CHAPITRE LI

1. Généralités) : Une algèbre de Lie ou groupe infinitésimal d’ordre est un espace vectoriel à 7 dimensions dans lequel il est défini une opération appelée crochet.

Soient X,Y deux vecteurs de l’espace. Le crochet de X et Y s’écrit [X, Y]. Il satisfait aux conditions suivantes :

(i) il est linéaire : DIX YI—=|\2X,;Y] où a est un facteur numérique ; [X+V,Zi=1(X,Z]+1[Y,2Z].

(ii) il et anticommutatif :

[X,YIÆ IV, X] = 0.

(iii) il satisfait aux identités de Jacobi:

Dans la suite, groupe signifiera groupe infinitésimal, avec une seule exception, facile à reconnaître. Tout sous-espace linéaire G, d’un groupe 6 tel que IX, Y]C G, si X, VC 6, est dit sous-groupe de G. Tout sous-groupe G, de G tel que [X, Z]C 6, si XC 6, et ZC Gest dit sous-groupe invariant de G. Une base {X,,X,,...,X, } de l’espace dans lequel est défini un groupe G constitue une base du groupe, et les vecteurs de l’espace s’appellent éléments générateurs du groupe. Tout élément générateur peut s’exprimer sous la forme e’X;. Si l’on écrit [X;, X ;] == Xi, k = 1:2;.26r);-onaura [V,Z]=cefiXs, où Y—=eX;,Z =/f/X;. Les constantes “; sont les constantes de structure du groupe. Elles le déterminent complètement, et elles satisfont aux équations

Cij + Cji=0

Co, Lie: RTE Len , Ci jChe + CjnCni + ckicnj = 0 (équations de Jacobi).

1) C., première partie.

A Se

Par une transformation linéaire des paramètres e', les éléments de base X; se transforment comme les composants d’un vecteur covariant, et les con-

stantes de structure c;; se transforment comme les composants d’un tenseur

à deux indices covariants et un indice contravariant Les racines 2 de l’équation le ch —410{|=0,

qui s'appellent racines caractéristiques du groupe relatives à l'élément

e'X;, sont invariantes, ainsi que la forme quadratique q (e) = dy cix e' e’,

somme des carrés des racines caractéristiques.

Les paramètres e’ peuvent être où bien des nombres complexes arbitraires ou bien des nombres réels arbitraires. Dans le premier cas le groupe est dit compiexe, et dans le second il est dit réel. Si l’on convient de donner aux paramètres d’un groupe réel G des valeurs complexes au lieu de valeurs réelles, on obtiendra un groupe complexe @, que l’on appelle groupe complexe que définit G par le passage du réel au complexe. G est un sousgroupe de G, et par rapport à la base de G ainsi définie les constantes de structure de G sont celles de G; elles sont par suite toutes réelles. Tout système de paramètres réels dans G définit un système de paramètres dans 6,

et le conjugué complexe Z d’un élément générateur Z quelconque de G est le même par rapport à tous les systèmes de paramètres ainsi définis dans 6;

Z sera appelé le conjugué compiexe de Z par rapport à G.

Revenons maintenant aux groupes semi-simples. Nous ne nous occuperons pas d’une définition fondamentale. Remarquons simplement que les groupes semi-simples, réels ou complexes, sont complètement caractérisés par la propriété que le discriminant de la forme quadratique q(e) ne s’annule pas. Si G est le groupe complexe défini par un groupe réel G par le passage du réel au complexe, les formes q(e) des deux groupes sont les mêmes. Donc, G et G.sont semi-simples en même temps.

Il a été demontré par M. CartanV que tout groupe semi-simple complexe G admet une base {X;,X4} (2—0,1,.../--1) où {X;} est une base d’un sous groupe abélien maximum qg, de G contenant un élément général?) de G, et où

RDA T PET SEE

Une telle base s'appelle base réduite de G relative à 9. L’entier Z est un invariant dit rang du groupe.

X4« est dit élément générateur de poids & = a;eï. Tout élément générateur ayant un poids est de la forme k, X4, qui est de poids &. Les bases de

G réduites relatives à g, sont celles de la forme (XX a NX exe) où |4/|.Hk Æ 0.

1) C., deuxième partie.

