III. — La solution principale

9. La seconde des propositions annoncées dans le n° 3, celle qui fait connaitre comment varie l’ordre de l’approximation quand on considère les différents couples de nombres (p,q), est d’une nature plus cachée que la première; pour y parvenir, nous devons tout d’abord établir quelques propriétés de la solution des équations en / que nous avons fait intervenir dans la démonstration de cette première proposition.

On démontre aisément que, étant donné un système de g équations linéaires, homogènes, à g +1 inconnues, il n’y à qu'une solution jouissant de cette propriété de comporter autant de zéros que possible au début de la suite des inconnues rangées dans un ordre arbitrairement déterminé. Or, parmi toutes les solutions du système d'équations en /, nous avons adopté l’une de celles pour lesquelles la suite L,, l,...., 1, commence par un plus grand nombre de zéros que pour toute autre; c’est donc une solution parfaitement déterminée du système que nous avons adoptée; nous la nommerons la solution principale de ce système,

10. Elle peut être obtenue de plusieurs manières; nous en indiquerons deux.

D'abord, et cette méthode est applicable pour des équations quelconques, on l’obtient en adjoignant au système proposé autant des

équations 1, —0, 1 — 0; TE 0* DES

18 H. PADÉ.

à partir de la première, qu’il est nécessaire pour que le système ainsi obtenu admette une seule solution; cette solution est la solution principale du système proposé. On voit que, si ce système laisse X + 1 inconnues arbitraires, il y a au moins, quand on adopte la solution principale, À inconnues nulles au début de la suite /,, /,, ..., 4, des inconnues; le nombre w,, est ainsi au moins égal à .

Une seconde méthode, applicable seulement aux équations linéaires qui ont la forme spéciale que possède le système d'équations en /, repose sur les considérations suivantes; de ces considérations vont même résulter la démonstration de l'existence de la solution principale et l’une de ses propriétés caractéristiques les plus importantes.

11. Soient /,, d,, ..., lune solution quelconque du système d’équations en /, et De le nombre de zéros qui figurent au début de cette

ife: ñ sair . Ft < ap | suite; on à nécessairement &,, = &,, el par suite,

P+Q+I—@pg2P + +1 — pq.

A cette solution correspondent des polynômes R’, S’ analogues aux po- À “he (U lynômes R,S, et une fraction rationnelle irréductible + pour laquelle

on à

= - 1—0p } — v’ ee CHR pq).

De cette égalité et de l'inégalité qui précède résulte lidentité des

fractions Se et ÿ> et, par suite, celle des polynômes U’et U d’une part, V'et V d'autre part. Ainsi les polynômes R' et S’ qui correspondent à une solution quelconque des équations en / sont les produits des polynômes premiers entre eux U et V, par un même polynôme P. Réeiproquement, si en multipliant UÜ et V par un même polynôme P, tel toutefois que les degrés des produits PU, PV ne dépassent pas respectivement les nombres p et q, on a

PVy —— PU SE (oAatrE")e

ceci montre que les coefficients du polynôme PV constituent une solution du système d'équations en /; autrement dit, les polynômes

R'= PU, S'= PV s’obtiennent pour une certaine solution de ce système.

On obtiendra donc une solution £,, £,, .., l, comportant à son début un plus grand nombre de zéros que toute autre, si l’on prend pour le polynôme P la plus haute puissance de x possible. Il est ainsi établi d’abord qu'il n’y a qu’une solution de cette nature; ensuite qu’elle s'obtient en adoptant une solution quelconque des équations en /, formant les polynômes R', S’ correspondants, les quotients U, V de ces polynômes par leur plus grand commun diviseur, et enfin multipliant U, V par la plus haute puissance possible, 2°», de x telle que les degrés des produits x" U, æ°V soient au plus égaux respectivement aux nombres p, g: les coefficients du polynôme x‘*»V constituent la solution principale.

