CES OS CET

les deux premières inégalités étant satisfaites, il ne reste à remplir que la troisième qui devient

! te P+gE op +m',

eLil est manifeste qu'il est toujours possible d’y satisfaire.

18. Le résultat de cette démonstration peut encore être énoncé comme 1l suit:

Pour que la fraction - corresponde, dans l'ensemble (E), au couple (P, q), faut et il sufju :

1% Que chacun des nombres P» q Soit au moins égal à cel des degres o, © qu lui correspond ;

2° Que la quantité ?,, = p + q +1— &,4 ne dépasse pas l’ordre de

: 2 : PHIl l’approximation fournie par la fraction d

: Ait Re :

19. La fraction 3 correspond, en particulier, à tous les couples (S + p', 9 + q') où p', q' satisfont à l'inégalité p'+g'£m'.

Supposons, en premier lieu, »#’—o. Cette inégalité n’est vérifiée alors que pour p'— g'= 0, et l’on obtient ainsi le couple (&, &). Il est aisé d'établir que la fraction ne correspond à aucun autre couple; on a, en effet (n° 14), pour un couple (p, g) auquel cette fraction correspond,

Opg + Vpg + Xpg + Àpa=(M+i)—m—e—m +1;

m' étant ici égal à zéro, et 4, étant au moins égal à un, on voit que l'égalité entraine les suivantes :

Ypg = 1) O pq = Xpqg = Àpg = 0)

et l’on en déduit P =D + Xpg À Opq — D = 9 + Àpg + Opg — P)

en sorte que (&, ©) est bien le seul couple auquel corresponde la frac-

à IT tion do

Supposons, en second lieu, #2, et par suite #7’, infini. Alors p' et q' peuvent prendre des valeurs quelconques de la suite o, 1, 2, .... Ilen

, PL résulte que la fraction 4 figure dans toutes les cases du champ com-

plémentaire relatif au couple (&, 9), et ne figure dans aucune autre, P: h

26 H. PADÉ.

la première des deux ARE auxquelles doit satisfaire le couple (p, g) pour que la fraction & M jui corresponde n'étant satisfaite pour

aucune de ces autres cases.

20. Il reste à examiner le cas où »' a une valeur finie différente de zéro. Il y à alors nécessairement des valeurs de p', g' autres que zéro, pour lesquelles l'inégalité est vérifiée, et, par suite, la fraction correspond sûrement à plusieurs couples. On voit bien aisément qu'elle

(mn) (n=#"0) figure dans toutes les cases du Tableau, au nombre de = \,

qui sont contenues dans un triangle rectangle isoscèle À ayant pour files limites la file verticale 5, la file horizontale + et une file en diagonale allant de droite à gauche en descendant. Nous savons d'autre part que la fraction ne peut figurer que dans le champ complémentaire relatif à la case (5, 9); mais il peut encore y avoir d’autres cases où la fraction

ghigure, à cause de l'existence du nombre w,,; pour celles-là on aura p'+g'>m', P+g'E M + wpgs

il s’agit de les déterminer; les propriétés de la solution principale nous en donnent le moyen.

21. Considérons les cases qui figurent dans la première colonne verticale du triangle dont il vient d’être question. Pour celles-ci, on a

il yen a ainsi »x'+ 1, correspondant aux couples (S,p), (m,p+i1), ..., (mm p+h), ..., (mo, pg+m—1), (w, 9 +m').

Il ? :

fraction 4, qui lui correspond est de degré &. Il résulte de là, d’abord

que 6,4, est nul, et que, en outre, les coefficients Z,, 4, du polynôme ® constituent la solution principale qui corre ee au Mie considéré; c’est là, en effet, une solution des équations en / qui donne deux ane IT, ®, sans facteurs communs et dont l’un d’eux, Il

atteint celui & des deux nombres &, © + À qui lui correspond, propriétés aui (n° 11) caractérisent la solution principale. Maintenant, puisque le dénominateur ® est seulement de degré ©, on voit que dans la solution principale on a

los = loto rc lot = lorn — 0;

et par suite

Âs,o+ et:

Quant à la limite inférieure de l’ordre de l’approximation, elle est

D +(o+h) +1 om orr =D +p+1+ 2,

Ceci posé, 11 résulte des propriétés de la solution principale (n° 15) que, pour les couples (&,9 +), (o+1,0+2),(s +2, D+h),... (© + h, © + h), les solutions principales sont respectivement

7e ACER a Le Lo lo+hs Lo, li, , sis 1) Us 29 Ge lotn-1 RE D OT A ENONCE PR A EC CS TRSOE ; 59 ; —. M nice lot loss -) ..) lo+n los ; le;