LS

| 0) me} foto, w,—0,), Æ (ww — 02 pat), Æ(diHo; How 2 — 07, — 0), ne (w; Sie 9; RO 0) 2), mr (u; Eine w; RC me) Cle = 2, '

E)(1=6,7,8) ) Æ (o+w;+u,+u,— 2, —0,— uw), Æ (u;+0,+ 6,+0+w,— 2, —w, — 2),

E (o+o oo, +0,—2w 3—207 1—20), (oo, +ow+mo+,—20,—w,—317),

(oo Hoyt, +o,—20 220 130), E(Do+o, Hotte, —2w—207 ,—3w)). BEST ET D OR UT Un Les coeflicients des Yf sont les mêmes que ceux des «.

Lu, Hu, ww) Æ(u;— 20), (0, — 0), 0, — 0, (u,+u— 2%),

AS J ÆEYf, EP, Vif, ESP), EN), ff, EME) Eo—=wy—o,), Æloitw—20,—%v,), Hoi+o—wy;—w,), (20; +w,— 253 —20,),

D CD Love VEN, OPEN) HO Y NL) OV EV ENV) Æ (oi + W, — 2w, — w,), : ; a Ds GT) DE (QYif + 2Yaf — 2Y,f — Y,f). ADR E 6, uw, Æ (wi — uw), Æ (y — Qu), Æ (1 — Bo), Æ (2m, — Zu»),

D =D he en de he dt Cl =)

Le théorème est vrai pour {—141 et [—92. Il suffit donc de démontrer

que S'il est vraipour U—=4,2,.x.,1p, “ilest vrai pour pue

5. Prenons d’abord un sous-système simple d'ordre {/— 1 >2 etdutype A). Un au moins des nombres &@,, au, ..., @&1, est différent de zéro. S'il y en a plus d’un, si par exemple Gay» 0, ona Andy = Aydatr < 0, d'où nu = Ge > 0;

il en résulte facilement àan = 4», y = 4y. Supposons

Ur == =, ire en > 0) an = An... = mn = $, Uni = ee = Gran = 0, A<h<1—1.

On voit d'abord que les cas de k et de /—h se ramènent l’un à l’autre, car si on prend 0 0 + Ant = +, — D MNT AU Vence on trouve Un == da = re = 0,1) — 0 CT 7 0:

(EE 1Ë 2 fi À ie er 1 na = na = ++: &,14 = P; RE (1

On peut donc supposer k > {—h, c'est-à-dire k > 2 Cela étant, en calcu-

lant le déterminant D, on trouve, par une combinaison facile de lignes et de

colonnes, DANIR UNS

kB 0 2 Lorsque À varie de : à Î[—1, le second membre croit de 2 — “28 à D — (1 — A)a8. J 4° 48—3. Alors (—1})D est au plus égala 3—7/; cette quantité n’est

Jamais positive si {>3; elle peuts'annulerpour /—=3, mais alors on a à faire une vérification déjà faite.

2° aB—92. Alors pour h—1l—1, (—1)D—72. On peut donc prendre

hkh—1l—1. Si a ——9; 8 —-—1, on retombe sur le type B); si x — —1, 8——2, on retombe sur le type C).

Si h—1—9, ce quiexige 1—2> D OU [> 4, ona (—1})D—8—021/. On peut avoir tout au plus D—0 pour {= 4. Dans ce cas, si a = —9, B——1, onaentre w,,w, m3 et w, la relation

y + Wa — 3 — 2, — 0 :

le sous-système (1, 2,4) est du type B) et fournit bien la racine 6, + w, — 24. Sionavait 4 ——1, $f——2, on aurait

Yif Yf — Y:f — ANT = 0 4 le sous-système (1, 2, 4) est du type GC) et fournit bien Yif + Y,f —2Y,f.

3° 43 —14. Alorson peut avoir À — [—1, ce qui donne le type A).

On peut avoir aussi h=1—2 ([>4); alors (—1ÿD—4, ce qui est toujours possible : on retombe sur le type D).

On peut avoir h="1—3 "(1 6) ; alors (—1ŸD —=S—1>05-Si 1—6,7,8, on retombe précisément sur le type E). Si {—9, on a entre Wj, 62, .…, &, la relation

Enfin on pourrait encore avoir h—=1—A4(1>8), car alors (—1)D—2(8—1),

ce quiexige {—8, D—0. Onaentre w,,u,...,w, la relation D + 09 +0 +0, — 0, — 0, — 0, — 20, = 0;

CARTAN 10

74 E. CARTAN mais le sous-système (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8) est du type E) et fournit bien la racine

Le théorème est donc démontré dans le cas où il y a un sous-système simple d'ordre /—1 et du type A). On voit de plus que dans ce cas le système est équivalent à un système du type A), B), C), D) ou E\.

