EST SITUÉE SUR UNE SURFACE ALGÉBRIQUE

INTRODUCTION

On sait que dans son grand Travail sur la classification des courbes gauches algébriques {Journal de l'École Polytechnique, LU* Cahier) Halphen a écarté les courbes à points multiples. Il m'a paru intéressant d'étendre à ces courbes quelques-uns des résultats obtenus par réminent géomètre.

Le premier point traité est la représentation d'une courbe gauche indécomposable G, de degré n.

Quand on représente (i par les équations

le polynôme / est indécomposable et a n pour degré; Pg et P| sont deux polynômes ayant pour degrés deux nombres consécutifs s et 5-I-I. Mais, sans changer la courbe, on peut remplacer Pq et P| par deux autres polynômes PJ, et V\, de degrés s' et ^'-f-i, choisis à volonté, pourvu toutefois que l'expression

p; Po - p; p.

Univ. de Lyon. — Autonne, Courbes, i

soil divisible par/. Alors, en effet, sur la courbe/=o les deux rapports Pj : Po et P\ : P'o sont constamment égaux.

Il y a ainsi dans le choix des polynômes Po et Pi, dénominateur et numérateur dez, une dose d'arbitraire qu'il est intéressant d'évaluer.

Halphen {Classification, etc., p. 20 à 25) a démontré le théorème suivant : « Peut servir de dénominateur à z tout polynôme Po(-37, y) qui s'évanouit en chaque point double apparent. » La proposition, bien entendu, ne s'applique qu'aux courbes dénuées de points multiples. Quant aux autres, étrangères à l'objet de son travail, Halphen leur consacre quelques lignes à sa page 43. Il y énonce, sans démonstration, qu'en un point multiple le polynôme Po satisfait à certaines conditions linéaires entre ses coefficients, conditions équivalentes à celles qui font passer la courbe Po^=o par o- points. Le nombre a prend le nom d'équivalent du point multiple. Halphen cite quelques exemples du calcul de o- (pour un point double, <j est toujours zéro; pour un point |ji"P^<' à tangentes distinctes (7=1^ (fjL — i), (|JL — 2), ..., mais ne fournit aucune règle générale pour le calcul de o-, règle applicable à une singularité quelconque.

Le premier Chapitre de mon Mémoire a pour objet de compléter l'analyse d'Halphen.

Soit m un point multiple quelconque, que l'on peut toujours supposer à l'origine des coordonnées. Ce point m est l'origine d'un certain nombre M de cycles C/[« = 1,2, . . ., M] d'ordres w/. Les équations de C/ sont

x:=ztV, y = MhOi) = y.j> z = Zi{tiOi) = Zij, di— racine primitive w^'*"»*^ de l'unité,

•ni(t) = ^aist', Kdn = ^f^isi%

les Ois et bis étant holomorphes en x, c'est-à-dire étant des développements qui procèdent suivant les puissances entières et positives de X.

D'après un théorème connu de M. Nœther, cité par Halphen à sa page 22, il faut et il suffit qu'il existe un développement holomorphe à deux indéterminées

INTRODUCTION

tel que

{ j =zOy I, , . ., rii — I, e = I, 2, . . ., M )

pour que Po possède en m les qualités requises pour servir de dénominateur à z.

Je commence par fabriquer une expression

!](« — 7fy)

II(/i7-7/7')

OÙ le symbole II indique que le facteur en y/j ne figure pas dans

le produit.

On a bien

mais £1' contient :

Des puissances fractionnaires de x;

Des dénominateurs.

Je me débarrasse des premières en transformant convenablement û',

les R et les D étant holomorphes.

Si le produit DD/ contient a:9i en facteur, û' est holomorphe quand x9i divise, dans R/, le coefficient de chaque puissance de w. Cela exige que l'expression Po(^, fij) soit divisible par une puissance de

œ"i=: Ci suffisamment élevée, et que Ton calcule immédiatement, car les D et les R sont explicitement formés à Taide des a,, et ^/,. Posons

0-, est (terminologie d'Halphen) Ta ordre du polynôme Pq par rappor au cycle C,- ». o-/ est aussi le nombre de points, confondus au point multiple, communs au cycle C| (ou, plus exactement, à la projection de Ci sur le plan des xy) et à la courbe Po = o.

Appelons g la projection /(j^*, j)~ o de la courbe G sur le plan des œy. Il est indifférent de parler, soit des cycles de ,^, soit de ceux

4 COURBES GAUCHES ALGtBRIQUKS, ETC.

de G, les premiers étant la projection des seconds. Les points multiples de G se projettent aussi en des points multiples de g.

Cela posé, nous pouvons énoncer le théorème suivant, généralisation du théorème d'Halphen :

« Peut servir de dénominateur à 5 un polynôme Po pris à volonté, pourvu que la courhe Po = o passe par chaque point douhle apparent, coupe chaque cycle de gj issu d'un point multiple, en un nomhre de points, confondus au point multiple, égal ou supérieur à un nombre fixe. »

Je démontre ensuite par ma méthode quelques résultats simplement énoncés par Halphen. Un point douhle n'impose à Po = o aucune condition; en un point |ji"pi« à tangentes distinctes, la courhe Po = o a un point (/x — 2)"p*°, ce qui fait bien {(jx — i) (/x — 2) conditions linéaires entre les coefficients de Pq.

