CHAPITRE I

GROUPES FINIS ET CONTINUS. TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES. GROUPE ADJOINT

4. Étant donné un ensemble de transformations de # variables 2x1, 2, ..., 4»,

dépendant de >» paramètres arbitraires à, &, ..., ar,

(1) D Dr Do es did ee nl

on dit que ces transformations forment un groupe si, en effectuant d’abord la transformation qui correspond aux paramètres &, @&, ...,4,, puis la transformation qui correspond aux paramètres b,, bd, ..., b, on obtient encore une transformation de l'ensemble (1), quels que soient les a et les b, en d’autres termes si l’on a des relations de la forme CR a RL a)ab be, 0) = flans rpm à es ee Ch CSS SRE

où les c sont certaines fonctions des a et des b : (3) Ce Gi An © ni Un, Dose bp}, CES ONE

Le groupe défini par les équations (1) est dit fini el continu.

2. Si dans les équations (1) on peut donner aux paramètres des valeurs telles

que l’on ait identiquement fifæ, a) = x%;, MEME on) on dit que le groupe contient la transformation identique. M. Lie a montré que, si les r paramètres sont essentiels, on peut trouver dans le groupe transformations infinitésimales (4) LIL + Ex(d, Dee Xn)Èt sets RL),

les termes non écrits étant du deuxième ordre au moins par rapport à la quantité

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infiniment petite à. Ces r transformations infinitésimales sont indépendantes, c'est-à-dire qu'il n'existe aucune relation à coefficients constants de la forme ET » Créxlt) = 0, (AE ne de plus le groupe contient toutes les transformations infinitésimales de la forme P group = x} her >; exexi(x). SE ». où (à — il, 22 BG. 00 n), | où les €, sont des constantes arbitraires.

ôf

Si on définit la transformation infinitésimale (4) par la limite du rapport =, où

dl f désigne une fonction arbitraire des x, on a àf (= 0) of (o] ; RUE CRD ST Laye ces nl 5 x] kil 1, , , 2) 0x; 1—1

Chacune des transformations infinitésimales Xe,X,;f engendre un groupe à un paramètre ; si on donne aux e toutes les valeurs possibles, on obtient ainsi un groupe de transformations à » paramètres essentiels, contenu dans le groupe (4).-

Les » transformations infinitésimales X;f, ...,X,f satisfont aux relations

amet IP

(5) (XX) = XX) — XX) = D cuXf,

S—1 où les cx, désignent des constantes.

Réciproquement, étant données r transformations infinilésimales indépendantes Xif, ..., X,f, satisfaisant à des relations de la forme (5), les groupes à un paramètre engendrés par les transformations infinitésimales Xe,X;f, où les e prennent toutes les valeurs possibles, forment un groupe à r paramètres essentiels.

Dorénavant nous ne nous occuperons plus que des groupes à 7 paramètres engendrés par r transformalions infinitésimales indépendantes.

3. Les constantes cx, qui entrent dans les formules (5) définissent ce qu'on appelle la structure du groupe engendré par les transformations infinitésimales X1f, ..., X,f, ou plus brièvement du groupe X,f, ...,X,f. Cette structure joue un rôle fondamental dans un grand nombre de questions, notamment dans la théorie de l'intégration des équations différentielles qui admettent un groupe fini et continu donné.

La théorie de la struclure est dominée par le théorème suivant, dû, ainsi que les précédents, à M. Lie :

La condition nécessaire el suffisante pour qu’il existe » transformations infinité-

SUR LA STRUCTURE DES GROUPES DE TRANSFORMATIONS FINIS ET CONTINUS il

simales indépendantes X;f, ..., X,f, satisfaisant aux relations (5) : Re À) s ; ee (5) COTEDICT OR UE LE Laon), Fe |

est que les constantes cy, salisfassent aux relations

Ciks + Cris = 0,

(6) (ekeCres UN CrnpCios 3e ChipCks) —= 0,

R—1 (MÉRSnd 2 t n obtenues en écrivant les identités de Jacobi ((KXx)X2) + ((KiX:)X;) + (XaX)Xx) = 0.

On aura donc toutes les structures possibles des groupes à r paramètres, ou,

plus brièvement, foules les structures d'ordre r, en résolvant de la manière la plus générale les équations (6).

Etant donné le groupe X,f,...,X,f, on peut tout aussi bien le définir par r transformations infinitésimales indépendantes Y:f, ..., Y,f:

er Yf F » hiX,f; ( ee 1 De ‘5 |, e—1

les À étant des constantes.

On à alors des relations an1logues à (5) :

(5') Er) — > dre dle (te ki = le 2, ONCUE) r),

où les y, sont déterminés par les relations

D—?" 1,2,-..0r (8) ; losJire > S | hélice, m—| ER

MARS 2 Er ri et vérifient nécessairement les équations (6). Il est clair que ces nouvelles constantes gx, définissent une structure qui n’est pas à considérer comme distincte de

la structure c;,. On pourra alors profiter de l’indétermination des r? constantes pour simplifier la résolution des équations (6).

