LES SCIENCES PHYSIQUES

considéré comme l'ensemble des déplacements de ses points, étant seul réel), Tétlier n'a sans doute pas toutes les propriétés des solides élastiques. On croit avoir trouvé une explication d'un phénomène, lorsque les lois de ce phénomène ressemblent aux lois ordinaires de l'élasticité. On croit au contraire n'avoir rien fait de bon, si les lois trouvées sont différentes. Je ne vois pas pourquoi la dynamique de l'éther serait la même que celle des corps pondérables. Quand on aura trouvé cette dynamique, quelles qu'eu soient les lois, on aura résolu le problème de la nature de l'électricité.

On a émis, relativement aux sciences physiques, une opinion analogue au nominalisme dans les sciences rationnelles. Sousprétexte que nous ne pouvons connaître les choses exactement, on a prétendu que nous ne les connaissions pas du tout, que nos prétendues connaissances se réduisaient à des conventions de langage. Si l'expérience nous démontre qu'une certaine longueur est constante, une expérience plus précise nous montrerait sans doute la fausseté de cette assertion. Si nos moyens ne nous permettaient pas de mesurer un temps, avec une erreur moindre que la moitié de sa valeur, nous affirmerions par exemple que la durée du jour est

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constamment égale à celle de la nuit, faute de savoir les mesurer avec précision. Nos mesures étant toujours entachées d'erreur, quelle preuve avons-nous de ne pas nous tromper d'une façon analogue.

Cette opinion me semble un sophisme très grossier. Si je ne savais pas mesurer le temps avec précision, je saurais du moins que dans mes mesures je ne puis compter que sur une évaluation grossière. Je dirais; nos méthodes de mesure ne nous permettent pas de trouver une différence entre la durée du jour et celle de la nuit. Je ne commettrais pas d'erreur en émettant cette affirmation.

D'ailleurs, si, mettant à profit ses connaissances scientifiques, un inventeur construit un appareil, en se conformant aux principes de la physique, l'appareil fonctionnera bien si son auteur a bien raisonné en se conformant à des principes vrais, et il marchera comme les principes l'indiquent. Si au contraire les principes sont faux, l'appareil ne marchera pas. Ceci aurait-il lieu si les principes n'étaient qu'une convention de langage, si une science n'était qu'une langue bien faite?

Les mathématiques sont intéressantes à un triple point de vue. Au point de vue purement logique, en fournissant à l'esprit un exercice de raisonnement ; au point de vue de la connaissance du monde, en donnant une explication complète d'un grand nombre de phénomènes physiques; au point de vue des applications, en fournissant à l'homme le moyen de tirer, pour l'utilité pratique, le plus grand profit possible des phénomènes naturels.

Il ne faut pas négliger ce dernier point de vue. C'est pour leur utilité pratique que les mathématiques sont étudiées par le plus grand nombre ; mais sur ceux-là même qui ne les étudient que pour leur valeur pratique, elles exercent leur influence éducatrice. Le grand développement ([u'ont pris au XIX'^ siècle les applications des sciences, l'extension surtout de l'électricité pratique, ont une répercussion sur l'intelligence de ceux qui s'en occupent, et tendent à élever le niveau intellectuel du pays.

Du reste, le fait qu'une science a un intérêt pra-

tique ne présente rien d'avilissant pour cette science, et parfois une application peut donner naissance à une théorie très intéressante. Quoi de plus pratique que l'étude de la stabilité des bateaux, cette étude a donné naissance à une théorie, véritable merveille d'élégance. Elle est en même temps fort simple et élémentaire. Le lecteur la trouvera dans le 3^ volume delà mécanique de M. Appell.

Je vais énumérer ici les applications les plus saillantes des sciences mathématiques. J'adopterai l'ordre suivant: arithmétique et calcul des probabilités, analyse, géométrie, mécanique.

Les applications de l'arithmétique aux questions financières, opérations de bourse, intérêts composés, amortissement, sont bien connues. On sait qu'une somme placée à intérêts composés s'accroît très vite. Un sou placé au temps de Jésus-Christ à intérêts composés, à 5 0/0, aurait produit, si l'opération eut été possible, une somme fantastique : la valeur d'autant de globes d'or, gros comme la terre, qu'il y a de minutes depuis cette époque. Ceci démontre qu'une pareille opération ne pourrait se faire ; si on l'eut tentée, elle eut sans doute amené un tel abaissement du taux de l'intérêt, qu'il fut devenu nul au bout de très peu de temps.

