Le groupe EF, D Il

Tout poids est de la forme w = m;x' ; si Q — M;x' est le poids dominant, les coefficients des poids fondamentaux sont! : RÉ ( pi=M,—M, Fee | P=M+M, +M —3:ÈM |

{1} Pi=M —M, LS =M,— M; | p°=M —M, :

pi=M —M,

SR ee

Considérons d’abord les groupes réels définis par une involution qui est une transformation du groupe {S). Pour fous ces groupes, loule représentation est autocorrélative.

(il Le groupe réel normal de caractère 6. Zoute représentalion esl de première classe.

(ii) Le groupe réel de caractère — 26 défini par: Sin Sectes 1,230 7 a); [ Sooo ©) = 2 + + SM. (000) | Sz10) = 9 — (M, — Mz)(e, a),

et l'indice R est égal à — M4 M +M +M,—M,—M,—M,. Or, Suse (= 9 + (5 Ê M — M, — M, — Mi) (4, 5,6), et le coefficient G M — M, — M, — M;) est entier. En retranchant cette expression deux fois de l’indice À, nous avons

R —0. (mod, 2),

et toute représentation est de première classe.

Si l’isvolution qui définit un groupe réel du type F, n’appartient pas au groupe (S), elle est le produit d’une transformation de {S) et de l’involution x'=—x'(i=1,...,6). Le conjugué © du poids dominant est homologue de (— ©). Si (D) est la région fondamentale du groupe (S) définie par les racines fondamentales !)

Sr Sue See D} 'D+En effet, cette transformation de (S) change de signe toutes ces racines en les permutant. Pour que 9 soit homologue de (—- £2) il faut et il suffit donc que

e Q) FA S 000 Sie So5 S34 (9)

= + M>-;. PA i=1 Cette condition peut s’écrire M;+MI-i=,;2M

ou, ce qui est équivalent,

1) E. Cartan, La géometrie des groupes simples, Ann. di Matematica, 4 (1926 — 1927), p. 214 et 215.

Gp. G45ek 05,

E. Cartan, Complément au mémoire sur la géometrie des groupes simples, Anrdi Mat., 5 (1928).

DER La

Les valeurs (1) des coefficients des poids dominants fondamentaux nous donnent : pi pp S Pour qu'une représentation soit autocorrélative, il faut et il suffit que pi =p3 et que p{—= Pr.

(i) Le groupe réel de caractère 2 défini par le produit de x= — x° par Sooo Sie Sss Suu- Cette involution laisse invariante la région (D),.et 90. Toute représentation autocorrélative est de première classe, car l'indice 9 est égal à zéro.

(ii) Le groupe réel de caractère — 14 défini par le produit de nr Par Sogo S16 :

= So00 Si6 - S500 S;6 S25 Sa (9) FE S5e S3a (9),

et la transformation © =S,,S,, satisfait aux corditions du théorèn e II. On trouve pour l’indice 9% la valeur

K=M, —M,+M,—M, = — (p4 ps).

La représentation étant autocorrélative, pt —p5—0{mod.1) et % est pair. Toute représentation autocorrélative est alors de première classe. HE

(ii) Le groupe unitaire de caractère — 78 défini par x'— — x. Comme transformation S du groupe (S') on pourrait prendre Sio Sig Sos Sa Les calculs que nous avons faits pour le groupe réel de caractère — 26 nous montrent que À est toujours pair, ef que toute représentation autocorrélative est de première classe. :

En resumé, toute représentation est autocorrélative par rapport aux groupes réels de caractere 6 et —26, tandis que seules les représentations pour lesquelles pl—p3 et p‘=p5 sont autocorrélatives par rapport aux

groupes réels de caractère 2, — 14 et — 78. Toute représentation autocorrélative est de première classe.

1e VS Le groupe E, (Chap. IL:S38)0

Tout poids est de la forme © = m;xli=1,2,... , 7) et les coefficients

m; sont égaux module un. Si © = M; x’ est le poids dominant, les coefficients des poids fondamentaux sont : !

L’involution qui définit tout g'oupe réel du type FE, est une transformation du groupe {S). Toute représentation est alors autocorrélative par rapport à tout groupe réel.

(i) Le groupe réel normal de caractère 7. Zoute représentation est de première classe.

(ii) Le groupe réel de caractère — 25 défini par: Sie Sga S; 27 Ssar ® Comme transformation @ de (S') satisfaisant aux conditions du théorème IH, prenons :

S— S1o Sga Si97 Ssare L’indice % du poids dominant © est 2(M, — M) = 0 (mod. 2).

Toute représentation est alors de première classe relative aux groupes réels de caractère T et — 25.

