N LA

série entière; il suffit de prendre pour le (p+g—w,,+1)°%, le (qe) RCtomcucricienmuenarere les vocliicients

: R' / de même rang dans le développement de & pour que 4,, prenne égale-

ment telle valeur qu’il nous plaira.

Si l’un des deux nombres x,,, À,, est pris égal à zéro, la solution l, l,,..., 0, étant alors la solution principale du système d'équations

en {, la proposition que nous avions en vue est établie.

FRS TE de es ’ — < DS

14. Supposons l’ordre p + q + %,,— ,, de l'approximation fournie UE ,

par la fraction ÿ fini et retranchons-en la somme des degrés des termes

de cette fraction, on obtient

! ! 74 < LA CP +9 + og Dpg) — (P — Opg — Xbg) 2 / RÉ: 1 xp 1 — (9 — og — og) = Op + Ypg + Xpq + Àpg:

Ainsi la somme des quatre singularités qu sont relatives à une solution des équations en l ne dépend pas du choix de cette solution ; en outre, ilest

PR . ; U k :

évident que, si la fraction & correspond'dans le Tableau à plusieurs

couples (p,g), ce qui donne autant de systèmes d'équations en / différents les uns des autres, cette somme des singularites est la même quel que sou le système considere et la solution que l’on adopte de ce systéme.

Do H. PADÉ.

Nous allons bientôt retrouver ce nombre remarquable, avec une signification importante, en étudiant la distribution, dans le Tableau, des

: : : A fractions de l’ensemble (E) égales à la fraction &:

15. Il ne nous reste plus à établir que deux propriétés simples et de même nature de la solution principale.

Les équations en / relatives à deux cases voisines d’une même file horizontale sont

&;lo el; 1 +... + Cher — 0}

(= p+1,...,p+g) ddr CO,

Supposons que, dans la solution principale du premier système, on ait l,—0,etsoitmn,,m,,...,m,,, 0 cette solution principale; elle donne lieu aux identités

AGE Gi à + A ga Mig 1 — 0; (= DERRL A nE AD)

etil est évident que les valeurs m,, m,,..., m,, Constituent la solution principale du système d'équations déduit du premier quand on y supprime tous les termes en /,; les identités précédentes établissent dès lors que les valeurs o, m,, m,,..., m,, constituent la solution principale du second système d'équations. Ainsi :

Quand, dans une solution principale, la dernière inconnue a la valeur séro, ul suffit de faire passer ce zéro en tête de la suite des valeurs des in-

connues pour obtenir la solution principale relative à la case contiguë de droite.

Il est de toute évidence que les fractions approchées qui correspondent à ces deux cases sont les mêmes et que par suite les approximations qu’elles fournissent sont de même ordre; par conséquent

Np+1,9 — Np,ge On a, en outre, Op+1,9 — Opg T1; d’où (P+I)+q+1—-0p4,9= P +9 +1—0p ou

F Pe Sp+1,9 — Cpq*

16. Considérons, en second lieu, deux cases contiguës d’une même file verticale; les systèmes d'équations correspondants sont

dia ht pal =, (Ü= p+1,...,p+9q) ditil + Gil + ai alb+s.. + @i-glgr1= 0, (D D DEL 2 DE 4)

Soit 9, 2, ..., 0, la solution principale du premier système, et supposons que, pour cette solution principale, le coefficient #, du terme en +? dans le numérateur soit nul; alors on a le système d’identités

DM Ait ee 4 EE AM — 0, (I=p,p+1,...,p + aq},

dont la première exprime que 4, est nul, et ces identités montrent que le système de valeurs o, 7,, m,, .., m, est la solution principale du second système d'équations.

Le coefficient de rang 7 dans le premier numérateur et celui de rang 7 + 1 dans le second sont respectivement

jy EG; + RG; Ma;

ji OT Gite ju tt. FA; Ma

et sont égaux; si donc #,, &,, ..., #,.,, o est la première suite de coefficients, la seconde est o, 4,, #,,..., £,,. Ainsi :

Quand, pour une solution principale, la suite k,, k,, ..., k, des coefftcients du numérateur comporte un zero en dernier lieu, il suffit de le faire passer en tête pour obtenir la suite relative au numérateur qui figure dans la case inférieure.

Les fractions correspondantes aux deux cases sont évidemment les mêmes et l’on a encore

L Léa la arr Np,g+1— pq» Cp,g+1 — Spq°