I. — Préliminaires
1. Dans les applications du calcul, 1l est ordinairement inutile, sinon impossible, d'obtenir le résultat avec une complète exactitude. Le plus souvent, il suffit seulement d’en connaitre une valeur approchée telle que l'erreur commise en adoptant cette valeur au lieu du résultat exact soit inférieure à une limite donnée a priori. De là résultent des simplifications souvent considérables, puisque l’on peut négliger, dans le cours des calculs, tout ce qui n'altérerait le résultat final que d’une quantité inférieure à la limite de l'erreur avec laquelle l'approximation doit être obtenue.
On conçoit ainsi combien il est important de savoir obtenir des valeurs approchées d’un nombre qui satisfassent à des conditions d’approximation imposées à l'avance. En Arithmétique, c'est le but même de la théorie des fractions décimales. Ces deux propositions sont fondamentales dans cette théorie :
I. Il va une fraction décimale avant au plus » chiffres décimaux, et une seule, qui soit approchée d’un nombre donné, par défaut, à
[l \ == ÉESE 10/7 |
Il. Les approximations obtenues avec les fractions décimales approchées par défaut qui correspondent à des valeurs croissantes de x ne sauraient diminuer; elles conservent la même valeur ou bien elles vont en croissant.
[l'est naturellement aussi important de savoir obtenir une fonction qui représente une fonction donnée avec une approximation d'ordre fixé à l'avance. Le développement des fonctions en séries entières offre l'exemple d'une telle recherche; une série entière, quand elle est convergente, est une expression analytique qui met en évidence une
SUR LA REPRÉSENTATION APPROCHÉE D'UNE FONCTION, ETC. ñ suite de polynômes de plus en plus approchés de la fonction qu’elle définit. C'est sous cet unique point de vue que les séries entières ont été considérées par les premiers inventeurs. Newton, dans son Livre Analysis per æquationes numerorum terminorum infinitas, voit dans une telle série l’analogue, pour la représentation des fonctions, des fractions décimales NES ses pour la représentation des nombres. On retrouve ici ces deux propositions semblables à celles déjà rencontrées cu la théorie des fractions décimales :
. [ya un polynôme de degré z au plus, et un seul, qui, dans le en de la valeur zéro de x, puisse représenter une fonction avec une erreur infiniment petite d'ordre au moins égal à n +1;
IT. Les approximations obtenues avec les polynômes approchés qui correspondent à des valeurs croissantes de 72 ne sauraient diminuer; elles conservent la même valeur ou bien elles vont en croissant.
2. La représentation d’une fonction donnée par un polynôme n’est évidemment qu’un cas particulier de la représentation d’une fonction par une fonction algébrique.
Soit y une fonction de x définie, pour les valeurs de æ voisines de zéro, par une série entière. Soient, d'autre part, P, Q, ...,S,T, &« +i polynômes en æ dont les degrés ne dépassent pas respectivement les nombres p, g, ...,s, t, et dont les coefficients sont indéterminés. Développons la fonction
PIE IO PE LEE HS Ye T
suivant les puissances croissantes de x; les coefficients du développement sont des fonctions linéaires homogènes des coefficients des polvnômes P, Q,..., T. Le nombre de ces RS coefficients est
P+HI+q+HI+...+ÉéHI=p#+g+...+É+a+I.
Si l’on égale à zéro Îles
État Ci premiers coefficients du développement, on obtient un système d’équations qui déterminent, en général, les rapports des coefficients des polynômes P, Q, ..., T, et l’on a
be ext}
Py2+ Qyet+...+Sy+T— (Re 4 un Bas Hem)
Ô I. PADÉ.
où (xP+tte##) représente un infiniment petit dont l'ordre est au moins égal àp +g+...+i+«.
Considérons maintenant la fonction algébrique Y définie par lPéquation PYS+ QYE + ...+ SY+T—=0o;
retranchant membre à membre cette égalité de la précédente, on obtient une égalité de la forme
(y = Y)A — (æP+i+e rite),
où À est une fonction de æ qui, en général, ne s’annule pas pour æ = 0. Quand il en est ainsi, on a donc
ne — Ve (æP+a+ +),
et l’on voit que la fonction algébrique Y représente la fonction y avec une approximation d'ordre au moins égal à
Jane oebier Cie
3. Il ne semble pas que jusqu'ici la détermination et l'étude des polvnômes P, Q. ...,T aient été faites dans aucun cas particulier; une question tout à fait analogue a cependant été traitée par M. Hermite, à savoir : la détermination des systèmes de polynômes entiers en x
U, V, W tels que le développement de l’expression U sinx + V cosx + W
commence par la plus haute puissance possible de la variable ('). L'objet de cette première Partie de notre travail est l'étude du cas simple où la fonction algébrique Y est une fraction rationnelle, où, par suite, & —1; nous avons surtout en vue de rechercher quelles sont, dans ce cas, les deux propositions analogues à celles que nous avons énoncées pour les fractions décimales et pour les polynômes.