On voit ainsi que :

Les polynômes R = x"nU, S = x°V, qu correspondent à la solution principale, ne peuvent avoir de facteur commun autre qu'une certaine puissance de x, et le degré de l’un d'eux est assurément égal à celui des deux nombres p et q qui lui correspond. Réciproquement, si les polynômes R’, S' qui correspondent à une soluuon , l, .…, l, des équations en l jouissent de ces propriétés, cette solution est la solution principale.

12. Nous avons appelé {,, l, ..., [une solution quelconque des équations en 4, etw,,, le nombre de zéros qui figurent au début de cette suite de valeurs; Les degrés des polynèmes U et V, quotients des polynômes R’ et S’ par leur plus grand commun diviseur, ayant respectivement pour limites supérieures les nombres p — 6, q — w représentés par

7 U pg» Seront PS © p4 re LATE 7 A ME Dog:

en sorte que #,,, À,, Sont des entiers positifs ou zéro. L'ordre de l'ap-

RE ST proximation fournie par la fraction &, qui a pour limite inférieure la re L 2 a à AG A o quantité p + q+1—0,,, Sera représente pat

P +9 + Yong — Sy

en sorte que Ÿ,, est un entier positif qui peut être infini.

20 H. PADÉ.

Ces quatre nombres

A Opqs Wprs Xpqr pq

sont ce que nous appellerons les sirgularités relatives à la solution !,, PRET

Pour la solution principale /,, /,, ..., 4, ces singularités seront représentées respectivement par @pys Vogs Xpgr Xpg3 En Outre, pour abréger, nous poserons ordinairement

P+I+I— pq = Epqs P+ + Ÿog— Opq = Npgs

ces nombres £,, 1» S0Ont Ceux qui figurent, au-dessous de chaque fraction, dans les cases des Tableaux précédemment donnés comme exemples.

13. Il résulte de la proposition du n° 11 que l’un au moins des nombres xs Ag St nul; d’ailleurs les équations en / présentent dans leurs coefficients un ordre tel que l’on doit se demander s’il n’y a pas encore quelque autre des quatre singularités ©, Vs Xpg» Apys QUI SOit toujours nulle, ou si quelque relation ne lie pas ces quantités entre elles; il n’en est rien comme on va voir.

Donnons-nous, arbitrairement, deux suites de quantités

Le VENIR

” A 0eme Fo avec cette seule condition qu’elles comportent autant de zéros l’une que l’autre à leurs débuts. Soit w,, ce nombre de zéros communs, au

plus égal à la fois à petàag;ona

RE NES Er he y A1 2 Ne DST,

Considérons alors les équations en a Te; o+ajnl+ CRE + aj-ql;= k;, (= 0,10" p) Glénat, (Ü=p+i,p+2,...,p+q) où les lettres a affectées d'indices négatifs sont regardées comme représentant zéro. Les équations qui correspondent aux valeurs o, 1,

2,..., ©, — 1 de 7 sont identiquement satisfaites; il est facile de déterminer les quantités a de telle sorte que les autres le soient égale-

ment. La quantité /,, étant différente de zéro ainsi que £,;,, la première équation donne pour a, une valeur différente de zéro, la seconde détermine ensuite @,, puis la troisième a,, etc., enfin la dernière Æp+q-w,*

Ceci posé, considérons une série convergente quelconque ordonnée suivant les puissances entières positives et croissantes de x et dont les p + q +1— 0, premiers coefficients soient a,, @,, ..., Gpée. LES polynômes R'et S’

R=k Ekir+...+k,ær, Se Le Lo. + Pt

s'obtiennent quand, cherchant la fraction rationnelle approchée de la

fonction qui correspond au couple (p,g), on adopte /, [,..., pour : : 2 € : eu D QE RESOLE :

solution des équations en Z. On voit que DD UN déjà telles

: 2 . l valeurs qu'il nous à plu leur donner. Développons maintenant = en