Notons que pour l'application du théorème il n'est pas indispensable de posséder complètement les courbes G ou ^; il suffit de connaître:

La position des points doubles apparents;

Les singularités, c'est-à-dire la position des points multiples ainsi que les développements en série, afférents à chaque point multiple.

On n'a môme besoin de posséder, pour chaque développement, qu'un nombre fini des premiers termes.

Cette remarque est essentielle, lorsque par exemple G est envisagée comme donnée par une équation différentielle IL En effet, H ne fournil directement que des développements en série.

Telle est la matière du Chapitre L Le Chapitre II est consacré au calcul du nombre X des conditions qui expriment qu'une courbe algébrique G de degré n est située sur une surface algébrique £ de degré N.

Une limite supérieure /iN-t-i est évidente pour dZ>. Il suffit en effet, au pis aller, d'exprimer que ^ passe par /iN-+-i points arbitraires de G. Mais il est bien connu que souvent

3^ < wN -+- I.

Halphen a démontré à cet égard une formule importante [Classi/lcalion, etc., p. 36; c'est la formule (20) écrite avec mes notations]

OT, — /i N -h I — y? -h w

INTRODUCTION. 5

Dans cetle formule les lettres ont la signification que voici : p est le genre de G; la courbe G étant donnée comme toujours par

s est le degré de P©;

^(w) est une fonction de co, telle que -^(o)) = 1 si o) < o et J (a))=:o si w^o;

enfin rentier positif et exige quelques explications plus compliquées. Les courbes Po = oet^, c'est-à-dire / = o, se coupent en sn points, savoir : deux points en chacun des à points doubles apparents, et ns — là autres points; soit en tout ns — 5 points formant un groupe A. Cela étant, si l'ensemble des courbes de degré *H-N, qui passent par le groupe A, est (A — i)"pï«mcni infini, alors

h =1 (fis — 6)-\-Ts;

d'où m.

La formule appelle deux remarques. D'abord, comme on l'a vu plus haut, la courbe Po = o est assujettie uniquement à passe par les d points doubles apparents; s n'est ainsi limité qu'inférieurement et il est licite de supposer ^-f-N — Ai>oet

rf(.v-f- N — /0~ ^•

Il est beaucoup plus difficile de se débarrasser de rentiers. Halphen démontre que dans certains cas, notamment pour N assez grami, cy==o, mais ne fournit aucun moyen général pour calculer vs. En réalité, tout ce que démontre Halphen c'est que, après la limite supérieure «N-hi, 3fL possède encore la limite inférieure wN-t-i— /?.

La question a récemment été reprise par M. G. Caslelnuovo (*). Voici les importants résultats obtenus par ce géomètre par des procédés entièrement différents de ceux d'Halphen. Appelons ^ l'entier défini par les inégalités

(') « Sui muUipli di una scrio lincare di gruppi di punti appartcneatc ad una curva algobrica» {Rendiconci du Cerulo mathématique de Palerme, séances des ii et qS juiu 1893). Voici la correspondance des norations. Le nombre r des dimensions du rhypcrcspacc est 3 pour Tespacc ordinaire, où je reste; la surface a pour do{îré fi — }i. La dimension r^ do la sdric linéaire est Ob — i.

et TT le genre maximum que peut posséder une courbe de degré n. On a d'abord

Quant à ^, ce nombre possède d'abord, lorsque N < — ; — > une

lîmile inférieure, qui ne dépend que de N, savoir (N h- i)*. En second lieu il existe un entier, inférieur ou égal à x-^^^r — /?, tel que, si N dépasse cet entier,

X = /iN 4-1 — /? — ^,

Il y a ainsi contradiction entre les résultats d'Halphen et de M. Gastelnuovo. Cela tient à ce que le procédé d'Halphen conduit, pour exprimer que la courbe G est sur la surface ^, à écrire X relations, mais n'établit pas qu'elles sont toutes distinctes.

Le second Chapitre du présent Mémoire a pour but d'étendre l'analyse d'Halphen aux courbes à singularités quelconques. Est établie la formule suivante

m a la même signification que dans la formule d'Halphen. La somme 2 est élendue aux divers points multiples de G, dont chacun abaisse le genre de Jaunîtes.

Lorsque G est donnée, cj se calcule sans difficulté. On construira le groupe A, introduit ci-dessus, et l'ensemble des courbes de degré 5 H-N qui passent par les points du groupe A.

Mais lorsque l'on ne connaît de G que le degré n, le genre/? et les singularités, on ne peut calculer cj.

Quant à l'évaluation de^l, elle exige seulement qu'on connaisse un nombre limité des premiers termes dans les développements en série, afférents à chaque point multiple de G (*).

(*) Les principaux résultats du présent Travail ont éié communiqués à TÂcadémie des Sciences à la séance du 12 novembre 1894*

Lyon, le I*' mars 1S9).