SYSTÈMES D'ENTIERS SIMPLES D'ORDRE /. — (GROUPES SIMPLES

DE RANG l.

4. Ce chapitre est consacré aux calculs que j'ai indiqués dans le chapitre précédent.

Nous avons d’abord à déterminer tous les systèmes d’entiers a;; simples non équivalents d'ordre {. Cette détermination sera simplifiée par la remarque déjà faite (IV, 9) que tout système simple d'ordre p contient au moins un sous-système simple d'ordre p—1; si donc on a déterminé tous les systèmes simples non équivalents d'ordre p—1, on n’a plus, pour chacun d'eux,que 2(p —1) entiers à déterminer de façon à satisfaire aux conditions du théorème X (IV, 8). Nous aurons ensuite, d'après ce qui a été dit au chapitre précédent (IV, 10) à déterminer 2{(p —1) entiers nouveaux de manière que le déterminant total soit nul et à vérifier que l’une des p nouvelles racines peut s’obtenir au moyen des p—1 autres.

Commençons par les valeurs les plus simples de p.

Pour p—1, ïl n'y a qu'un système au — —%, qui fournit les deux racines + eu.

Partons de ce système et cherchons d’abord à déterminer avet a, de manière

que le déterminant 1422 — lyolay —= À. — joln = 0;

ifaut SOI == 9 Soit 0e = lo EPP OU, 0e 71.

Les deux derniers cas donnent soit uw, —Æ2w,, soit w = + 2w,, cas à

exclure. Il reste w, — Æw,; on ne peut donc pas avoir d'autre racine que «1. Déterminons maintenant a; et 4 de manière que

O <'Aiar — yon << 4 et que le système d'ordre 2 obtenu soit simple; alors il faut aa = 1, 2 ou 3.

Comme on peut toujours changer au besoin «w, en —w,, et aussi échanger w, et w,, on voit qu'il y à trois systèmes simples d'ordre 20) :

(1) Kizue, Z. v. G., IL, p. 25.

| 1 di = (a = — 2. dia —— oi ES — 1; DB TE Os — Ag =" 9, An = — 1; ( = — — DA A = —3, Lay — — À.

Ces trois systèmes donnent en effet chacun un nombre fini de racines, qui sont :

1 How, Hw,, Æ(w, —u), auxquelles sont associées NS CU Ne 2 Lu, Luw,, Æ (uw, — uw), + (w, —Iw,), avec HV, VS, HV), EN ff); 3 Lu, Lu, EE (oi—uw), Æ (oi — us), Æ (4 — Bu), Æ (Lui — Zu);

ÆEYaf, HVaf, (3 Yaf—Yof), BV LV of), Vif Ya f), HV —Vof).

2. Prenons successivement chacun des systèmes que nous venons de trouver et déterminons &3, G3, 4, Aw, de manière d'abord que le déterminant D obtenu soit nul, ensuite qu'il soit compris entre Ô et —8.

a. Si nous prenons le premier système, nous aurons

D = — 6 +303 + Lisa — Goslas — Ayollis.

Si nous voulons d’abord que ce déterminant soit nul, nous pourrons toujours supposer par exemple Gisdss < Goal.

Sat — 0, Cest-à-dire a. = 4 — 0; -ilfaut 043 = 73,0 eéton peut toujours supposer, en changeant au besoin w, de signe et les a;; en a;, ce qui importe peu pour notre vérification, que Gr =—3, 433 = — 1. Onen déduit un = 2w— 3w3, et les racines «w,, w, forment le troisième système simple d'ordre 2 (form. 1) qui fournit bien 2062 — 303.

Si auau —1, c'est-à-dire as — an —= —1, il faut que

= Lys + U23 + Ag — À = 0, ce qui exige, dy = 1 ou 3; la première hypothèse seule est admissible et donne &G»3 = 4» —1. Ona alors w3 = wi—w,, racine qui est bien fournie par w, et uw.

Si dau — 2, c'est-à-dire par exemple as —=—2, ay = —1, il faut

D = 2433032 + dns + Zap —2 = 0, d'où az —"#©2, ay = +1, ce qui n’est pas possible.

Si enfin Guüu — 3, c'est-à-dire par exemple &as—=—3, dan = —1, il faudrait 4»:4» — 3, d'où

c'est-à-dire @3 = —3, ay —= —1. Alors w,+w;—3w, — 0, et «2, w, fournissent bien 3w;—w,. Sion avait pris @s =—1, ay = —3, cela conduiraità Yif+ Y:f—3Y;3f — 0, et la constatation à faire serait la même.

b. Si nous prenons le deuxième système, nous aurons

D = — 4+ Dasan + Daasda2 — Aisllyn — Darslas

Nous pouvons toujours supposer qu'aucun des nombres sn, Gsüy n'est égal à 4, sans quoi on serait ramené au cas a. On voit que, pour que D soit nul, il faut que a;;ax soit pair.

