SUR LA

LINE RIODILCSEEON

La notion de la structure d’un groupe de transformations fini et continu s’est présentée à M. Lie dès le début des recherches qui ont amené le grand géomètre norvégien à fonder sa théorie des groupes, théorie qui, par sa fécondité, a renouvelé pour ainsi dire plusieurs branches de la science mathématique. Dans sa méthode de résolution des équations algébriques qui admettent un groupe de substitutions donné, Galois ramène le problème à la résolution d'une série d'équations auxiliaires dont le nombre et la nature ne dépendent que de la structure du groupe de substitutions considéré. De la même façon, M. Lie ramène l'intégration d’un système d'équations aux dérivées partielles qui admet un groupe de transformations fini et continu à l'intégration d’une série de systèmes auxiliaires, et le nombre de ces systèmes, leur nature, la manière dont ils se relient les uns aux autres ne dépendent encore que de la structure du groupe considéré. D'une manière analogue encore, la théorie des équations différentielles linéaires fondée par MM. Picard et Vessiot ct plus généralement celle des équations différentielles qui admettent un système fondamental d’intégrales, mettent en évidence l’importance de la structure des groupes finis et continus.

Le problème proprement dit de la structure des groupes de transformations finis et continus pourrait s’énoncer ainsi : 7rouver toutes les structures possibles des groupes à un nombre quelconque de paramètres; dans cet ordre d'idées, M. Lie a déterminé, en 1874, toutes les structures des groupes à un, deux, trois et quatre

paramètres. Mais, à s’en tenir là, on n'aurait qu'une vue imparfaite de la question, etilest clair que le travail précédent n’est possible et n’est utile que si on connait au préalable un certain nombre de lois générales permettant de guider les recherches. C'est ainsi que M. Lie a depuis longtemps (), par des considérations tirées de sa théorie d'intégration des systèmes d'équations aux dérivées partielles, classé les groupes en intégrables etnon intégrables et donné le moyen de reconnaitre si un groupe donné est intégrable ou non. Parmi les groupes non intégrables, il y en à qui jouent un rôle prépondérant, ce sont ceux que M. Lie a appelés simples; il a en effet montré que les systèmes d'équations différentielles auxiliaires auxquels se ramène l'intégration d'un système d'équations qui admet un groupe fini et continu sont des équations à groupe simple ®); aussi a-t-il déterminé toutes les structures des groupes simples d'ordre » dont les plus grands sous-groupes sont d'ordre r—1,r—2 ou r—3(%), etplus récemment, en utilisant un travail de M. Page (), celle des groupes simples dont les plus grands sous-groupes sont d'ordre r—4. M. Lie a en même temps indiqué quatre grandes classes de structures de groupes simples, celles du groupe projectif général à n variables, du groupe projectif d'un complexe linéaire à 2n —1 variables et celles du groupe projectif d’une surface du second degré à 2n et 2n—1 variables F.

Peu de temps après, M. Engel publiait dans le Leipziger Berichte, quoique dans un ordre d’idées tout différent, deux Notes relatives à la structure des groupes. Dans la première de ces Notes (Leipz. Ber., 1886, p. 83-94), il rattachait le problème de la structure à la théorie d’une certaine forme trilinéaire ; dans la seconde (Leipz. Ber., 1887, p. 89-99), il énonçait un théorème très intéressant donnant comme condition nécessaire et suffisante pour la non intégrabilité d'un groupe l'existence dans ce groupe d’un sous-groupe simple à trois paramètres, théorème dont il a donné tout récemment une démonstration rigoureuse (5),

La question en était là, lorsque M. Killing, qui avait déjà publié deux mémoires sur la théorie des groupes (), fit paraitre dans les Wathematische A nnalen ® une série

(1) Comptes Rendus de l'Acad. des Sc., Christiania, 1874; Archiv for Math. og Nat., 1878, t. 3, p. 112-416.

(2) V. notamment Math. Ann., t. 25, 1885, un mémoire de M. Lx, ayant pour titre : Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen, die eine continuirliche, endliche Gruppe gestatten.

(3) Lix, Acad. des Sc., Christiania, 1883 ; Math. Ann., t. 25, loc. cit., p. 132-134.

(4) Leipziger Dissertation, Amer. Journal, t. 10 (1888).

(5) Math. Ann., t.25,p. 130 (1885); Norw. Archiv, t. 10, p. 413 (1885); Leipz. Ber., 1889, p. 325,

(6) Leipz. Ber., 1893, p. 360-369.

(D) Erweiterung des Raumbegriffes, Braunsberg, 1884, et Zur Theorie der Lie’schen Transformationsgruppen, Braunsberg, 1886.

(8) Die Zusammenselzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ; erster Theil, Math. Ann., t. 31, p. 252-290 (1888); zweiter Theil, Math. Ann., t. 33, p. 1-48 (1889) ; dritter Theil, Math. Ann., t. 34, p. 57-122 (1889) ; vierter Theïl, Math. Ann. t. 36, p. 161-189 (1890).

de travaux étendus riches en résultats nouveaux. M. Killing y utilise la notion d'équation caractéristique d'un groupe, due d’ailleurs à M. Lie, et en fait la base de sa classification des groupes d’après ce qu'il appelle leur rang. Les plus importants de ses résultats sont les suivants : À part les quatre grandes classes de groupes simples trouvées par M. Lie, il n'y a que cinq structures possibles de groupes simples, qui ont respectivement 14, 52, 78, 133 et 248 paramètres. En second lieu, {out groupe non intégrable est formé d'un sous-groupe invariant intégrable et d'un sous-groupe simple ou composé de sous-groupes invariants simples. Le premier résultat fait concevoir la possibilité d'établir tous les systèmes d'équations différentielles irréductibles auxquelles se ramènera l'intégration d’un système d'équations aux dérivées partielles admettant un groupe fini et continu; le second montre que, abstraction faite des quadratures, on n'aura à intégrer que des systèmes irréductibles indépendants les uns des autres.

