U);, DE

Yf, Res be RS M eh avec D+uw = w + 0; = 0, NE = EN EU, CE) Appelons X:f et 2X;0f les transformations qui appartiennent respectivement aux racines w;, et —w; (10), X;f — —X;f celle qui appartient à la racine w;—+w; (1, j quelconques). Enfin posons Yif — 2X;f — —9X;;f. Alors on a, pourtoutestlesialeurs RE -imdes indices pitezpa) (XX) = X/, (XX ») = 0, (X:X;;) = — Dee (KoXo) = Xirf, (RXrr) = Xif + X;j;f.

Posons (XX 0) = XX jf,

et combinons les deux membres avec X;;f; il vient

Ko(XoXs)) — (Ko KoXs) = HAXaf + Xyf), d'où (X;Xi';) —= ÀXi0f : (XX; ;') = — XX of - La première de ces deux égalités, combinée avec X;,f, donne alors

Xjhij' — 4

Comme on peut toujours, des deux transformations X;f, X;;f, définir l’une par la condition À;; = 1, on voit que toutes les constantes };; peuvent être supposées égales à 1, et par suite

(XX 0) = Xi (XjX;) = X0f, (Xi Xio) = X jf.

———————————]—” —Z—ZE (4) C£. Kizuine, Z, v. G., Il, p. 42.

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS 83 On en déduit (XX x!) = (Xo(X 5 Xx5')) = (XX 0) Au:

On vérifie facilement que cette dernière formule est valable, même si l’un des indices 1, 7, # est nul, à condition de supposer X6f/ = —Xf, quelles que soient de plus les valeurs des indices 4, 7, k, pourvuque i+#k nesoit pas nul. Finalement la structure est résumée dans les formules XX) = Xxf GX) = Xxf + X;;f, PARA ON nt) = IN 0 EU EE 2 EX 0):

Les groupes simples de rang L qui admettent un système fondamental d’entiers du type B) ont tous la même structure, celle qui est déterminée par les formules (4). Ils ont (2/1) paramètres (1.

Par exemple, on n'a qu’à prendre dans l’espace à 2/+1 dimensions (By Vi, Lu, .., y, œ >}; le plus grand groupe linéaire et homogène qui laisse invariante la forme quadratique L9° + 21 + Date +. + Da y.

Xaf = Lx — LP y.

16. Groupes simples admettant un système fondamental d’entiers du type G). Si [>3 désigne leur rang, ils sont encore à /(2/+1) paramètres. Les racines et les transformations qui leur sont associées peuvent se mettre sous la forme

4 !l &;, RO CU NEA EE ARE RE) Yf, Yf + Ve yes uw; + w — 0, Yf + Yrf = 0, TE

Soit aX;f = eX;f la transformation du sous-groupe y qui est associée à la racine w,, <; étant égal à +41 ou à —1 suivant que à est positif ou négatif. Soient de plus X;f, X;»f, X:f, Xr;f les transformations qui appartiennent aux racines uw, —0) wj+w;, —w—v;, et élant maintenant positifs, et enfin X;;f où —X,;;f celle qui appartient à w,—w;, suivant que le nombre positif à est plus grand ou plus petit que le nombre positif j. Alors on aura les formules suivantes :

(XX) = — 2aX if, XX) = — Xi, (XXe r) = EX (XXr;) EX f + Xl ME OTl=2 nel)

EE — (1) Cf. Kizue, Z. v. G., IL, p. 42.

84 E. CARTAN

Nous aurons ensuite des égalités de la forme (6) (XX) = XX .

En combinant les deux membres avec X;/f, on en déduit

(7) Mu x; (XaXix') = 2x ; puis, en combinant avec X;/, (8) Ki = — 1° Or on peut toujours, étant donnés deux indices positifs quelconques + et #, remplacer X3f par oXaf, X:xf par oX;xf, à condition de remplacer en même . 1 1 temps Xxf par — Xyf, X:xf par — X:yf. Alors À; et 1x sont remplacés par g p ©) 1 . É L Ale — À et — Àx;, par suite on peut déterminer p et s de manière que À = 1m —1.

Alors les formules (7) et (8) donnent d'une manière générale (9) (Kaki) = EXif, (Kaki) = 2exX if ; et on peut encore, si l’on veut, changer de signe les quatre transformations X;f, Xxf, Xsf, X:xf- Cela étant, posons (40) KaX je) = LijXif = — in X if.

En remplaçant successivement dans cette formule X;f par s{X:X;x) et 2x(XuXix},

il vient À x = kr = —= Àijx' = À je

Il résulte de là que la quantité ex; ne dépend que des valeurs absolues des indices 1, j, k, et ne dépend pas de l’ordre des indices à et j. Si nous combinons alors (10) avec X;;f, il vient E;À jki — Spy — Exhijre Enfin combinant (10) avec X;,f, il vient es je pige SL Donc la quantité :;%;; ne dépend que des valeurs absolues des indices à, j, 4, mais nullement de leurs signes ni de leur ordre ; de plus cette quantité est égale AR LOT ET Enfin l'identité de Jacobi relative à X,,f, X;f, Xixf donne À ji jet — À 55 ri »

égalité qui prouve que toutes les quantités xhijxx Sont égales à +1, pourvu qu’il en soit ainsi pour les quantités X;1 (à, j positifs; à < j). Orétant donnés deux indices à, j positifs différents de un, on a CPOESS X;jf

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS 85 il suflira de changer au besoin le signe de X;,f, ce qui entraine, comme nous l'avons vu, le changement de signe de X;f, X;;f, X»yf, pour que 4 soit égal à 4. Alors nous aurons la formule générale

(11) (XX jt) = SX if:

Les formules (5), (9), (14) définissent une structure et une seule : (X ij* Xx) = er FX inf »

(12) “re ih x — NX yxf + Xi]; | (X; == = 2 X5); (X:X#:) — XET or th eo 2 NET)

Les groupes simples qui admettent un système fondamental d’entiers du type ©) ont donc tous la même structure. Comme exemple, on peut prendre dans l’espace à 2/ dimensions APE AU SE PT EE Xl = LiPr ct SL xpir, mi 0, UE k).

C'est le plus grand groupe linéaire et homogène qui laisse invariante l'expression

de Pfaff Pa y —— L'aUT + TL — 2 200 + + LL y — 2 jdM.

47. Groupes simples de rang Ll > 4 admeltant un système fondamental d’entiers du type D). Ils sont à /(2/— 1) paramètres. Les racines et les transformations qui leur sont associées peuvent se mettre sous la forme

CRE DER EN I M tes Ve ee

Yi + Yi, Nous poserons Yf—= X;f — —X;;f et nous appellerons X;f = —X;f la transformation qui appartient à la racine w;+w,. Alors on a déjà 13) (XX x) = — Xaf, (Xakve) = Xif + Xyx'f.

Nous pourrons ensuite poser 14) (XaX x) = XX if.

On en déduit immédiatement 15) gr = ji.

En combinant les deux membres de (14) successivement avec X;;f, Xoxf, Xiwf, Xf, il vient

7 die = hp = Mrj'is