CHAPITRE I
REPRÉSENTATION DES COURRES GAUCHES ALGÉRRIQUES.
1. Le point de départ dans les présentes recherches est la théorie des cycles des courbes algébriques planes ou gauches, théorie due à Cayley, à MM. Zeuthen, Nœther et surtout à Halphen. Elle est déjà devenue classique et il est bien inutile de la reproduire ici. D'ailleurs, un peu plus bas, je cite les sources à consulter.
Je me borne à rappeler les propriétés des cycles dont l'usage sera le plus continuel dans la suite.
Tout point mo(xo, yo> ^o)> pris sur une courbe algébrique G et à distance finie (sans quoi il suffirait de changer de coordonnées), est Torigine d'un nombre fini M de cycles C/(«=:i, 2, 3, ..., M). Le cycle C/, ayant nt pour ordre, est, pour un module de ti assez petit, représenté par les équations
y—fo = r^i{itdi) = yij,
Z — 5o =:= ï/ ( ti 0{) == 5/y, X — Xy == ^7' ;
^f/^ racine primitive w?"* de Tunité;
(o) / yrz:0, I, 2, 3, .. ., W,— i;
5 nzO^ I, . . ., Hi — i;
les Oif et bis étant holomorphes en j? — x^.
En disant que a/, ou bis est holomorphe en j? — Xq^ j'entends que a/, et bis sont des développements qui procèdent suivant les puissances entières et positives de jc — Xq. Chacune des puissances de 0/ fournit une des ni branches du cycle.
Le point m^ est multiple sur G, sauf si M = /^| = I.
Les formules (o) sont exactes pour une orientation quelconque des
8 COURUKS GAUCHES ALGÉBRIQUKS, KTC.
axes de coordonnées et peuvent être mises en défaut pour une orientation particulière. Prenons le cas le plus simple : supposons sur une courbe plane un point ordinaire à Torigine, mais prenons la tangente pour axe des r. La coordonnée / sera représentée par deux développements
Voilà donc une précaution à prendre dans le choix des axes.
Les cycles ont fait Tobjet, de la part d'Halphen, de nombreuses publications; les aperçus et la terminologie ont varié. La rédaction la plus définitive me semble contenue dans deux Mémoires que je suivrai constamment.
Ce sont :
Pour les courbes planes, Appendice à l'édition française, parue en 1884, du Traité de Géométrie analytique (courbes planes) de Salmon;
Pour les courbes gauches, Mémoire sur les singularités des courbes gauches algébriques^ inséré au tome VI du Bulletin de la Société mathématique de France (p. 10 à 43).
2. Conformément à des théories classiques, j'envisage la courbe algébrique gauche (j comme donnée par les équations
/, Po, Pt sont des polynômes ayant pour degrés : / le degré n de la courbe G, Pq et P, deux entiers consécutifs 5 et 5 -h i. Le polynôme/ est indécomposable.
Géométriquement cela revient à prendre G comme l'intersection d'un cône de degré /i,
ayant pour sommet le point S(ar=:^rzzo, 5 = 00),, avec un monoïde de degré 5H-i,
^Po(.^,7)— Pi(^,/) = o.
L'intersection comprend en outre ns droites issues de S et perçant le plan X, 5=10, aux points /= Po = Pi = 0. Pour toutes explications détaillées je renvoie à mon Mémoire Sur la limitation du degré pour les intégrales algébriques de l'équation dijjérentielle du premier ordre (Chapitre I), inséré au LXIil*^ Cahier du Journal de l'École Polytechnique.
GIIAP. I. — REPRÉSENTATION DBS COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES. 9
La courbe plane ^, f{x, j)=:o, est la perspective de G sur le plan X des xy. Nous supposerons que le point de vue S de la perspective n'occupe par rapport à G aucune situation particulière. Alors tout point simple de g est la perspective d'un point simple de G; les points multiples de G auront pour perspective des points multiples de g. De plus g aura des points doubles apparents formés par la perspective commune des deux points simples de G, situés sur une corde issue de S. Comme la situation de S dans l'espace est quelconque, les points doubles apparents seront à tangentes séparées. Tout point multiple de gy qui n'est pas un point double apparent, est la perspective d'un point multiple de G.
