II < A

ü et la même limite in-

férieure de l’approximation; les suites w, x, À correspondantes sont d’ailleurs

à tous ces couples correspondent la fraction

0, 1, à. ml, O0, O0, O0, .…..) O, 0, PRET RE NT, fs 0.

Quant au nombre +, il peut s’obtenir par cette condition que la somme x + À + o + best constante et égale à m +1 — © — 9.

En donnant au nombre À les valeurs 1, 2,..., m’, on voit que la

Il : : ’ fraction & figure dans toutes les cases d’un triangle rectangle isoscèle B

ayant pour cases aux sommets (&, 9), (®,9 +), (© +m',9+m'), et nous connaissons complètement pour chacune de ces cases la valeur des nombres w, Ÿ, x, À. Remarquons enfin que, pour chacune des cases

28 H. PADÉ.

de la file inférieure du triangle, la limite inférieure de l’ordre de l’ap-

proximation est D+qg+i+m=m HI,

et égale à l'ordre même de l'approximation.

99, Considérons maintenant les cases qui figurent dans la première file horizontale du triangle A; pour celles-ci, on a

gi 0, Dom,

et elles correspondent, par suite, aux »#°+ 1 couples (o,0), (D Lo) -e MucrK, 0), TE E=T,0) Er m',®).

Considérons, en particulier, le couple (& + #,2); comme dans le cas précédent, on établit que 6,4, est nul, que x4,,, est égal à #, et que la limite inférieure de l’ordre de l'approximation est &+2+1+#. Si l’on se reporte aux propriétés de la solution principale (n° 16), on

en conclut que la fraction 4 se trouve dans les cases

(oD+£k,o), (G+k,o+i), (m+k,o+2), ..., (m+k,p+k),

et que les nombres w, x, À, correspondant à ces cases, forment les suites

0, 1, 2, ) K — [, k, K, K—1, k—oa, : ïs 0, Oo, O, O, , O, (e)

à La fraction % figure alors dans toutes les cases d’un triangle rec-

tangle isoscèle B' ayant pour cases aux sommets (&, ©), (æ +m',®), (o + om, o + om); la nature des singularités est connue pour chacune des cases de ce triangle, et la limite inférieure de l’ordre de l'approximation pour les cases de sa dernière file verticale est m + 1, ordre même de l’approximation.

23. La réunion des triangles B et B’ constitue un carré, dans toutes 45 4 are É Il Ve :

les cases duquel figure ainsi la fraction æ le côté de ce carré com-

porte m+iI1—(m+1) —— o cases, c’est-à-dire un nombre de

cases égal à la différence entre l’ordre de l’approximation fournie par Sarl ,

la fraction æ ©t la somme des degrés de ses termes (n° 14). Les cases

extrêmes d'une file diagonale sont (&,®), (@ +", © + m'); si l’on considère une case de cette file, aux cases du carré qui appartiennent aux files verticale et horizontale limitées à cette case, correspond une même limite inférieure de l’ordre de l’approximation; cette limite inférieure croit d’une unité quand on passe d’une case de la diagonale à la suivante, et varie ainsi de & +9 +1à &+0+i1+m—m +.

ir . I , 24. Il nous reste à établir que la fraction ge figure pas dans d’au-

tres cases du Tableau que celles de ce carré; nous avons déjà remarqué qu'elle ne peut se trouver que dans les cases du champ complémentaire relatif à la case (æ, ©); la démonstration va résulter de cette proposition auxiliaire importante :

: ML Si la fraction % figure dans une case (p:, q,) du champ complémen-

taire relatif au couple (&, œ), elle figure dans toutes les cases qui appartiennent à la fois à ce champ complémentaire et au rectangle relauf au

couple (P»» Q»).

Soit (p,,g;) l’une de ces cases, on a

Æ < OA JE o

Il : Puisque, par hypothèse, + figure dans la case (p>, g:), le nombre £,.,,

est au plus égal à m +1= 15, et, par suite, l’une au moins des inégalités

Spi qu? N pi qi = Cp: q2

Tlo,g

est assurément vérifiée. Que l’une ou l’autre de ces inégalités soit vé- RME : Re PU IL rifiée, il résulte immédiatement du théorème du n° 18 que + corres-

p pond au couple (p,, g;).

25. Cette proposition nous eut évidemment permis de supprimer la démonstration du n° 22 et partant celle du n° 16; nous ne les avons

30 H. PADÉ.

conservées que pour la symétrie de la méthode et pour étudier complètement les singularités. Voici comment on en déduit l’impossibi-

7e so I S lité pour la fraction 4 de se retrouver dans des cases du Tableau autres

que celles du carré déterminé précédemment.