6. Supposons maintenant qu'on parte d’un sous-système d'ordre /—1>72

du type B) :

GT Ut À CE = D © VEN EEEELF RER ER RE Er 2 Si on supprime l'indice {—1, on a un sous-système (1, 2,...,/—2,1) qui

pourrait être composé; on aurait alors

= 0e an Ua ne UE

mais en prenant — w/} = + Qu, pa0 y, —Yf = Vif + &,rY nf, il n’en serait plus ainsi. Supposons donc le sous-système (1, 2,...,/—9,7/) simple. Comme il admet un sous-système (1, 2,...,/—2) du type A), c’est qu'il peut être supposé du type A), B;, C), D), E) ou G). S'il est du type A), on retombe sur un cas déjà traité, et le système total est lui-même du type B). Supposons donc que le soussystème . (1,2, .…., [—9,7/) soit de l’un des types B), C), D), E) ou G). Alors il existe un nombre entier À (1 Lh<1—9V), tel qu'on peut supposer

TE GC dpi = = Ga, = 0,

An = la =... = Am = $, Q,nxa = + = Q,12 = 0,

« et 8 étant deux nombres négatifs tels que «8 —1,2ou 3. De plus on aura

nd, 1-4 a, = ur, 14 0,

c'est-à-dire 264 à, — AU, 71 > 0.

Cela étant, le déterminant D est donné par

BA pes D æ

170 h | D 0 a h [— h — 2 DLL RB 0 y, a 2

1° Le sous-système (1, 2, ...,/— 92, !) est du type B). Alors h = [— 2, D 2 PAG; rt ON trouve

(AND = 4— radin — (l— 24 + Vu os + Dar + Qi, 11-41).

Si @,rn = sr = 0, (—1)D est du signe de 3—7{, c’est-à-dire est toujours négatif, à moins que / = 3, auquel cas o,, 6, w, sont liées par une relation déjatexamimée Sie, 2 = 04, — dd, Mon. à «(—1}ŸD —85—7J. Il faut l— 3 ou 4 pourque (—1)D>0; mais alors si /{—=3, on a un système dutype/G), "si = 4;--on a le type F). Enfin si {—5, D—0:; on a la relation 4 — 3 + 3 — 2w, 2w, — 0;

le sous-système (2, 3, 4, 5) est du type F) et fournit bien w, + 63 — Qu, — 2w,.

2° Le sous-système (1, 2, ...,[—92,/) est du type G) (1> 4). Alors RQ, a = —41, = —2, din Ada 10 Par Suite

(—1)D = 4(3 — !) <LO; ce cas ne peut pas se présenter. 3 Le sous-système (1, 2, ..., {— 9,1) est du type D) (/>3). Alors EN CE PS OR

Dei, 0, onal | 1)D— 257) <0%. on ne peut. avoir que. l=5, et alors D—0; mais la relation entre wi, w,, .,.,w. ne contient pas w3. Si au contraire &z1,,—=—14, onaencore D—0, et la relation entre les racines

ne contient pas wi.

4° Le sous-système (1,2, ...;, [—2,1) estdutype E) (1 = 7, 8,9). Alors AU 3%; D — 1; li = a,r 0 et

(— 1)D —= À — Ga?;, == 2(1 = 4) | + A, 11 ; le second membre est toujours négatif, que a, soit égal à O0 ouà —1. 5° Le sous-système (1,2, ...,/{— 9,7) est du type G) ({ —3). Alors il y a deux cas à distinguer.

a. RL 013, À, Val, 8 aa = et =D = — 9, ce qui est impossible.

b. RU, = A1, DS, ya Oui, — 0; el — D = — 2,

ce qui est encore impossible.

La discussion est donc terminée dans le cas où on à un sous-système simple d'ordre /—1 et du type B). Nous voyons de plus que dans ce cas on peut toujours en prenant convenablement v, faire en sorte que le système total soit du

hype B) pour l quelconque, CG) pour l=38, ou F) pour l—4.

76 E. CARTAN

7. Supposons maintenant qu'on parte d'un sous-système d'ordre /—1 et du type C). Il suffit de répéter ce qui vient d'être dit dans le paragraphe précédent, en changeant partout a;; en a;; les types B)et C) s’échangent, les autres types restant équivalents à eux-mêmes.