(ïüi) Le groupe réel de caractère —5 défini par: Si67 Sas S3a - Comme transformation @ prenons S;s, Sie S:,. L'indice N est égal à : —{SM+M —M +M, — M, +M, + M +M; TT ee iv) Le groupe réel unitaire de caractère — 133 défini par: Sir Sie Ds SO 167 27 Ours Comme transformation @ nous pouvons prendre : S = So Sie Sie Sosa Sig7 Sasr Sosa et l’indice % du poids dominant est :

R——IÈM+2M,+2M,+2M,+4M; te TS es = (p? + ps + pt) (mod. 2).

IL en résulte que seules les représentations pour lesquelles \p? + p* + À

est pair sont de première classe relative aux groupes réels de caractère — 5 et — 133.

8. Tous les groupes réels des types E;, F, et G, sont définis par une involution qui appartient au groupe {S/) correspondant au groupe réel, et cette transformation satisfait aux conditions du théorème III. Il en résulte que éoute représentation irréductible d’un de ces trois groupes complexes est autocorrélative par rapport à tout groupe réel.

Nous passerons en revue ces divers groupes réels, à l’exclusion des groupes normaux, qui sont toujours de prémiere classe.

Le groupe FE, (Chap. IL, $).

Tout poids est de la forme w = m;x°, où l’on peut supposer Ÿ m;=01). Soit 9 — M; x' le poids dominant. re li) Le groupe réel de caractère — 24 défini par:

G— Sois Sio Sosa S84 - Pour l'indice # on trouve la valeur 2{M, + M, +M,). Or,

So (9 = 9 — (M; + M, + M) (1, 3, 9), d’où X est pair.

(ii) Le groupe réel unitaire de caractère — 248, défini par: G=H (So a, a—1 Se) (a = 2 4, 6, 8).

L'indice est égal à 2 (M; + M: + M) + 2 (M; + M, + M,), qui est toujours pair.

Le groupe F, (Chap, II, $ 9).

Soit Q— M; x (i = 1, 2, 3, 4) le poids dominant. (i) Le groupe réel de caractère — 20 défini par: S—S, Si Sur.

sat L'indice Fest égal à 2(M, + M.), Sy (9) = Q — (M, + M.)(2, 3!) et R est pair.

(ü) Le groupe réel unitaire de caractère — 52 défini par:

S = Si2 Su Sir Sur - L'indice % est égal à 2(M, + M), qui est pair.

Le groupe G, (Chap. II, $ 10).

Soit 9 = M;x' li=1, 2, 3) le poids dominant.

Le groupe unitaire de caractère — 14 défini par : ESS Si |

L'indice N est égal à 2(M,—M,), Si, (9) = 0—(M,—M;) (1, 2) et est pair.

15e CPE p. 80.

NT er

1l en résulte que toute représentation irréductible d’un des groupes ES F, ou G, est de première classe relative à tout groupe réel.

0, Dans les calculs que nous venons de faire nous avons choisi arbitraiteméñt une involution particulière qui définit chaque groupe simple réel. Obtiendrait-on les mêmes conditions en remplaçant cette involution par. une involution équivalente ?

Toute représentation irréductible d’un groupe simple complexe appartient à lune des trois classes suivantes relatives à un groupe réel donné: ou bien elle est de première classe, ou bien elle est autocorrélative sans être de première classe, ou bien elle n’est pas autocorrélative. Soit À une représentation irréductible de & de poids frontière © qui appartient à l’une de ces trois classes relatives au groupe réel G défini par l’involution T du système de racines. Si T* est une involution équivalente qui peut être définie en effectuant sur T une transformation @ du groupe (S), la représentation N* de poids frontière © (Q) appartient à la même classe relative au groupe réel G* défini par l'involution T*. Or, R*— N, cer & {Q) est un poids frontière de À. /l en résulte que les conditions pour qu’une représentation soit ou bien autocorrélative ou bien de première classe sont les mêmes pour les groupes réels G et G*. |

Le seul cas où cette transformation de T en T* ne soit pas possible est celui du groupe réel du type Dr et de caractère — / défini par:

me ira 1,21; d= 1 +1 Toute involution équivalente à celle-ci peut se réduire ou bien à x = — "x la —=1,2,.:.,0 ou bien à mx 162,8, ,1— 1), en effectuant une transformation de (S). On obtient facilement les conditions suivantes dans le cas de la seconde involution : Te

(a) pour que la représentation soit autocorrélative il faut et il suffit que p:—=p"° si l'est impair.

(b) pour qu’une représentation autocorrélative soit de première classe, il faut et il suffit:

(i) si / est impair que bee DUR soit pair.

(ii) si /—0.{mod. 4) que op+tp+nte+r

soit pair.

ONE (i) si {= 2 (mod. 4) que pipi pi soit pair. à

Ces nouvelles conditions se déduisent des anciennes en ét e E eux les coefficients p1 et p?.