OU

22 Ma=21[s/2]. Mr: (mod. 2} —(p1+ p°}. sis 1)/2 [mod. 2).

Pour qu'une représentation autocorrélative soit de première classe, il faut et il suffit que

| (+ p?). s(s— 11/2 Soit pair.

(ii) Le groupe réel de caractère —/ défini par = — x (a—1,2,..., l; a—1l4+1— 0)

Si l'est pair, cette involution est une transformation de [S), ef toute représentation est autocorrélative. Si l est impair, on démontre de la même manière que pour la première classe de groupes réels, qu’il faut et il suffit pour que la représentation soit autocorrélative que M, Ss’annule, condition qui se réduit à: pi = p?.

Soit w«—m;x un poids frontière; si Z est impair, M;— 0, et on peut supposer #y+12 égal à zé0. Une transformation qui amène © en © et qui satisfait à la condition du théorème III est :

Cm eue 2 (el Su a! (©) = © — (ma + mx) (a, à!)

; > u et l’indice N est égal à Dm;. Les coefficients m1; étant égaux à 0 (mod. 5),

+ | la parité de cette somme ne change pas si l’on effectue une transformation de (S); en transformant & en Q, la condition pour que % soit pair se réduit alors à {A 2 M; = 0 (mod. 2).

| Si L'est impair, M; —= 0 et M; = 0 (mod. 1).

On peut donc changer de signe un nombre arbitraire des M; sans changer la parité de leur somine :

R—{(M; —M,+:..+ M} |(mod.2) = { ps+ p5 +...+4 pl} (mod. 2) (car M; = 0) et la condition pour qu’une représentation autocorrélative soit de première classe est que:

ae DE ESS À soit pair.

Si / est pair, on peut changer de signe un nombre pair des coefficients M; sans changer la parité de leur somme:

R = {M,— M; +: — Maya +: + Mi} (mod. 2).

:) Les coefficients :7; d’un poids sont égaux entre eux module un, et m:—0 (mod. 1/,). G. P., p. 71.

Si = 0 (mod. 4, RÀ—=p'+ps+...pl1(mod.2) ef la condition pour que la représentation soit de première classe est que:

pi+ps+ps+...+p!

soié pair. Si L= 2 (mod. 4), À — p° + ps + p5 +... + p'-1{[mod. 2) eé la con-

PT TONER NES soif pair.

Nous avons trouvé (Chap. II, $ 5) dans le cas où / est un carré parfait, deux involutions du système de racines du type D, qui donnent un groupe réel de caractère — /Z. Ce sont les involutions :

ER le=1,2,..., 4 | x 8(=g+1,..:,g Es=toù s—0

(ii) = — xt la —1,2,...,0; @—I+1— a).

Si 15% 4, ces deux involutions ne sont pas équivalentes. Si les deux groupes réels étaient isomorphes, à toute représentation irréductible réelle du premier correspondrait une représentation réelle du second, de même ordre. Or, la représentation de poids dominant x! {p5=—1, p'=0 si £Æ 3) est de première classe relative au premier gioupe, mais ne l’est pas relative au second. Elle est la seule représentation d’ordre 21 du groupe complexe, et il:ny a aucune représentation de ce groupe d’ordre moins de 2 1. En effet, tout autre poids dominant admet plus de 2/—-1 homologues par le groupe ({S), et. la représentation serait par suite d'ordre plus grand que 27. La représentation de poids dominant x!, au contraire, admet comme poids les homologues de x?, soit + x’, et pas d’autres poids. Ceux ci étant tous des poids frontières, chacun admet un seul vecteur, et la représentation est d'ordre 2 /. Il en résulte que seul le premier groupe réel admet une représentation e ES 26 et les deux groupes ne sont pas isomorphes.

Si Z— 4, on ne peut pas employer le même raisonnement, car les poids n = Yesxt admettent chacun 2 /— 1 =7 homologues. Dans ce cas d’ailleurs, les involutions sont équivalentes, et les groupes réels sont isomorphes.

et