8. Supposons maintenant qu'on parte d'un sous-système simple d'ordre / —1 et du type D):

Gi, = —2, dj ii doi Pt RU à) (DETTE A QUES)

Alors l’un au moins des sous-systèmes (1,2,...,/—3,{—1,1) et (4,2,...,/—3, 1—2, 1)

est simple ; supposons que ce soit le second. Comme il admet un sous-système simple (1,2,...,/—92) dutype A), c'est qu’il peut être ramené à l’un des types A), B), C), D), E). Les trois premiers cas nous ramènent à des problèmes déjà traités. On peut donc supposer que lesyslème (1,2, ...,/— 9,1) est du type D) ou E). Alors l’un au moins des nombres 4y, dy, ..., 4, estnul,et /—24 au moins

d'entre eux sont égaux à —1. Sionavait @ 2, =0 et ay; =—1, en prenant OÙ = 07 — 6j + W72 = 081872, on obtiendrait un système équivalent : a; garderait la même valeur (+ étant différent de 4 et de !{—2) et ay =0, a2,1 = —1. Supposons donc &»=—1. Si alors on avait a1,,—0, avec par exemple

au = 0, en prenant 6 = 6, — w,2 + 01 — w/S72S,, rien ne serait changé sauf qu'on aurait ay ——1; d;—=0 4%; "1; "sie système 219") était du type D), le système (1,2,...,1—3,1—1,!) serait maintenant du type À) et le problème aurait déjà été résolu; si le système (1,2, ..., [ — 9, [) était du type E), le système (1,2, ..., [—3,1—1,1) serait maintenant du type D), ce qui nous ramène au cas précédent.

On peut donc toujours supposer &i2s = Ga = Gy2 = Ur1 = —1; de plus An =" = y = 0, EP — 4) UT 0: nya — = Ur = — 1°

h étant égal à 1 ou à 2, et dans ce dernier cas /— 7,8 ou 9. On a alors hR+1 l—h—3 2 0 h [—h—2 2 A h [—h—3 2 1 0 l—h—3 2 2

= AA — à) < 0.

On ne peut avoir que h—1, etalors D —0: w,,w;,...,w, sont liées par une relation qui ne contient pas 62, 63, ..., 7; (> 5), Cas à exclure.

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS gi

Nous n'obtenons donc rien de nouveau.

9. Supposons maintenant qu'on parte d'un sous-système simple d'ordre l— 1 = 6, 7 ou 8 et du type E):

dj = — 2, dj = "À, SAUT ae T0 ii = pare 0;

eau mL CE Ul )

Si le sous-système (1,2, ...,{—9,7) était composé, alors 4,0; en prenant & = 81 = 0 + eus, Vif = Yi = Yf + @raraf, il n’en serait plus ainsi. Supposons donc le système (1,2, ..../— 92,1) simple. Comme il contient un sous-système (1, 2, ..., [—2) du type A), c'est qu'il peut être ramené à l'un des types A), B), G), D) ou E). Les quatre premiers cas nous ramènent à des problèmes déjà traités. Supposons donc que le système (4,2, ...,1—92,1) soit du type E). Alors deux des nombres @y, 4x, ..., &in,r

sont nuls et tous les autres égaux à —1. Si 4,3, par exemple étail égal à — A4 et a;—0, en prenant uw, —"—w;3;+u, on aurait @3,:= 0, ay = —1. On peut donc supposer que ce sont les deux nombres 4,3,, et &y2,, qui sont nuls, et tous les autres égaux à —1. Deplus &,,71 = 471, 0. On a alors [—3 2 l 1 [— 4 3 0 0 (— 1)D = = (2 + ap ,1]22— 4 — (1 — Las].

Si a1,,; = 0, le second membre est toujours négatif. Si 4,1, —=—14, ïilne peut que s'annuler pour /—7; alorsona

Di + Do + W3 — 0, — 0, —0, —0, = OÙ;

le système (1, 2, 3, 4, 5, 6) est alors du type E) et fournit bien la racine

DD 0 DE OPA

10. Supposons maintenant qu'on parte d'un sous-système simple d'ordre 4 et du type F):

dj = —2, aj—=—1, sauf a —=4,E= An = 4, —= — 9, Alors un au moins des sous-systèmes (1,2, 3, 5), (1, 2, 4, 5) est simple, soit le premier. Comme il contient lui-même un sous-système (1,2, 3) du type B), c'est qu'il peut étre ramené à l’un des types B) ou F). Le premier cas nous ramènerail

à un problème déjà traité. Supposons donc &;=d;=—2, == Qi; Gi 4:

18 E. CARTAN

On a alors

Qulisdia = Andy (O}.

C'esta-dirée ta, — a, /<0. Sil'on avait as = 1e sous-syslème (1, 3, 4, 5) serait du type C), cas déjà examiné. Supposons donc 4,, —4;, = 0: mais alors —D——%<0, ce qui est impossible.

11. Supposons enfin qu'on parte d'un sous-système simple d'ordre 2 et du

type G) :

Uyy = Un — — 9, Dia a An = — L.

Alors l’un au moins des sous-systèmes (1, 3) et (2, 3) est simple, soit le premier. Il est de l’un des types A), B) ou G); le troisième cas seul est à examiner ;

dysly = 3.