Une autre application financière des mathéma-

APPLICATIONS DES MATHÉMATIQUES IqS

tiques, mais dans laquelle intervient le calcul des probabilités, est celle des assurances. Je parlerai seulement des assurances sur la vie.

Le calcul des assurances sur la vie est fondé sur les principes suivants:

En premier lieu, il faut définir la valen7' actuelle d'une somme a payable seulement au bout d'un certain temps. Cette valeur actuelle n'est autre que la somme qui deviendrait a si elle était placée à intérêts composés pendant le temps considéré, à un taux déterminé.

Or l'espérance mathématique, définie à propos du calcul des probabilités, est une somme d'argent. On peut donc parler de la valeur actuelle d'une espérance mathématique, quand la somme espérée doit être payée à une époque déterminée.

L'assuré s'engage à verser chaque année une certaine prime a, moyennant quoi la compagnie promet à son décès, une somme A à ses héritiers.

Les sommes a et A sont calculées par cette condition : « La valeur actuelle de l'espérance mathématique de la Compagnie est égale à la valeur actuelle de l'espérance mathématique des héritiers de l'assuré. »

Il semble que, d'après ce mode de calcul, la Compagnie ne doive pas faire de bénéfices. Elle en fera

9^ Sril LA PIIir/JSOPIIFE des M\ TIIÉMA I [QLES

cependant pour deux raisons : 1» parce que certaines personnes résilient leur contrat avant son expiration ; 2^' parce que les tables sont construites avec des gens pris en bonne santé à un âge déterminé, 20 ans par exemple. Les assurés au contraire doivent être bien portants au moment du contrat. En outre, la Compagnie peut placer son argent à un taux plus élevé que celui dont on tient compte dans le calcul.

Une table de mortalité est un tableau donnant sur un certain nombre de naissances, 1.000 par exemple, le nombre des survivants à chaque âge.

On a cherché à remplacer ces tables par une formule, en admettant le principe suivant : « La probabilité pour que deux individus d'âges connus vivent l'un et l'autre après un nombre donné d'années, est proportionnelle à la probabilité pour qu'un 3' individu, d'âge convenablement choisi, vive après ce nombre d'années. » (J. Bertrand, calcul de<i probabilités, page 3i6.) Chose curieuse, la formule satisfaisant à cette condition fournit des résultats moins différents de ceux donnés par les diverses tables que ceux-ci ne diffèrent entre eux.

La formule répondant à cette condition est la formule de Gompertz.

L'assurance sur la vie peut être assimilée à un jeu

LES SCIENCES PIITSIQUES IQij

de hasard. Si l'assuré vit plus que sa vie probable, calculée par les tables au moment où il s'est assuré, la Compagnie gagne, s'il vit moins, elle perd.

Je ne dirai rieu des applications pratiques de Vanalijse. Celte branche étendue des mathématiques a en efiet des applications à la géométrie et à la mécanique. Ces dernières sciences ayant des applications pratiques, c'est indirectemeut et par l'inlermédiaire de ces sciences que l'analyse en possède.

Les applications de la géométrie sont fort nombreuses. Je ne m'arrêterai pas à la mesure des surfaces et des volumes, applications bien connues, d'usage tout à fait courant. La mesure des surfaces serait, parait-il, l'origine même de la géométrie. Chez les anciens Egyptiens, dit-on, le sol appartenait à l'Etat, qui donnait à chacun, chaque année, une part à cultiver. Tous les ans, le Nil débordant recouvrait tout de limon, et confondait les différentes parts. Il fallait donc retrouver pour chacun, sinon la même part, du moins une part équivalente, ce qui donna naissance à la géométrie.

Mais les Egyptiens ne savaient pas mesurer les volumes. Si leur administration avait été semblable à celle des pays d'Europe, les Pharaons n'auraient pu construire les pyramides. Il eut fallu en effet faire d'abord le devis de ce qu'elles pourraient coû-

iqG SLR LA PdfLOSOPIIIE DES MATHÉMATIQUES

ter, quitte à le dépasser au besoin. Ce devis, ils n'auraient pu le faire, ignorant la mesure des volumes.

