SUR LA GEOMETRIE PROJEGTIVE
plans difiéreots, et on sera ramené au cas précédent.
Mais alors les lignes GH et gh étant homologues, couperont la droite BC au même point D. Ceci démontre la proposition énoncée.
Il faut remarquer la réciprocité qu'il y a entre les points A et D. Nous avons appelé D le conjugué de A. A est aussi le conjugué de D. En effet, considérons le quadrilatère EGFH. Deux côtés se rencontrent en B ; les deux autres en G ; les diagonales EF et GH passent l'une par A, l'autre par D. On peut donc dire : D est dit conjugué de A par rapport aux deux points B et G de la droite AD, si deux côtés d'un quadrilatère se coupant en B et les deux autres en G, les diagonales de ce quadrilatère passent l'une en A, l autre en D. On voit, par cette définition, que l'ordre des points A et D est indifférent.
Il est facile maintenant de définir l'homologie harmonique. Prenons A comme centre d'homologie, la droite GH comme axe d'homologie, et supposons que B et G se correspondent. On voit alors facilement que si l'on cherche par la règle indiquée ci-dessus l'homologue de E, on trouve F, car BE et GF se coupent sur l'axe, et par suite sont homologues, et l'homologue de F est E, car BF et GE se coupant sur l'axe d'homologie sont aussi deux droits homo-
rî-î-î SIK LA IMIILOSOPIIIE DES My\ I IIKM A I IQl ES
logues. C'est là Vhomologie harmonique, dont nous avions parlé.
Donnons maintenant des numéros aux différents points de la droite BC. Au point A, nous mettrons l'infini, au point B zéro, au point C l'unité, au point
D, nous mettrons ^ , et nous dirons que D est
le point moyen entre B et C ; le point moyen entre
deux autres sera le conjugué harmonique de A par
rapport à ces deux autres.
Au point moyen entre B et D nous mettrons —
au point moyen entre D et C nous mettrons —, en général, au point moyen entre ceux ayant les numéros a et t» nous mettrons — - —
Il sera facile aussi de trouver le point K tel que C soit moyen entre B et K. Ce point portera le numéro 2 et ainsi de suite.
Mais portons notre attention sur les points dont
les numéros sont — et — , en prenant les points
moyens entre 0 et—, entre , et -, entre -et-, entre ^ 4 4 2 2 4'
y- et 1, on aura les points —, —, ^, ^; on pourra
SUR LA Gi:OiMETRIE PIIOJECTIVE
continuer ainsi. Avant d'aller plus loin on peut remarquer que les points 7 et y sont homologues
dans l'homologie harmonique dont nous avons parlé caries quadrilatères au moyen desquels on les construit sont homologues l'un de l'autre. 11 en sera de
Fig. 14
1 7 même des points - et -, et en général de deux
points dont la somme des numéros est 1.
Cette remarque est fort importante. En général, les points dont les numéros sont a et b sont homologues dans une homologie harmonique dont le
2'>.L\ SIK I.V PHILOSOlMlli: DKS MATHKMA'I IQl ES
centre est A et dont l'axe d'homologie est la droite joignant le point G au point moyen entre les deux points a, b. Alors si on prend d'autres points de numéros c et cl, tels que a -{- x = c et b — x=^ d, ces deux points, on le verra facilement, seront homologiques dans l'homologie considérée, car les quadrilatères de Staudt qui servent à construire lun, sont homologiques de ceux qui servent à construire l'autre. Il en résulte que si a -^ b = c -\- d, le point moyen entre les points dont les numéros sont a et b. est identique au point moyen entre ceux dont les numéros sont c et (/. Il était nécessaire de démontrer cela, sans quoi on n'aurait pas eu le droit de donner au point moyen entre a et b, le numéro moyen arithmétique, puisque des points dont les numéros auraient eu même moyenne arithmétique n'auraient pas eu même point moyen.
Le mode de numérotage ne donne que les points dont les numéros sont des fractions ayant pour dénominateur une puissance de 2. Mais en poussant la subdivision suffisamment loin, on pourra approcher autant qu'on voudra d'un point quelconque. Alors en se reportant à ce que nous avons dit du continu, on verra que tout point a un numéro.
Il est facile de voir, de plus, que les points voisins du point A ont pour numéros de très grands nom-