Supposons qu’elle figure dans une case autre que celles du carré ; comme la fraction figure alors nécessairement dans toutes les cases du rectangle commun au rectangle relatif à la case considérée et au champ complémentaire relatif au couple (5, +), cette fraction figure dans la file horizontale © ou dans la file verticale æ, et cela dans des cases autres que celles du carré. Or, il n’en peut être ainsi, car, quand

, : Il, : :

on passe sur ces files d’une case où figure 3% à la case suivante où

figure aussi cette fraction, la limite inférieure de l’ordre de l’approximation croît d’une unité; mais, pour les dernières cases de ces files qui appartiennent au carré, cette limite inférieure est égale à l’ordre même

de l’approximation, et, par suite, + ne peut figurer ni dans l’une ni

mn dans l’autre des cases suivantes.

26. Nous pouvons maintenant énoncer cette proposition qui résume les résultats de notre étude sur la distribution, dans le Tableau, des fractions de l’ensemble (E) :

Chacune des fractions distinctes qui font partie de l’ensemble (E) Jigure dans toutes les cases d’un carré dont le côté comporte un nombre de cases égal à la différence entre l’ordre de l'approximation fournie par la fraction et la somme des degrés de ses termes ; elle ne figure dans aucune autre case du Tableau.

27. Cette proposition est au fond la seconde de celles que nous avons annoncées au n° 3, mais nous parviendrons à une forme qui montre mieux que nous sommes bien en possession de la généralisation cherchée, au moyen de la conception géométrique fort simple suivante, dont la grande importance apparaîtra d’ailleurs dans la seconde Partie de notre travail.

Imaginons un second Tableau, calqué sur le premier, mais où ne soient tracés que les côtés du premier Tableau communs aux cases où

SUR LA REPRÉSENTATION APPROCHÉE D'UNE FONCTION, ETC. ol

figurent deux fractions distinctes. Au centre de chacun des carrés de différentes grandeurs ainsi obtenus sera écrite la fraction correspondante, en sorte qu'il n’y a, dans le nouveau Tableau, que des fractions distinctes.

Les centres des différents carrés sont tous situés sur des ensembles de droites parallèles équidistantes. Considérons celui de ces ensembles dont les droites sont perpendiculaires à la diagonale principale du Tableau. Si deux centres figurent sur une même droite, nous dirons des fractions correspondantes qu’elles sont également avancées dans le Tableau ; si deux centres sont sur deux droites différentes, nous dirons de la fraction qui correspond au centre situé sur celle des deux droites qui est la plus éloignée du sommet du Tableau, qu’elle est plus avancée dans le Tableau que l’autre fraction.

A cette définition géométrique correspond cette propriété analytique que, si, partant de celle des droites de l’ensemble qui est la plus voisine du sommet du Tableau avec le n° r, on numérote les droites successives 2, 3, 4, ..., le numéro de chaque droite est l’ordre de l’approximation de toutes les fractions du Tableau correspondant à des centres situés sur elle. L'ordre de l’approximation fournie par la frac-

tion ü est, en effet, égal à » + 1, ou, suivant nos notations,

Or pour obtenir le numéro de l’une des droites, il suffit de considérer l’une quelconque des cases (p, q) qu'elle traverse dans le Tableau primitf et de former le nombre p + q+1; la droite sur laquelle se

: II ; FPE trouve la fraction = traversant, par définition, les cases (& +7», ®),

droite est bien &+o+m+i1.

28. Avec ces conventions, notre proposition peut alors être énoncée ainsi :

Il. Si deux fractions de l'ensemble (E) sont également avancées dans le Tableau des fractions distinctes, elles donnent la même approximation ; quand on passe d’une fraction du Tableau à une autre plus avancée, l’approximation va en croissant.

92 H. PADÉ.

29. Cette proposition donne lieu à une remarque intéressante, et dont on verra plus loin l'importance.

Soit & l’une quelconque des fractions qui, dans le Tableau des

fractions distinctes relatif à la fonction y, sont au plus aussi avancées Noel re ; ; que la fraction + Désignons par n..., l'ordre de l’approximation qu’elle fournit; on a Na, y, = 5e

et, par suite, des égalités

IT = œ + (To), Fe — d: + (Taie),

on conclut celle-ci

a - : IT - Elle montre que, au cas où 4° est moins avancée que 3» c’est-à-dire

au cas Où Na,o, St plus petit que n.., la fraction = est l’une des frac- Î

üons du Tableau des fractions distinctes relatif à la fonction à et elle

figure dans ce Tableau exactement comme dans le Tableau relatif à la

fonction y; Si ne, est égal à n5, la fraction 1 est encore sûrement

une fraction du Tableau relatif à la fonction e. mais 1] peut alors ar-

river qu'elle soit dans ce Tableau plus avancée que dans le Tableau relatif à la fonction y, tout en restant sur la même parallèle à la diagonale principale du Tableau.