AE 1 = MN
c'est-à-dire, en vertu de (31),
>; Lipi — >; Biqi i—1
(1) V. Lu, Transformationsgruppen, 1, p. 4172 sqq.
Par suite la transformation de contact considérée transforme Af en Bf, c'est-à-dire transforme le groupe G4 dans le groupe Gi.
Les équations (36) définissent, aussi bien dans l’espace des 4 que dans l’espace des ?, une famille de droites dépendant de cinq paramètres arbitraires. Dans l'espace des a ces droites sont définies par les équations différentielles
day + 3 (aida; — axda;) + a, da, — a;da, = 0, (38) de dax da,
dus da, du
Dans l’espace des 4 on a des droites définies par les équations différentielles
db, + b,db; — b,db, = 0, db, + b,db, — b,db; = 0,
db, +b,db, — b.db, = 0, qui entraînent comme conséquence
db,db, + db,db, + db? = 0 0.
On peut pour chaque structure simple faire des considérations analogues, mais
dont le développement nous conduirait beaucoup trop loin. Je me contenterai d'in-
diquer les résultats généraux auxquels on arrive. En admettant que tout sousgroupe d'ordre maximum contient une transformation générale, on a pour les di-
vers groupes simples les sous-groupes maximums suivants @) : Pl gpeA) LA rl) Si {—1, G; a un seul type de sous-groupes maximums à 2 paramètres ; Si [>2, Gw2 a deux types de sous-groupes maximums d'ordre 7» —{, 2ÉTypeB). = 3, r=IQi# 1).
Gers) à un seul type de sous-groupes maximums d'ordre » — (21 — 1). TT A OR Mer NT I DURS NP Si l—2?, G,, a deux types de sous-groupes maximums d'ordre 7 = r —3; Si 1>3, Gyu1 à un type de sous-groupes maximums d'ordre r—(2/—1). LTD D TE END ET).
Si l=24, G, a trois types de sous-groupes maximums d'ordre 22=—7—6;
Si 1>5, Gr à un type de sous-groupes maximums d'ordre 7 —(2/ — 2).
(1) Ces deux groupes ont été signalés en même temps par M. Excez et moi (C. R., 1893,t. 116, p. 186 sqq.). Le fait qu’on peut passer de l'un des groupes à l’autre par une transformation de contact est dû à M. Excez. V. Lure, Transformationsgruppen, HE, p. 763-761.
(2) Les résultats énoncés relativement au type A) (! quelconque) et au type B) ({ —3), sont dus à Lie, Transformationsgruppen, 1, p. 569, ceux relatifs au type C) également à Lie, Trfg., LL, p. 1178 ; ceux relatifs aux types B) et D) à Wenwen (V. Lie, Trfg., IE, p. 109), qui ne trouve d’ailleurs que deux types de sous-groupes d'ordre 22, pour le type D), {= 4.
152 E. CARTAN
5 TypeE).
Si 1—6, G,, a deux types de sous-groupes maximums d'ordre 62= »—16; Si 1—7, Gi à un type de sous-groupes maximums d'ordre 106 = r —27; Si 1—8, G,,4 auntype de sous-groupes maximums d'ordre 191 = r — 57.
