Sur la structure des groupes semi-simples réels

Bien qu’on ait beaucoup étudié la structure infinitésimale des groupes de Lie complexes), on s’est borné pour les groupes réels à établir quelques théorèmes très généraux, ainsi que des propriétés globales de ces groupes. On connaît l’existence des différentes catégories fondamentales de groupes réels qui correspondent aux mêmes catégories de groupes complexes — les groupes intégrables, les groupes non-intégrables, etc”, et M. Whitehead a publié récemment” une démonstration valable pour les groupes réels du théorème d’Eugenio-Elia Levi sur la décomposition des groupes non-intégrables®. M. Cartan a trouvé en 1914° les structures des groupes simples réels en partant des formules de structure des groupes simples complexes qu’il avait déjà calculées dans sa thèse. Cette détermination exige, cependant, des calculs très lourds pour chaque classe de groupes simples, et surtout pour certains des cinq groupes exceptionnels. Plus tard, les belles recherches de M. Cartan sur les espaces symétriques l’ont amené® au théorème intéressant que toute automorphie involutive du groupe réel clos associé à un groupe simple complexe définit un groupe simple réel. M. Cartan a fait lui-même l’application de ce théorème aux quatre grandes classes de groupes simples, mais c’est M. Pierre Lardy® qui a complété ces résultats par le calcul des involutions des groupes exceptionnels.

La même différence se présente pour les représentations linéaires des groupes semi-simples. La structure des représentations des groupes semisimples complexes a été étudiée par M. Cartan dans sa thése® et dans

1) E. Cartan, Sur la structure des groupes de transformations finis et continus

(Thèse), Paris, Nony, 1894, et des recherches antérieures de Lie, de Killing et de Engel. 11 y aura dans le cours de ce mémoire des renvois fréquents à la thèse de M. Cartan. Je l’indiquerai par la lettre C.

H. Weyl, Darstellung kontinuerlicher halbeinfacher Gruppen, Math, Zeit., 23 (1925) p. 271—309 et 24 (1926) p. 328—305

2) N. Jacobson, Rational methods in the theory of Lie algebras, Annals of Mathematics, 36 (1935) p. 875 —881. - FU RS

5) J. H. C. Whitehead, On the decomposition of an infinitesimal group, Proc. Camb. Phil Soc., 32 (1936) p. 229—237.

4) Eugenio-Elia Levi, Atti. Acc. Torino, 40 (1905) p. 551—565.

5) E. Cartan, Les groupes réels simples, finis et continus, Ann. Ecole Normale, 31

(1914) p. 263—355. : RTE | ‘) E Cartan, Groupes simples clos et ouverts et géometrie riemannienne, Journal

de Math., 8 (1929) p. 1—33. ee F | +) Pierre Lardy, Sur la détermination des structures réelles des groupes simples... Comm. Math Helv., 8 (1935--36) p. 189 —234.

8) C., chap. VIII.

ES

plusieurs mémoires'), et puis en particulier par M. Wey/ dans le mémoire déjà cité, tandis que la structure des représentations des groupes semi-simples réels n’a pas encore fait l’objet d’une étude détaillée. M. Cartan®) a demontré la possibilité d’associer à toute représentation irréductible réelle d’un groupe semi-simple réel, une représentation irréductible du groupe complexe correspondant, et de déterminer, au moyen d’une classification des représentations du groupe complexe selon certaines propriétés relatives au groupe réel, toutes les représentations irréductibles réelles de ce dernier. Sa méthode peut s’appliquer facilement à une représentation globale d’un groupe complexe, mais ne donne pas immédiatement de résultats si lon considère un groupe de transformations linéaires infinitésimales caracterisé par son poids dominant. M Whitehead a donné une démonstration élégante de la réductibilité complète d’une représentation réelle d’un groupe réel semi-simple.

La première partie de ce présent mémoire est consacrée à la démonstration de plusieurs théorèmes sur la structure infinitésimale des groupes semisimples réels et à leur application à la détermination de ces groupes. Je démontre qu’à tout groupe semi-simple réel correspond une involution du groupe réel normal associé au groupe donné. Cette involution est essentiellement la même que celle du groupe clos qui définit le même groupe réel, car chacune des deux involutions détermine une antiinvolution du groupe complexe, et c’est la même antiinvolution. Il est cependant à remarquer que ma démonstration est entièrement algébrique, tandis que celle de M. Cartan repose sur une propriété globale de certains espaces symétriques. L’involution que je trouve, se présente sous une forme spéciale de sorte que toutes les involutions qui définissent le même groupe réel sont manifestement équivalentes. C’est justement la détermination des involutions équivalentes qui alourdit les calculs de M. ZLardy, et c’est la question analogue qui a présenté le plus de difficultés dans le travail original de M. Cartan.

Les théorèmes auxquels je suis amené me permettent de caractériser tout groupe réel simple associé à un groupe simple complexe par une involution bien déterminée du système de racines caractéristiques du groupe complexe. La détermination des ces involutions repose, d’ailleurs, sur certaines relations linéaires qui lient les racines et ne fait pas intervenir les constantes de structure du groupe.

Dans la seconde partie je retrouve d’abord sous une forme un peu différente le théorème fondamental de M. Cartan sur les représentations réelles des groupes semi-simples réels, en regardant la représentation réelle comme invariante par une antiinvolution de la représentation du groupe complexe au

1) £. Cartan, Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité

plane, Bull. Soc. Math., 41 (1913) p. 53—96; La géometrie des : ; Matematica, 4 (1927) p. 209-286; ete. STONES NES EEE

; pers loc. cit.

... ‘) Ë. Cartan, Les groupes projectifs réels qui ne laissent invariante aucu Itipicité plane, Journal de Math., 10 (1914) p. 149 —186. R LAite

4) J. H, C, Whitehead, Certain equatioris in the algebra of mi-si Quarterly Journal of Math., 8 (1937) p, 220-237. : RO? cos EE

lieu de regarder cette antiinvolution comme invariante par le groupe réel. Je trouve ensuite des propriétés des poids d’une représentation d’un groupe complexe analogues à celles des racines caractéristiques d’un groupe complexe obtenues dans la première partie. Ces propriétés me conduisent à une détermination, très simple en général, des représentations d’un groupe complexe qui appartiennent aux diverses classes relatives à un groupe réel associé.

Bien des résultats antérieurs que je cite dans ce mémoire se rapportent aux groupes globaux, mais on verra que la démonstration de toutes ces propriétés serait la même pour les groupes intinitésimaux.

Il me reste maintenant à exprimer ma profonde reconnaissance à Monsieur le professeur Æ. Cartan pour l’aide qu’il m’a apportée en acceptant de diriger personnellement mes recherches, complétant ainsi l’enseignement de ses admirables travaux. Je remercie aussi très vivement Monsieur P. Sergescu et Monsieur V. A/aci qui ont bien voulu faciliter l’impression de ce mémoire.