O1 + W +0, — VEN EN

14. I s’agit maintenant de voir si à chacun des systèmes que nous venons de trouver correspond un groupe ou plutôt une structure de groupe. Nous allons examiner successivement tous les systèmes.

Prenons d'abord le type A) avec les {(l+1) racines —uw;, w; —w, (, 3 = 1, 2,.., /). Nous appellerons X:f la transformation qui appartient à la racine &;3; Xof, X;;f celles qui appartiennent respectivement aux racines

Ye

En appelant toujours Y;f la transformation du sous-groupe y associée à w;, nous aurons

(VX) = — 2Xf, (VXo) = 2Xoif, PS CE (TX) use (YX ;:) — Xe 14 (XX 5) — Yf —Y;f, (VX 0) = — X»f, (EX) = Xojf:

Nous aurons ensuite des égalités de la forme (X0X0x) = XX - En combinant successivement les deux membres de cette relation avec Xvf, Xx0/, Xxf et tenant compte des identités de Jacobi, il vient

Xi XX 7) EE X:0f; A(XoiX:x) HT Xoxf, Xi Vif — Yxf) RE Yf + Ver, ou }uhpi = — (|.

On peut toujours prendre arbitrairement tous les À4 pour lesquels ?<[#k, alors tous les autres sont définis ; par exemple

Ne — À, si QE \x = — 1, si 1 Changeons alors les signes de X,f et de Xyf (i <k);, nous aurons (XioXox) = Xn/, XX) = Xiof; oki) = Xor/; d’où, facilement, (XaXx;) = Xif.

Si enfin nous posons Yf — X,,/{ — X:f, nous voyons que tout peut se résumer dans les formules (XXe) = Xaf, (KaëXge) = Xarf — Xspf Ge, Gubve= 04024"),

CARTAN A

les crochets non écrits étant tous nuls (.

D'ailleurs les formules (3) définissent bien un groupe : il suffit de prendre of.

One comme les X;f n’entrent que par leurs différences X;/— X;;f, on a ce que M. Lie appelle le groupe linéaire homogène spécial de l'espace à /<+1 dimensions

DDR Li) On voit de plus que les groupes simples de rang l qui admettent comme système fondamental d’entiers a;; un système du type A) ont tous la même structure. [Ms ont

{+ 2) paramètres.

15. Groupes simples admettant un système fondamental d'entiers du type B). ([> 2). Nous avons vu ($ 13) que les racines et les transformations qui leur sont associées pouvaient se mettre sous la forme