Malheureusement les recherches de M. Killing manquent de rigueur, et notamment, en ce qui concerne les groupes qui ne sont pas simples, il fait constamment usage d’un théorème qu'il ne démontre pas dans sa généralité ; je signale dans ce travail un exemple où ce théorème n'est pas vérifié, et, quand l’occasion s’en présente, un certain nombre d’autres erreurs de moindre importance. I] était donc à souhaiter que les recherches de M. Killing fussent reprises et ses résultats démontrés d’une façon rigoureuse.

- C'est ainsi que dans une Thèse faite en 1891 sous la direction de M. Engel l), M. Umlauf reprend l'étude de l'équation caractéristique, démontre en toute rigueur un certain nombre de théorèmes énoncés par M. Killing, et fait spécialement l’étude des groupes de rang zéro ; il montre qu'ils appartiennent à la grande classe des groupes intégrables et détermine les structures de ceux de ces groupes qui ont moins de sept paramètres.

Le présent travail a pour but d’exposer et de compléter en certains points les recherches de M. Killing, en y introduisant toute la rigueur désirable. J'ai déjà annoncé, dans deux Notes présentées à l'Académie des Sciences ©), que j'avais retrouvé les résultats fondamentaux énoncés par M. Killing, et, dans une troisième Note publiée dans les Zeipziger Berichte ), J'ai indiqué à grands traits de quelle facon on pouvait rendre rigoureuse la partie des recherches de M. Killing qui se rapporte aux groupes simples.

(1) Ueber die Zusammensetzung der endlichen continuierlichen Transformationsgruppen, insbesondere der Gruppen vom Range Null, von Karl Arthur Umraur, Leipzig, 1891.

(2) Comptes Rendus, t. 116, p. 184 sqq. (1893).

(3) Leipz. Ber., 1893, p. 395-420.

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Ce travail est divisé en trois parties. Dans la première, je rappelle les notions fondamentales et les théorèmes nécessaires pour la suite, dont la plupart sont d'ailleurs connus depuis longtemps; puis j'expose la classification des groupes d'après M. Lie en intégrables et non intégrables, et je rappelle rapidement les propriétés des groupes intégrables et des groupes de rang zéro qui s’y rattachent élroitement. La considération d’une certaine forme quadratique (2) me conduit à un critérium nouveau pour l'intégrabilité d'un groupe.

La seconde partie est consacrée aux groupes qui n’admettent aucun sousgroupe invariant intégrable et que j'appelle semi-simples en utilisant une expression de M. Killing (halbeinfach). La considération de la même forme quadratique (4) donne immédiatement la propriété fondamentale de ces groupes de se décomposer en sous-groupes invariants simples, ce qui justifie leur dénomination. J'étudie alors les propriétés de l'équation caractéristique d’un tel groupe et montre comment M. Killing en déduit tous les groupes simples.

La troisième partie est consacrée aux groupes non intégrables. Je pars a priori de l'existence du plus grand sous-groupe invariant intégrable, au lieu de l'obtenir a posteriori et péniblement, comme M. Killing. Je démontre le théorème de M. Engel dont j'ai parlé tout à l'heure et énonce des résultats importants et nouveaux relatifs aux rangs des groupes dérivés successifs d'un groupe donné. La considération de la forme quadratique %.(e) me fournit, sans résolution d'équations, algébriques ou transcendantes, le plus grand sous-groupe invariant intégrable d’un groupe donné. Un chapitre est consacré aux groupes non intégrables de rang un. Enfin dans un dernier chapitre, j'étudie les groupes qui n’admettent qu'un sousgroupe invariant intégrable, groupes dont la théorie se lie d’une façon très étroite à celle des groupes linéaires et homogènes semi-simples ; en particulier je détermine tous les groupes linéaires et homogènes simples à n# variables qui ne sont isomorphes à aucun groupe linéaire et homogène à moins de x variables, détermination dont il est inutile de faire ressortir l'importance relativement à la réduction à des systèmes d'équations différentielles linéaires des systèmes d'équations aux dérivées partielles qui admettent un groupe fini et continu. Enfin, je dis un mot d’une question non moins importante, qui à fait l'objet d'un mémoire de M. Killing (, mais dont le développement m'aurait entrainé beaucoup trop loin, celle de la détermination des plus grands sous-groupes des groupes simples.

Qu'il me soit permis, en terminant, d'exprimer à M. Sophus Lie toute ma

(1) Bestimmung der grôssten Untergruppen von endlichen Transformationsgruppen, von W. KiunG in Braunsberg, Math. Ann., t. 36, p. 239-254 (1890).

reconnaissance pour l'intérêt qu'il à bien voulu porter à mes recherches. Il est presque inutile de dire que j'ai fait, surtout dans la première partie, les plus larges emprunts à son bel ouvrage sur la théorie des groupes finis el continus (1),

(1) Theorie der Transformationsgruppen, unter Mitwirkung von Prof. Dr. Friedrich ENGEL, bearbeitet von Sophus Lie, Leipzig. Erster Abschnitt, 1888; zweiter Abschnitt, 1890; dritter Abschnitt, 1893.