COUPER

G;, a deux types de sous-groupes maximums à 37—71—15 paramètres. 197 up) MA;

G,, a deux types de sous-groupes maximums d'ordre 9 = > — 5.

A chacun de ces types correspond un groupe à n variables, si 7—n est l'ordre du sous-groupe. Lorsqu'il y a plusieurs types, on obtient des groupes qui ne sont pas distincts, sauf pour les types F), G) et pour le type C) (/=2); dans chacun de ces derniers cas, on obtient deux groupes semblables entre eux par une transformation de contact (. Dans les autres cas où il y a plusieurs types de sousgroupes maximums, on ne peut cependant pas passer d'une transformation de l’un des groupes correspondants à la transformation de même nom de l’autre au moyen d'une transformation ponctuelle, mais on le peut toujours au moyen d’une trans-

formation de contact.

42. Étant donnés un certain nombre k de groupes linéaires et homogènes simples échangeant, l’un 9, les variables #11, ie, .…, Tin, le second 9; les variables %2, La, .…., Zn, etc., et enfin g, échangeant les variables zu, Zn, ce) Tan ces k groupes simples forment un groupe G semi-simple linéaire et homogène qui échange les nm +... + n, variables x, æ2, .…, Thny- Si g; n'estisomorphe à aucun groupe linéaire et homogène à moins de n; variables quel que soit l’entier i=1,2,..,h, le groupe G ne sera isomorphe holoédrique à aucun groupe linéaire et homogène à moins de m+n+...+n, variables. Il y a cependant un cas où on peut obtenir d’une autre façon un groupe linéaire et homogène échangeant le même nombre de variables, c’est le cas de h —2, 9, et g: étant deux groupes simples à trois paramètres. On peut alors partir du groupe à 10 paramètres dont il est question au paragraphe 3 et qui n’admet qu’un sous-groupe invariant intégrable ; il lui correspond un groupe linéaire et homogène à 4 variables qui ne laisse invariante aucune multiplicité plane. Ce groupe est défini par les 6transformations infinitésimales

(4) Dans le cas du type C), 1—2, on obtient la célèbre transformation de contact de M. Lre qui transforme les droites d’un complexe linéaire dans les droites qui rencontrent le cercle imaginaire de l'infini. V. Lie, Transformationsgruppen, UL, p. 138.

LP + LaPa — dyPa — €,P),, UP — LaPa + MPa — LD,

LaPi + LP, LiD3 + LP, Lai + À, Ps, Li1Pa + LP), C'est le plus grand groupe linéaire et homogène qui laisse invariante la forme quadratique ax, — 23200. Au contraire le procédé général donne naissance au groupe

Li Pi — L2p), Lip», LD, L3P3 —ZX,p),; L3p,, L,Pa; c'est le groupe linéaire et homogène spécial le plus général qui laisse invariantes les deux multiplicités planes DT — 10! Re 66, El}

43. L'existence des groupes linéaires et homogènes simples que nous avons trouvés pour les {ypes B) et F) nous permet de rectifier une proposition énoncée par M. Killing. On trouve en effet dans la troisième partie de son Mémoire (Math. Ann., t. 34, p. 89) un énoncé qui revient au suivant: Ætant donné un groupe non intégrable qui ne se décompose pas, si une racine principale est double, toutes les racines principales sont nécessairement doubles. Or pour les groupes non intégrables qui donnent naissance aux groupes linéaires et homogènes des types B), F) et G) que nous avons considérés, il n'y a qu'une partie des racines principales auxquelles appartiennent des transformations de F, par suite une partie seulement des racines principales qui soient racines doubles. De même plus loin {p. 112), M. Killing dit que si un groupe non intégrable ne se décompose pas et si le déterminant des 4;; du plus grand groupe semi-simple de rang / qui lui est isomorphe est égal à 4, l'équation caractéristique admet au moins 2/ racines nulles : les mêmes exemples des types F) et G) prouvent qu'il n'en est rien, puisque nous avons trouvé pour le premier un groupe dont le sous-groupe y était simplement d'ordre 6 ({ — 4), et pour le second un groupe dont le sous-groupe y était d'ordre HA — 2)

M. Killing donne quelques indications générales sur les groupes formés d’un sous-groupe simple de l’un des types A), B), G) ou D) et d'un sous-groupe invariant intégrable unique %), mais il se borne naturellement au cas où les racines secondaires autres que zéro sont simples. La discussion de ces questions nous

entrainerait trop loin.