4. Deux groupes d'ordre » qui ont la même structure sont dits isomorplhes, que le nombre de leurs variables soit le même ou non. D'une manière plus générale, étant donnés un groupe d'ordre #: Xif, ...,X,f, de structure cx,, et r

transformations infinitésimales, indépendantes ou non, Vif, ..., Y,f, satisfai-

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sant aux relations

(5) GX) = D caf, UNE).

SEA ces r transformations définissent un groupe qui est dit isomorphe au premier. L'isomorphisme est holoédrique si le second groupe est d'ordre r, mériédrique s'il

est d'ordre inférieur à r.

5. Étant donnée la transformation infinitésimale la plus générale Xe,X;f d’un groupe d'ordre 7, si l’on effectue sur les variables primitives et sur les variables transformées une même transformalion du groupe, par exemple la transformation infinitésimale X;f, on oblient encore une transformation infinitésimale du groupe, à savoir

TeiXrf + (ZerXr, XÔt +...

ou Xe;X;f, en posant

(9) ex = Ex > eCsÔt + ss (A — 4® VA ... r).

Si on donne dans (9) toutes les valeurs possibles à l'indice ?, on obtient r transformations infinitésimales des variables e2,,e,, ...,e,, à savoir

ae 29 sr

(10) Ef — D) cu SL (rm PNR EST S,

Ces » transformations infinitésimales, qui ne sont pas nécessairement indépendantes, engendrent un groupe isomorphe au groupe primitif, comme on peut le vérifier en tenant compte de (6). Ce groupe s’appelle le groupe adjoint du groupe primitif. Il ne dépend que de la structure de ce dernier et indique comment les parametres €,, @,...,e, dela transformation infinitésimale Xe;X;f sont transformés lorsqu'on effectue sur cette transformation infinitésimale une transformation du groupe.

Si l’on a une relation linéaire et homogène à coefficients constants entre les

Ef, soit

= di De..sr 2 KE = » ag = 0,

ds À

c'est que

D car — 0, (s, & = 4,9, ...,r),

ou encore (XX X;) = 0; CRE RE dE

La transformation infinitésimale EAX;f est échangeable avec toutes les transformations infinitésimales du groupe, ou encore est distinguée. La réciproque est d'ailleurs vraie. Le groupe adjoint est donc d'ordre v—9, si le groupe donné

admet 9 transformations infinitésimales indépendantes distinquées.

6. Le groupe adjoint est intransitif, c'est-à-dire qu'il existe une relation de la forme

on vérifie en effet immédiatement que

En (41) D exExf =), KA On peut dire encore que le système complet Ef = 0, OS EE A)

admet au moins une solution. Si Fe, &, ...,e,) est une telle solution, la fonction F ne change pas lorsqu'on effectue sur e,, &, ... ,e, une transformation du groupe adjoint; c'est pour cette raison un invariant du groupe adjoint.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Le groupe adjoint d'un groupe quelconque admet au moins un invariant. q q q

7. Le groupe adjoint (10) E;f, ....,E,f a été obtenu en partant des transformations infinitésimales X,f, ...., X,f. Si nous étions partis des transformations Yf définies par les formules (7), une transformation infinitésimale quelconque

aurait été définie par les paramètres n,, 9, ....,n, de l'expression Zr:Y;f, et nous aurions obtenu dans ces nouvelles variables un second groupe adjoint : 4,2,+..sr | 0f | (12) Hf = y» Vire ) (e — 4, 2: es Ta k ss À

où les gx sont définis par (5’). On a entre les deux systèmes de paramètres e et * d’une même transformation infinitésimale la relation

K=—r nr D exXxf — >) nu Yxf x KA KA qui se décompose en ==} \\ “ (13) GE > houne, ( = 4 2e OCT r).

CARTAN 3

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Il est bien évident qu'on doit passer du groupe Ef au groupe H/f en effectuant sur les e la substitution (13). Il est facile de le vérifier directement, car on a | ae 1,2,°..sr Q) of Hf = à H;ex : . = 2 NsŸsipllor sr HA Sp»

d'où, en tenant compte de (8) et ensuite de (13), 1,2,+..)r of 1,2,++-97 of V—r Hf ET D ns Cox de = » CNE de, == D hEf, S Bi À ps Vo À FE | et cela en vertu des équations (13). Les relations obtenues ainsi :

(14) dre, (Gi =1,2,...,r)

sont les mêmes que celles qui définissent les Yf en fonction des X/.

8. Étant donné un groupe G d'ordre r engendré par les » transformations infinitésimales indépendantes X,f, ....,X,f, un sous-groupe de G est un groupe déduit de G en liant les » paramètres de G par certaines relations. Un tel sousgroupe g d'ordre m est engendré par m transformations infinitésimales indépendantes de la forme

(45) Mi anXif Eonkof Po X,f (Gi=1,2,...,1m),

les 4x; étant mr constantes convenablement choisies. On voit alors que la recherche des sous-groupes d'ordre m de G revient à déterminer les constantes zx les plus générales de telle façon que les crochets (4:%:) se déduisent linéaire-

mentide Pie... rec

(LM) = D ru Bf, (i, = 1,2, ...,m).