à +) C’est à dire un élément pour lequel le nombre minimum de racines caractéristiques s’annule.

ro re

Les racines caractéristiques relatives à e’ X; sont la racine zéro multiple d'ordre /, et les quantités a; e'. Ces formes linéaires sont toutes distinctes et aucune d’elles ne s’annule identiquement. Elles ne s’annulent pas toutes en même temps si les e* ne sont pas tous nuls, et si &— a; e est racine, a —— a; e* est aussi. La somme des carrés des racines caractéristiques relatives à (e°X, + e“ X,) est une forme quadratique

1 ? SA NS ' pe, fe = Q;,;e? T0, AE (AËMe

œ la somme étant étendue à toutes les racines «.

Les constantes de structure satisfont aux équations

{ dci; = cu —=0

Cu = Cu = 0 si a+i#0 a+ Cu —0 Ca se Æ0 si a+B—=7y tes 0 si a+BiÆy

Le ee ane 7 ee ce

et à Î c 1) (1) Cao Lij — Cia La «

2. Soient G et G respectivement un groupe semi-simple réel et le group: semi-simple complexe qu’il définit par le passage du réel au complexe. Si X est un élément générateur général de G, € G?, é! existera L éléments Xo5 Xy5-.., Xr-1 de G linéairement indépendants el échangeables entre eux, où / est le rang du groupe G. Supposons en effet qu’il en existe seulement /<1, soit X,, X,,...,X»1. Il existera un élément Z de G indé-

pendant de ces // éléments de G et échangeable avec eux”. Le conjugué Z de Z aura nécessairement les mêmes propriétés, les deux éléments (ZE Z) et i(Z—7Z) de G seront échangeables avec X,, X,,...,X»1 et au moins l’un d’eux sera indépendant de X,, X1,.... Xr 1. C’est-à-dire qu’il existe //+1 éléments de G indépendants et échangeables entre eux, contrairement à l'hypothèse.

Les éléments générateurs { X;} (2 —=0,1,...,/— 1) engendrent un sousgroupe abéliea maximum g, de O, et un sous-groupe abélien g, de G, sousgroupe de g,. Le sous-groupe g, contient un élément général de G.

Soit X, un élément générateur de G de poids & = à; e’ par rapport à l’élément générateur e’ X;.

1) Van der Waerden, Die Klassifikation der halbeinfachen Lieschen Gruppen, Math. Zeit, 37 (1933) p. 446—462 (5).

:) 11 existe un élément général de G contenu dans G, car la condition pour qu'un élément soit général est que ses paramètres ne satisfassent pas à certaines équations algébriques, condition qui peut toujours être satisfaite par des valeurs réelles.

s) C., p. 33 et 54. { X5} (= 0,1..., l! — 1) engendrent un sous-groupe de 6 de rang zéro. Il existe alors un so1s-groupe abélien de @ d’ordre / qui contient ce sous-groupe,

ÊTa X;] = ixXS X;l === IX# X;l] —= €}, Xa ;

X« est donc un élément générateur de poids a = a;e'. On voit alors que les racines caractéristiques relatives à un élément générateur de g, sont conjuguées deux à deux, et que l’on | peut choisir un élément X; de chacun des

poids « de sorte que X« = Xx, & étant la conjuguée de la racine @.

Les éléments générateurs {X;, X,} constituent une base réduite de G pour laquelle

et par suile

Cia CA

—; ; (3) À Croce F0

Cp 2 Cat

Soit la forme quadratique p{e) relative à cette base

pl) =pgi;e ON ga ete”.

Les coefficients de cette forme sont donnés par

Dre CAS TE, | date a;. @; œ a NY G+EP B î a! CT | — Led cas Ca,a+8. À Cao Coi + Cuilatæs

et on voit que g;; sont réels et que gaw = 2£x x. En particulier, si «& est réelle ou purement imaginaire, «a — «& ou «a et les deux paires de racires (a, a!) et (&, «/) sont confondues ; £, est alors réel.

3. Toutes les racines caractéristiques relatives aux éléments du sousgroupe g, de @ sont des combinaisons linéaires à coefficients réels de / d’entre elles, soient &@,, @,,..., @y-1, qui sont indépendantes!. Parmi les 2 / quantités (a; + a&;) (i—=0,1,..., {—1) il y en a / qui sont indépendantes, soit e de la forme (a; + a;) et o de la forme (a; — a;) où 9 o—7/, et toute racine est une combinaison linéaire à coefficients réels de ces / quantités. Nous pourrons toujours choisir une base réelle du sous-groupe £, de G de sorte que les © premières expressions, qui sont réelles pour tout élément générateur de g,, soient égales à e, e!,.,.e—1 et que les © dernières, qui sont purement imaginaires, soient égales à £e/ ie!t1,...,iel-1, Toute racine caractéristique sera alors de la forme

1) C. p. 55, Théorème V.