(1) Si on regarde 2, %, #3, æ, Comme les coordonnées homogènes d'un point dans l’espace ordinaire, c’est le groupe des mouvements non euclidiens, M. Li est le premier qui ait demontré la décomposition de ce groupe en deux sous-groupes simples à trois paramètres. V. Math. Ann., t. 16, p. 624.

(2) Kiuw6, Z. v. G., III, p. 112-122.

CARTAN 20

44. Les groupes linéaires et homogènes simples trouvés au paragraphe 9 vont encore nous permettre de déterminer les invariants des groupes adjoints des groupes simples au moyen de déterminants plus simples que les déterminants caractéristiques. Etant donné un groupe non intégrable G formé d’un sous-groupe simple q d'ordre » et d'un sous-groupe invariant intégrable unique T d'ordre n: Xif,...,X,f DATANT ne

(XiXx) = D) CisX of à (2, = a 2, Mr r),

ADR. GLS MRMES En)

= | (XV) = 0, (1, VE 1 2, ….) n),

le rang de G est égal au rang de g, de sorte que le déterminant caractéristique de G est un invariant du groupe adjoint de g. Or ce déterminant caractéristique

est ER : S >, Cm — © | ÉeiCin ... 2e;Cia Led — vw ,.: Zea;n i—1 Se Sir Sr 5 2CiCir 26 Crr ete CC em (DE Zen …. Zélinn —®

Si { désigne le rang du groupe g, le second facteur contiendra certainement / fonctions indépendantes (comme coefficients des diverses puissances de w) si parmi les racines auxquelles appartiennent des transformations de T (relativement à un sous-groupe y déterminé) il y en a / d’indépendantes. Or c'est ce qui se présente dans les cas que nous avons étudiés. On voit que ce second facteur ne dépend que des coefficients a;,, et est complètement connu lorsqu'on connaît legroupe linéaire et homogène simple associé à G :

À, 23hees 7

Xf = — à GES (SUIS RS pa v Si nous appliquons cela aux groupes simples des types A), B), C), D) nous trouvons, en Conservant les notations habituelles, les résultats suivants. Les invariants du groupe adjoint du groupe simple du type A) de rang / sont donnés par les coeflicients des différentes puissances de w dans le développement du déterminant

SUR LA Pl ;\ > — RCE Ci w Coi Coe ee Cot =) Co Eu Cr .. Cie Co Cu (WE (7) ml)

Les invariants du groupe adjoint du groupe simple du type B) de rang / sont donnés par les coeflicients de 2-1, w%-3% ,,,,w, dans le développement du dé-

terminant — e1'0 GE eyy 30 Coi nr w 0 Se LC en Cot 0 CNE AN en Cor ejy (27: O ey —w

Les invariants du groupe adjoint du groupe simple du type ©) de rang / sont

@%72, W27+,,,., dans le développement du déter-

donnés par les coefficients de

minant CRE lus 2! C2 Cyr! Car GUY CA C'a Cr'a ŒU2 Cyr TE en C9 +0 On Gay! Ca Ey'a' er CJ'2 C7 Ge CA

Enfin les { invariants du groupe adjoint du groupe simple du typeD) de rang / w22, 24 ,,,,, dans le développement du dé-

sont donnés par les coefficients de

terminant E11 — 0 0 Can C2s (Gr en 0 Eu vw Can! En’ Ca" Cu GE C4? e>—w 0 (2 (9) Car CETA (l Ge

(04 Car

156 E. CARTAN

Les résultats qui viennent d'être indiqués relativement aux groupes simples des types A), B), D) sont déjà indiqués par Killing (Wath. Ann., t. 31, p. 272-276).

Vu et approuvé :

Paris, le 44 mars 1894.

LE DOYEN DE LA FACULTÉ DES SCIENCES, G. DARBOUX. Vu et permis d'imprimer :

Paris, le 14 mars 1894.

LE Vice-RECTEUR DE L'ACADÉMIE DE PARIS,