La charpente et la coupe des pierres sont des applications fort anciennes de la géométrie; les méthodes employées dans ces applications, ont été en quelque sorte liées entre elles par la géométrie descriptive, due à Monge, à la fin du XYIII^ siècle. Pour donner un point dans l'espace, on se donne ses deux projections sur deux plans rectangulaires, qu'on nomme plan horizontal et plan vertical. Par là les constructions dans l'espace qui ne sauraient être réellement effectuées, car on ne dessine pratiquement que sur un plan, sont remplacées par des constructions planes. Les constructions utilisées dans la coupe des pierres sont souvent compliquées. Citons d'abord les ponts biais. La voûte de ces ponts vue de l'intérieur (l'intrados) a la forme d'un demi-cylindre circulaire, mais ce cylindre est limité par deux plans obliques (plans de tête). Les pierres qui composent la voûte (voussoirs) doivent être taillées de façon que les lignes séparant les différentes rangées de voussoirs viennent couper à angle droit les plans de tètes. Si cette condition était rigoureusement réalisée, on aurait ce qu'on nomme Vappareil orthogonal, très difficile à tracer. Dans la pratique,

on prend pour les lignes dont nous venons de parler, des hélices, et l'on a Vappareil fiélicdidal, qui résout le problème avec une approximation très suffisante.

On emploie beaucoup de surfaces plus compliquées que les cylindres. Tel est le biais passé, surface engendrée par une droite rencontrant deux cercles égaux dont les plans sont parallèles, et rencontrant aussi une droite perpendiculaire à leur plan, et équidistante de leurs centres. Il y a beaucoup d'autres surfaces analogues, comme les arrières-voussures, surfaces engendrées aussi par une droite rencontrant deux courbes planes et une droite perpendiculaire à leurs plans.

En outre, les voûtes, même simples, donnent parfois, par leurs intersection, des courbes compliquées qui contribuent souvent, dans les édifices, à l'effet architectural.

La perspective est une autre application de la géométrie aux beaux-arts. Un objet quelconque étant donné dans l'espace, en coupant par un plan, appelé tableau, les lignes joignant à l'œil les différents points de l'objet, on obtient l'image de cet objet. On possède des moyens très simples de construire cette image. La perspective est une science peu compliquée, peu étendue, mais néanmoins intéressante. On peut se proposer de faire directement sur le dessin

198 SI II LA PIIILOSOiMIli: DES MATlir^MA'l'IQL ES

certaines constructions, par exemple de trouver l'image d'une perpendiculaire à une droite, etc. Ces constructions directes sont souvent fort ingénieuses. Lorsqu'un objet a été correctement dessiné, le dessin ressemble à l'objet à condition que l'œil occupe une certaine place. Si l'œil se déplace, l'objet paraît plus profond, moins profond au contraire si l'œil est trop près. C'est pourquoi les photographies prises avec un appareil trop court, et surtout avec un objectif appelé grand angulaire déforment les objets d'une façon ridicule. L'œil en effet doit occuper, par rapporta la photographie, la position occupée dans l'appareil par la lentille vis-â-vis'de la plaque. Or dans les appareils dont je parle, la lentille, ou plutôt le centre optique de l'objectif, est beaucoup trop près de la plaque.

La construction des cartes géographiques est une application de la géométrie, d'un caractère moins élémentaire. Si une surface n'est pas développable, on ne peut pas la représenter sur un plan de manière que les dimensions relatives soient conservées. Mais on peut toujours, c'est un résultat que l'analyse démontre, faire en sorte que les angles soient conservés. On obtient par exemple une représentation d'une sphère sur un plan, en prenant la figure inverse de la sphère, le pôle d'inversion étant situé sur

elle. Alors toute figure tracée sur la sphère se transforme en une figure plane, et les angles des lignes tracées sur la sphère sont les mêmes que ceux des lignes correspondantes sur le plan.

Il y a une infinité d'autres trauformations changeant la sphère en plan, en conservant les angles, telle est la projection de Mercator, usitée pour les cartes marines.

