INTRODUCTION

Les différentes formes analytiques que l’on à appris peu à peu à donner aux fonctions ont acquis une importance toujours plus grande, à mesure qu'on les a reconnues capables de mettre en évidence des propriétés nouvelles. C’est ainsi que les séries entières primitivement considérées comme de simples formules d’approximation sont devenues la base de l'étude des points singuliers, ainsi encore qu'on a trouvé dans les produits de facteurs linéaires, qui ne semblaient propres qu’à mettre en évidence les zéros des fonctions, un moyen de faire ressortir la périodicité; et de même pour les séries de fractions simples, les séries trigonométriques, les intégrales définies, etc.

Il est cependant une forme analytique qui semble être restée en dehors de ce progrès, celle de fraction continue. IE y à plus d’un siècle qu'Euler à donné le premier exemple du développement d’une fonction en fraction continue, plus d’un siècle aussi que Lagrange à établi, sur des exemples particuliers, la propriété fondamentale des réduites: et bien que la question de la convergence ait dû infailliblement se poser à Gauss comme à Jacobi, il a fallu attendre jusqu’à Riemann pour en

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avoir le premier exemple. Le cas de la fraction de Gauss qu'il a traité, comme les beaux résultats acquis récemment par Halphen, donnent les seuls exemples obtenus jusqu'ici de fractions continues algébriques représentant des fonctions uniformes affectées de coupures. On ne saurait dire qu'ils constituent une théorie des fractions continues algébriques comme il existe une théorie des séries entières; peut-être, pour en apercevoir l’origine, fallait-il prendre les choses de beaucoup plus terre à terre que ne le pouvaient faire ces illustres maitres.

Bien loin, en effet, d’en être déjà à rechercher quelles sont les propriétés analytiques que peut mettre en évidence le développement en fraction continue d’une fonction, 1l nous parait que cette expression, le développement en fraction continue d'une fonction, ne laisse pas que d’être restée jusqu'ici fort obscure.

Les fractions continues, tout comme les séries, se divisent en deux grandes catégories suivant que les éléments sont des constantes ou qu'ils sont des fonctions d’une ou de plusieurs variables; ces dernières seules doivent être comprises sous le nom de fractions continues algebriques. Parmi les séries dont les termes sont des fonctions d’une variable, les séries procédant suivant les puissances entières et positives de cette vartable forment un groupe très spécial, quoique le plus important et le premier étudié, et cette expression le développement en serte entière d'une fonction a, comme on le démontre, un sens parfaitement précis. Or quand, sortant des exemples particuliers, on se propose d'étudier en général les fractions continues algébriques, on éprouve quelque embarras pour fixer Le groupe de fractions continues que l’on veut considérer; les exemples de développement que l’on connait, en nombre restreint pour chaque fonction et différent d’une fonction à l’autre, présentent une telle diversité que l’on a quelque peine à discerner une forme générale, et rien n’apparaît alors comme plus vague que cette expression le développement d'une fonction en fraction continue algébrique.

L'objet de notre travail est surtout l'introduction de la forme de fraction continue algébrique qui nous semble devoir jouer un rôle analogue à celui que jouent les séries entières dans la théorie des séries; nous lui avons donné le nom de fraction continue simple. Sans nous arrêter à détailler ici les propriétés qui justifient cette introduction,

et les conséquences qu’elle comporte, nous indiquerons brièvement l’ordre que nous avons suivi dans notre exposition.

Dans la première Partie, il n’est nullement question de fractions continues; nous y étudions l’ensemble des fractions rationnelles approchées auxquelles donne naissance une série entière; cette série peut être convergente ou divergente; c’est seulement pour faciliter le langage et donner plus de précision aux énoncés que nous l'avons supposée convergente. En réalité, comme on le reconnaitra plus tard, la série n’est que l’une des fractions continues simples du Tableau de fractions rationnelles approchées que l’on va construire, et il serait aussi bien défini par l’une quelconque des autres fractions continues simples qui lui correspondent, si l'on n'était pas encore dans l’ignorance de leur existence.

La seconde Partie est consacrée à l'introduction des fractions continues simples et à l'étude de celles qui correspondent à un Tableau donné de fractions rationnelles approchées. Nous y avons à peine touché la question de la convergence et nous sommes limité aux propositions les plus générales; nous n’avons même fait qu'indiquer l’une des conséquences les plus remarquables qu’elle semble comporter, à savoir la possibilité de l'introduction dans Le calcul des séries entières divergentes; ce sont là, en effet, des sujets difficiles qui demandent à être encore approfondis et nous auraient entrainé hors des limites à donner à ce premier travail.

Nous voudrions avoir réussi à indiquer la véritable voie à suivre pour l'étude des fractions continues algébriques; nous avons été amené à nous occuper de cette question par une parole de M. Hermite, recueillie dans une de ses leçons, et par laquelle il laissait entrevoir les richesses que cachait sans doute encore cette théorie. Puissent ces modestes pages être le principe de la réalisation de la profonde pensée de notre illustre maitre.

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