D'abord si l’un des produits aysdy, Gay est nul, l’autre est égal à 2, ce qui donne quatre cas possibles. Deux de ces cas donnent pour une des racines le

double d'une racine fournie par les deux autres. Le troisième : as; =—2, du = — 1, y; — dy — 0, donne w3 i—uw2, racine qui est bien fournie par w,, w ; le quatrième : au = dy —0, G3——1, ay ——72, donne égale-

ment une racine w3 — 206; —uw, fournie par wi, w.

Si aucun des produits Gisdy, dy, n'est nul, ils sont égaux à 2 ou à 3, mais l’un au moins est égal à 2. On vérifie facilement qu'aucun de ces cas ne peut se présenter.

c. Enfin si nous partons du troisième système d'ordre 2, il vient

D = — 2 + Dastsr + Disdyi — Gisds2 — Brass, eton peut toujours supposer que les produits &s4n, Gp sont égaux à 0 ou à 3. Aucun de ces cas n’est possible.

Nous avons donc déjà trouvé tous les systèmes simples non équivalents d'ordre 1 et 2, et démontré que si trois (ou deux) racines sontliées par une relation et une seule, l’une au moins de ces racines peut être obtenue au moyen des autres,

3. Passons maintenant à la détermination de tous les systèmes simples non équivalents du troisième ordre. Ici nous pourrons utiliser la relation qui a lieu entre trois racines indépendantes (IV, 8) : :

Ui2023%3 — Anidyi3.

U suffit de prendre chacune des trois valeurs de D trouvées dans le para -

graphe précédent et d'écrire que D est négatif et supérieur ou égal à —8. Je ne

retiens de la discussion que le résultat suivant. On a D = —8 + Laysay + Layidis + Daily + Lardasay.

Il faut nécessairement que asasay < 0%; sinon chacun des nombres @3@3, Unis; don, Gold Serait au moins égal à 1, et D ne serait pas négatif. On peut

(1) Cette remarque essentielle n’est pas faite par Kizuine,

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS 11 alors, en changeant au besoin le signe d'une racine, faire en sorte que tous les entiers 4;; associés aux trois racines indépendantes 4, w,, w, soient négatifs.

4. Je dis maintenant que dans le cas général, on a le théorème suivant :

Théorème 11). — J'out système d’entiers simple d'ordre l'est équivalent à un des

systèmes des cinq types suivants :

AR ae 0 = — 1, (27) 17 = 4,2, ...,l); DIN — 2, di —1, auta= 2) (1-1; 4,1 —=1,9;,,., 1): G)1>3: a =—92, aj—=—1, sauf ax = —2, (iÆj;i,j —=1#,9,...,1); (2) D 2 = rsaut = 0, (0, = 1:2,:..,1); BEC ST ou 0 4} 1, Sault rares — dire, 0; MP m2 0 d'sautds = 0, = 03 04,, 12; | G)l=2: au = an = —2, ay = —3, ay = —1.

Ces systèmes donnent respectivement naissance aux racines suivantes, avec les transformations qui leur sont associées :

. Æ 6, Go; RS D D v 5,4) —1, 24; ...,1).

Lors vf. Yf—Y, EST HE Wis a O7, Dj — WU, = (w; — 2u,), SE (y == w;), ne (w; + U; = 2w,), (>2)£ EYf, EYf, Yf—Yf, E0T—-Yf), EOÉ-Nf), EVÉHYT Vif)

GHj;ij=1,2,...,1—14).

0j, 0, m— 0), E(w;--w,), Æ (0 — Qui), E (w;+w; —w)),

Gijiij=1,9,...,1—1).

v); DS 6);

RTE EE SLT = LIT

(1) Kuwe, Z. v. G., IE, p. 33. M. KicuG indique un autre système simple d'ordre 4, loc. cit., p. 30; mais les deux systèmes qu'il désigne par les notations IVE) et IVF) sont manifestement équivalents.

(2) On peut remarquer que le système du type B) d'ordre 2 pourrait aussi être regardé comme du type C).

Vif, Vif, Vf Ni, ENT —-NI), ET), ENTHYf— if),

is = Os Dir ;, =. (wo; — w), me (op uw); se (wi at CEE ont w}),