SUR LA GÉOMÉTRIE PROJECTIVE

bres. Ceci s'accorde avec ce fait que l'infini est lé numéro du point A.

Quand on aura numéroté une droite, on pourra en numéroter une autre située dans le même plan, en la considérant comme perspective de la première d'un point de vue quelconque. On aura le même numérotage que par le procédé direct, car les constructions donnant les points successifs ont pour images des constructions toutes pareilles dans la figure projetée.

Ceci permet de démontrer un point intéressant laissé de côté dans ce qui précède. Si A et D sont conjugués par rapport à B et C, B et G sont conjugués par rapport à A et D (fig. 13).

D'après la remarque faite ci-dessus, des points conjugués ont pour perspective des conjugués. Or, sur la droite AG, d'après la construction même, A et G ont pour conjugués les points R et T où CE et BF coupent AG. (Ils n'ont pas été marqués sur la figure.) En projetant du sommet F sur AB les points ARGT se projettent en ABCD, et puisque R et T sont conjugués par rapport à A et G, on en conclut que C et B sont conjugués par rapport à A et D.

Voyons maintenant comment est modifié le numérotage lorsque les points B et G sont remplacés par d'autres.

SLU LA IMIlLOSOLMIIi: DES MATIIKM AirOIES

Supposons d'abord qu'on échange B et C, c'est-àdire que, au lieu des numéros 0 et 1, on mette 1 etO. Les points dont les numéros sont x et 1 — x seront simplement changés l'un dans l'autre, le nouveau numéro sera lié au numéro primitif par la formule y=i— X.

Supposons qu'on mette à la place de B et G deux autres points quelconques. Le point A aura toujours pour numéro l'infini. Quant aux points B et C ils ont maintenant des numéros h et c, le point D a pour numéro la moyenne arithmétique entre h et c, et l'on verra d'une façon générale, que le point dont le numéro était x a maintenant pour numéro bX[i—x)-\- ex.

Appelons éloignement de deux points la différence de leurs numéros, on verra alors que si l'on considère l'éloignement de deux points quelconques divisé par l'éloignement de deux autres en ligne droite avec les premiers, ce quotient ne dépendra pas des valeurs choisies pour h et c, il reste par conséquent le même, quels que soient les points B et G pris pour base du numérotage, pourvu qu'on ne change pas le point A.

Numérotage d'une droite quelconque. — Nous considérons un plan P, que nous ne changerons jamais