Pour les cartes à grande échelle, où l'on ne représente qu'une petite portion de la surface terrestre, on emploie des transformations altérant peu les angles et conservant les surfaces. Telle est la transformation suivante. On prend sur la sphère à représenter, un point P, vers le centre du pays dont on veut faire la carte. Soit M un autre point de la sphère. Dans le plan tangent en P à la sphère on mène une tangente au grand cercle passant par P et M, et l'on prend sur cette tangente, une longueur Pm égale à PM. Au point M on fait ainsi correspondre le point m. Cette transformation conserve les superficies et altère peu les angles, si le pays à représenter n'est pas trop étendu.

La géodésie est la mesure de la terre. Elle sert à trouver les véritables dimensions de notre globe et à déterminer à sa surface la position de ses différents points. Elle est donc nécessaire à la confection

des cartes géographiques. Entrer clans le détail des opérations qu'elle comporte, nous entraînerait beaucoup trop loin ; disons seulement que ces opérations comportent une précision à peine croyable.

Le calcul du point, à la mer, est une application de la trigonométrie sphérique.Faù'e le point c'est déterminer, par des observations astronomiques, la longitude et la latitude du navire, et reporter sa position sur la carte. L'astronomie sphérique est indispensable à la navigation au long cours. De là cette boutade d'un astronome bien connu, disant que sans l'astronomie on ne prendrait pas de café.

L'optique géométrique, application directe de la géométrie permet l'étude des instruments d'optique susceptibles eux-mêmes d'une foule d'applications.

Les lunettes et les télescopes, qui permettent d'examiner les cieux, les instruments plus modestes qui, soit au théâtre soit à la campagne, suppléent à la faiblesse de notre vision, les objectifs photographiques, les lanternes de projections qui donnent un grand attrait aux conférences publiques, enfin le microscope, condition essentielle du progrès dans les sciences naturelles, tous ces instruments sont autant d'applications de l'optique géométrique, tributaire elle-même de la géométrie.

La science qui fourmille le plus d'applications est

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la mécanique. La théorie des mécanismes, branche de la cinématique, fournit des dispositifs ingénieux pour produire la grande variété des mouvements nécessaires à l'industrie. M. Kœnigs a démontré que par le moyen des seuls systèmes articulés, on pouvait décrire toutes les courbes, toutes les surfaces algébriques possibles, on peut de même réaliser toutes les transformations algébriques. Le tracé des engrenages fournit aussi d'intéressantes applications géométriques. Comme application usuelle fort ingénieuse de la cinématique, je citerai la coulisse de Stephenson, dont sont munies les locomotives, et qui permet au mécanicien de faire varier la détente et d'obtenir à volonté la marche en avant ou en arrière.

La statique est une autre branche de la mécanique, dont les applications pratiques sontiort importantes. Il faut citer les questions de stabilité des constructions, et de résistance des matériaux. Cette dernière théorie tient surtout à une autre théorie plus générale, celle de l'équilibre des corps élastiques. Mais les équations de l'élasticité sont trop compliquées pour pouvoir être appliquées aux problèmes pratiques. On a donc fait une théorie particulière pour rélasticité des pièces, droites ou courbes, mais ayant toujours une dimension beaucoup

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plus grande que les autres, employées dans les constructions. Cette théorie, bien que simple, peut, dans le cas d'assemblages compliqués exiger de longs calculs. On les remplace par des constructions graphiques, ce qui donne une science d'un grand intérêt pratique, la statique graphique.

Il faut citer encore, comme application de la statique, l'équilibre des corps flottants, dont j'ai déjà parlé.

Les différents systèmes de balance sont encore des applications de cette même science.

La dynamique a pour objet de trouver le mouvement d'un système connaissant les forces agissant sur lui. Par cette seule défmition, on voit combien doivent être nombreuses les applications de cette science. On regarde généralement les principes de cette science comme dus à Galilée. C'est lui qui, le premier, étudia les lois de la pesanteur, c'est lui, diton, qui, dans la cathédrale de Pise, l'esprit captivé par les oscillations d'une lampe suspendue à la voûte de l'édifice, découvrit les lois du mouvement du pendule. Les oscillations du pendule ont sensiblement la même durée, quelle que soit leur amplitude, lorsque celle-ci demeure très petite. Mais cette durée n'est pas rigoureusement la même ; l'égalité n'est qu'approchée. Huygens inventa le pen-