(1) Extrait d’une Lettre de M. Ch. Hermite à M. Paul Gordan (/ournal de Crelle, 1:16, D609):
Il. — Le théorème fondamental.
4. Soit y une fonction développable, dans le voisinage de la valeur zéro de la variable æ, en une série procédant suivant les puissances entières positives et croissantes de cette variable, etne s’annulant pas
pour æ — 0 :
Y = A + AE + AL? +..., Cl 20%
Soit (p, g) un couple de nombres, égaux ou inégaux, pris dans la suite o, 1, 2, 3, .... Considérons l’ensemble des fractions rationnelles irréductibles dont le numérateur est au plus de degré p et le dénominateur au plus de degré g. Nous nous proposons de déterminer, parmi les fractions de cet ensemble, celles qui représentent le mieux la fonction dans le voisinage de la valeur zéro de x; c’est-à-dire celles qui, æ étant infiniment petit, diffèrent de la fonction d’une quantité dont l’ordre infinitésimal soit supérieur ou au moins égal à celui que l’on obtient en employant une quelconque des autres fractions.
5. Supposons d’abord g différent de zéro, et soit Dh rlr +1,11
un polynôme de degré g, à coefficients indéterminés. Effectuons le produit de ce polynôme par la série qui représente y; on obtient
SV ACT + din +... + diql)æ,
en regardant les lettres a affectées d'indices négatifs comme représentant zéro. Égalons à zéro les coefficients des termes de degrés p +5,
PH 2,..., Pr; dl + dial +... + aiqlg = 0 ({=p+i,..., p+gq);
on à ainsi un système de g équations linéaires homogènes entre les
g + 1 coefficients indéterminés L,, ..., 4. Il est toujours possible de
satisfaire à ces équations par un système de valeurs des inconnues
tel qu’elles ne soient pas toutes nulles. Si l’un au moins des g déter- P. 2
10 H. PADÉ.
minants déduits de la matrice
Ap+1 p .. A p—g+1 A p+2 A p+1 60 pq
, À p+q A p+q—1 Banc A p
par la suppression d’une colonne quelconque, est différent de zéro, toutes les inconnues sont déterminées à un même facteur constant près ; si tous les déterminants sont nuls, plusieurs d’entre elles peuvent, au contraire, être prises arbitrairement. Nous ne considérerons jamais comme distinctes, dans tout ce qui suivra, deux solutions où les valeurs des inconnues seraient proportionnelles, et ainsi nous dirons, dans le cas où l’un des déterminants est différent de zéro, que le système admet une seule solution.
Parmi toutes les solutions, adoptons l’une de celles pour lesquelles la suite £,, L,,...,4, commence par un plus grand nombre de zéros que pour toute autre. Le polynôme $ est alors divisible par une puissance de æ d’exposant au moins égal à celui que l’on obtiendrait en adoptant toute autre solution. Nous appellerons w,, cet exposant, qui peut évidemment être zéro. Les coefficients 4, /,, ..., 4, étant ainsi déterminés, on à |
SY—=R+(rPrIEE), où R est le polynôme
P NT ; > (@rlo Æ Gala. Rai lee
dont le degré est au plus égal à p, et (æ?*7*t) un infiniment petit dont l’ordre est au moins égal à p + q +1.
Si g était égal à zéro, S serait une constante /, ; nous prendrons alors pour R le polynôme qui, dans la série Sy, précède le terme en x?+t. Dans tous les cas l'égalité précédente subsiste donc.
Les polynômes RetS ne sont pas nécessairement premiers entre eux ; en particulier, si w,, n'est pas zéro, le polynôme R doit être divisible par x°%». Le premier membre de l’équation précédente est, en effet, un infiniment petit d'ordre au moins égal à w
ny» eLil doit en être de même
du second. Or, O4 étant au plus égal à g, et par suite étant plus petit que p + g +1, x°n doit se trouver en facteur dans le polynôme R. Ce fait se vérifie d’ailleurs immédiatement à l'inspection des coefficients de ce polynôme.