Supposons d’abord as=—3, ay ——1; alors &G3 ap <0, et (— 1)D = —2(2 + 43)(1 + a) < 0.

Supposons en second: lieu as ——1, ay = —3; alors ax — Jay = 0 et —D——4<0, ce qui est encore impossible.

Toute cette discussion démontre le théorème que nous avions en vue, eten outre justifie le théorème XI du chapitre précédent.

42. Il resterait encore à démontrer que parmi tous les systèmes simples trouvés, il n’y en a pas deux qui soient équivalents. Or, considérons le nombre des racines fournies par les systèmes en question.

Le système À) fournit {l+1) racines, [>1; — B) — 22 — 1529) — C DIE = LE:

— D) — 21(1—1) — [> 4; — E) — 72 — 0; Æ — — 126 —— LEE — — — 240 — PES = F) — 48 — =; G) — 12 — LES

Comme deux systèmes équivalents fournissent le même nombre de racines, il ne pourrait y avoir doute que pour les systèmes B) et C), dans le cas de L > 3, et pour les trois systèmes B), C), E), dans le cas de ! — 6.

Or le système E) jouit de la propriété que l’on a, pour toutes les valeurs de à et dej, a; = a, C'est-à-dire que les Y,f s'expriment au moyen de Yif, Y:f, …., Yf de la même facon que les w, au moyen de w,, w2, …., w,y, et avec les mêmes

coeflicients ; il en sera donc de même quelles que soient les { racines indépendantes que l’on choisira ; or ce fait ne se présente pas pour les systèmes B) et C); donc il ne peut pas y avoir équivalence entre B) et E) ou C) et E).

Remarquons maintenant que si on cherche celles des racines fournies par le système B) qui sont la moyenne arithmétique de deux autres racines distinctes, on en trouve 2{, à savoir (w;— w,), uw. Sion fait la même opération pour le système C), on en trouve ({—1}{{+2), àsavoir uw, —(w—w)), L(w;+w;—uw). Comme les deux nombres 2 et ({—1)/+92) ne peuvent être égaux pour {> 3, il est bien clair que les systèmes B) et C) ne sont pas équivalents.

43. M. Killing a mis les racines des systèmes B), C), D), F) sous une forme très symétrique, que je vais indiquer (.

Lu, les 2/

Prenons d’abord le système B). Si nous appelons wi, …,

racines que nous avons considérées tout à l'heure, à savoir : Ok == ES (OZA «} = (7; (a = 1 2) ….., Ü— 4),

et de même Y'f, ..., Y/f les transformations qui leur sont associées :

Vif = 2Yf — Yif, NA = UV, (tee LEA), les racines et les transformations qui leur sont associées prennent la forme Æ wf bu \ : :

B DE eh HÉROS AP NET e

Si nous passons au système C), il suffit d'échanger les w et les Yf du système B), ce qui donne les racines et les transformations sous la forme

{ Æ w! Æ w} | +Eu =, es C) ) CES UMTS NO Le EN), SD sense Pour le système D), si nous posons W; = w! + w!, V4 = 01 + Of, Wy = — W}1 + 0, ÉRAUR Ne de. DUR ie

les w’ ne désignant plus des racines, nous obtenons la forme suivante :

D) ns Gi; 4i=19,...,0 Mahé pie

(4) V. Ki, Z. v. G., II, p. 38, 39, 46.

80 E. CARTAN

Pour le système F), nous pouvons obtenir deux formes également symétriques. Posons d’abord

OÙ = WU — W3,. Op = D — 3, w!, — W3, WU — y + W2 — 3 — 2w,,

= ff, VV, Yf= Yo, Vif = Diff —Yf—2Y

alors les racines et les transformations se présentent sous la forme

! / ! Wi L w, À @> + wo, + 0),

| à 1 ! * NE ee

ME rl 202)

NN er. EVENE EN 9 j 9 ?

F) | vf,

Si on échange les w et les Yf en échangeant en même temps les indices 4 et 3,2 et 4, ce qui reproduit le système, on obtient la forme suivante :

/ 2m) men Eee Eu, | — w;, 9 — 3 9 , F) ÿ iZj; i,j —=1,92,8,4).

ne te sp res Pen ae | EPS NÉE, NT, \ Z

Enfin on peut aussi pour les systèmes E) et G) donner aux racines et aux transformations qui leur sont associées une forme très symétrique. Prenons d'abord les systèmes E). Si on pose

W,= + 0 2 HO), Wa Vo — 0, M4 0j —UW, WW, 2 +0 +, VV EN ff, Vif, VER, YEN if,

on obtient les racines et les transformations sous la forme

w—w, Eloi+o;+of), E{oi +, + uw, + + 0h), (wi +! ++. +w$). À VEN, HOT NIL) OPEN ENV) ONU YU)