APPLICATIOS DES MATHÉMATIQUES 2o3

dule cycloïdal dont les oscillations ont rigoureusement la même durée, quelle que soit l'amplitude. Dans le pendule ordinaire, le poids suspendu à l'extrémité du fil décrit un arc de cercle. Huygens lui fait décrire un petit arc de cycloïde. C'est la courbe engendrée par un point d'un cercle roulant sans glisser sur une droite. Pour atteindre son but, Huygens attache le poids à un fil îlexible qui pendant l'oscillation, vient s'enrouler sur un arc de cycloïde. Par ce procédé, l'extrémité du fil vient décrire une autre courbe de même nature. En effet, quand on déroule un fil enroulé sur une première courbe, l'extrémité du fil décrit une seconde courbe, et la première courbe est dite développée de la seconde. Or, la développée d'une cycloïde est une autre cycloïde.

Le mouvement d'une bille sur le tapis d'un billard le mouvement d'une toupie, soit que sa pointe reste immobile, soit qu'elle se déplace, constituent des problèmes de dynamique d'un ordre élevé. Au mouvement de la toupie se rattache la curieuse remarque suivante : Si un corps tourne rapidement autour d'un axe, l'application d'une force tendant à déranger cet axe de sa position primitive, ne produit pas le même effet que si le corps ne tournait pas. L'axe résiste et tend à rester dans sa position primitive. Quand l'on fait tourner un corps lourd

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autour d'un axe, cet axe garde dans l'espace absolu, la même orientation, si le mode de suspension de Taxe permet qu'il en soit ainsi. L'axe reste pointé dans la même direction malgré la rotation de la terre. On a le gifroscope, un des appareils imaginés par Foucault, pour mettre en évidence la rotation de notre globe.

Le mouvement du cerceau, de la bicyclette, sont d'autres applications plus simples de la dynamique.

Il est bon de savoir ce qu'on nomme en dynamique degrés de liberté dun 'système. C'est le nombre d'inconnues dont il faut connaître la valeur pour que la position du système soit déterminée. Si, par exemple, un point peut se mouvoir en tous sens dans l'espace, la position du point est déterminée lorsqu'on donne trois quantités, ses trois coordonnées. Le système formé d'un point unique isolé est donc à 3 degrés de liberté. Un point qui se meut sur une surface, n'a plus que deux degrés de liberté ; s'il est mobile sur une courbe, le nombre des degrés de liberté se réduit à l'unité. Les systèmes matériels peuvent avoir plus de trois degrés de liberté, lorsqu'ils ne se composent pas d'un point unique.

La plupart des machines usitées dans l'industrie n'ont qu'un degré de liberté, c'est ce qu'on nomme des sustèmes à liaisons complètes. Chaque point de la

machine ne peut se mouvoir que sur une ligne déterminée, et le mouvement d'un point détermine celui de tous les autres.

Je ne puis entrer ici dans le détail de toutes les machines dont l'étude constitue la dynamique industrielle.

Une source considérable d'applications de la science mathématique est rélectricité, dont le développement dans le domaine de la pratique est de plus en plus étendu.

On sait qu'il faut distinguer, dans le domaine de l'électricité, trois parties distinctes. L'électricité statique, le magnétisme, et l'électricité dynamique.

Un corps est électrisé quand il possède la propriété d'attirer les corps légers, comme ces porteplumes d'ébonite, ou caoutchouc durci, qui étant frottés attirent de petits morceaux de papier. L'électrisation produit donc des forces puisqu'elle permet de mettre en mouvement de petits objets. Lorsqu'un corps conducteur, comme une masse de cuivre, est électrisé. il y a en chaque point unecertaine quantité d'électricité: cela veut dire simplement que ce point est le siège d'une force plus ou moins intense. Cette électricité est tout entière à la surface, que le corps soit creux ou plein.

L'étude de la distribution de l'électricité sur les

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corps conducteurs est uq problème d'une très grande difficulté, dont on a, dans les cas simples, des solutions géométriques dune grande élégance, mais qui, dans les cas difficiles, est à peine résolu par les efforts de l'analyse la plus élevée.