Sotent U, V les quotients des polynômes R, S divisés par leur plus grand commun diviseur, on a
Vy —— U me (HP)
ou, comme 11 y a sûrement dans V un terme constant différent de zéro,
à U e (CRT; )e
LEON Nous avons ainsi formé une fraction rationnelle irréductible v dont les termes ont des degrés au plus égaux respectivement à p — w,,, 4 — %% et qui diffère de la fonction y d’un infiniment petit dont l’ordre est au moins égal à p + q + 1 — w,,, assurément supérieur à la somme des degrés des termes de la fraction.
pr : U' ' : : me ; Soit maintenant ÿ; une fraction rationnelle iréductible dont les termes sont des polynômes de degrés respectivement égaux, au plus,
S re US : : :
à pet g; supposons que la différence y — ;; soit un infiniment petit
d'ordre au moins égal à p + qg +1 — w,,, en sorte que l’on ait
Ve V!
he (Cote )E
retranchées membre à membre, les deux dernières égalités donnent
[ ou UV — V'U = VV'(ær+1t1-0n), Cetfe égalité fait voir que le premier membre est identiquement nul; car, s’il n’en était pas ainsi, il serait ou une constante, ou un polynôme de degré au plus égal à p + q — w,,, et ne serait dans aucun cas infi-
niment petit d'ordre au moins égal à p +q +1—w,,comme le second
12 H. PADÉ.
membre. On a donc
UIVESVEUE= 0 et, par suite, Wed Von
Ces deux fractions, étant irréductibles, sont identiques, et nous pouvons énoncer la proposition suivante qui est fondamentale dans cette théorie :
1. Parmi toutes les fractions rationnelles irréductibles dont les termes ont des degrés égaux au plus à p pour le numérateur, à q pour le dénomui-
nateur, p et q étant deux nombres, égaux ou inégaux, pris dans la suite : Ü : : : .
OL rer UN) CL AAUTE, q’ Jui fournit une approximation dont
l’ordre est supérieur à celui de l’approximation fournie par une quelconque des autres fractions.
6. Cette proposition est la première de celles que nous avons annoncées dans le n° 3, et elle résout complètement la question du n° 4; mais on peut compléter en quelque sorte l'énoncé précédent au moyen des simples remarques qui suivent.
Le nombre w,, est au plus égal à g; il est aisé de voir qu'il est aussi au plus égal à p. Si, en effet, w,, était plus grand que p, comme le polynôme R, ainsi que nous l'avons établi, doit être divisible par 2°» et que ce polynôme est au plus de degré p, il serait identiquement nul. Or ceci ne peut avoir lieu, car alors on aurait
Y —- (LPS 0,0)
et la fonction y s’annulerait avec +, tandis que l'hypothèse contraire a été faite. On voit encore que R ne peut être divisible par une puissance de æ d’exposant plus grand que w,,, car on en conclurait encore la nullité de la fonction y pour x = 0; ainsi :
Les polynômes U et V ont l’un et l’autre un terme constant différent de zéro ; w,4 désignant zéro ou un entier positif au plus égal au plus petit des nombres p et q, les degrés des termes U, V ont respectivement pour limate supérieure p — w,,, q — ©,,; l'ordre de l'approximation a pour limite inférieure p + q +1 — w Fe
7. À chaque couple (p,q) de nombres de la suite o, #, 2, 3, ... correspond une fraction rationnelle approchée pour la fonction y; ces fractions forment donc un ensemble (E) complètement défini et se présentent comme les termes d’une suite à double entrée; nous les écrirons dans les cases d’un Tableau analogue à celui de la multiplication, illimité à droite et en bas; les fractions d’une même file horizontale correspondront à une même valeur de g, celles d’une même file verticale à une même valeur de p. Dans la première file horizontale figurent ainsi les polynômes approchés successifs déduits de la série qui représente y.
Nous donnons iei trois exemples de tels Tableaux présentant chacun des particularités diverses. Chaque case renferme, outre la fraction qui lui correspond, deux nombres dont le premier est la limite inférieure p + q + 1 — w,, de l’ordre de l’approximation, et l’autre cet ordre lui-même.
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