner là ce que nous en dirons, ce qui précède étant moins destiné à donner une idée de l'ensemble de cette science, qu'à montrer par deux ou trois exemples, quels genres de raisonnements l'on y rencontre.