Le magnétisme est létude des aimants. L'aimantation des corps est l'un des phénomènes naturels les plus mystérieux. Tout le monde connaît ces aimants en fer à cheval, à l'aide desquels on peut attirer de petits objets de fer ou d'acier, tout le monde connaît la boussole dont une extrémité de l'aiguille se dirige toujours vers le Nord. Les applications de cette science en dehors de la boussole, dont 1 utilité est connue, sont liées comme nous allons voir aux applications de l'électricité dynamique. Nous nen parlerons pas ici plus longuement.

La plupart des traités d'électricité envisagent lélectricité dynamique comme si son identité de nature avec l'électricité statique était évidente. Mais la plupart des phénomènes qui sont très apparents dans cette dernière science, jouent au contraire dans l'autre un rôle très effacé. C'est ainsi que les différences de potentiel entre les divers points d'un courant, si on les mesure statiquement, sont des quantités insignifiantes.

Il conviendrait donc d'exposer les choses autre-

ment. Si dans un vase contenant de l'eau légèrement acidulée, on plonge une lame de zinc et une lame de cuivre, et qu'à l'extérieur du vase on réunisse ces deux lames par un fil métallique, ce fil possède de singulières propriétés. Voici les deux plus saillantes : lo si l'on approche ce fil d'une aiguille aimantée, l'aiguille est déviée, et tend à se mettre en croix avec le fil, une certaine force agit donc sur l'aiguille: 2o si l'on interrompt le fil, en intercalant dans le circuit un autre vase contenant de l'eau acidulée, cette eau est décomposée en ses deux éléments, l'oxygène et l'hydrogène. On dira alors qu'un courant passe dans le fil et va du zinc au cuivre. C'est une simple définition. L'intensité du courant se mesure par la force qui, dans des conditions déterminées, s'exerce sur une aiguille aimantée donnée. C'est aussi la quantité d'eau décomposée par le courant dans un temps déterminé. L'expérience prouve que ces deux façons de mesurer l'intensité sont concordantes.

L'intensité une fois définie, l'expérience nous apprendra comment elle varie quand on allonge le circuit, ou quand il est bifurqué. De ces lois de variations on déduit la notion de résistance d'une portion du circuit, celle de différence de potentiel entre deux points du circuit.

Les courants électriques dont l'industrie fait

usage sont produits par le déplacement d'un circuit dans un champ magnétique. Ces courants sont alternatifs, si le sens du courant change périodiquement, continus quand il ne change pas. Les courants alternatifs sont plus faciles à produire, mais ils ne sont commodes à employer que pour l'éclairage. Pour faire marcher des moteurs, si l'on veut employer les courants alternatifs, il faut faire usage de la disposition dite des courants polyphasés.

Je ne veux pas insister davantage sur les nombreuses applications de la science. Ce progrès des applications ira-t-il en se continuant, de façon à transformer encore les conditions de la vie. Je ne le crois pas. Autrefois les applications de la science étaient peu nombreuses, et c'est pour ainsi dire subitement que ces applications sont nées. Autrefois on n'utilisait que la force des animaux, celle du vent et des chutes d'eau. Le progrès a consisté surtout dans l'utilisation des forces naturelles. Il reste encore beaucoup à faire, et l'on arrivera sans doute dans peu de temps à utiliser toutes les forces naturelles encore improductives, les vents, les marées, le mouvement des vagues, la chaleur solaire, en emmagasinant l'énergie produite de façon à ne l'utiliser que quand on voudra et où l'on voudra. C'est là le vrai progrès à réaliser. Ceux qui voient dans l'avenir l'air

sillonné de ballons dirigeables^ qui s'imaginent ces nouveaux engins remplaçant les chemins de fer se trompent. Un célèbre mécanicien, Reulaux, inventeur d'appareils ingénieux, a indiqué en quoi consistait le progrès dans les applications de la mécanique. Ce progrès consiste selon lui dans un guidage de plus en plus parlait du mouveuient. Les chemins de fer, où le mouvement est guidé par les rails, sont ainsi un progrès sur la locomotion routière, et Ion voit que d'après les idées de Reulaux,' les ballons dirigeables ne seraient pas un progrès.

Je me hâte de dire que Reulaux a justifié cette conception du progrès par des exemples frappants, et que la justesse de son idée ne 'semble guère contestable.