I. — Propriétés générales de la méridienne
D'après l'équation (9) du Chapitre 1, la surface des ondes, de révolution autour de Oz, a pour méridienne une courbe dont l'équation tangentielle en coordonnées (/, n), c’est-à-dire comme enveloppe de la trace /x + nz= 1 du plan d'onde, est
(14) [ii @(P+m)][i—eP- enr] Ak%(1— C2) —o.
Pour y — o, on retrouve la décomposition de la méridienne en un cercle ct une ellipse, c'est-à-dire de la surface en une sphère et un ellipsoïde de révolution se raccordant à leurs deux pôles sur Oz.
Cette méridienne est symétrique par rapport à chacun des deux axes Ox et Oz.
Rendue homogène, c’est-à-dire pour le plan {x + n3—p, cette équation devient
(15) Lp?— (+ nr)][p— cl anr2]— Æyp?(p?— cl) — 0,
et ses dérivées partielles sont :
I do ° 9 > 2 2 9 2 72 CARE
à IE I[p*— a (P+n)|=al[p—cel2- @nr]+ Apte, I do = o 9° > “ 3 > > 72 >, 9
one an[p?— @(P+ r)]—atn[p —cl— an],
ie) A . =plr-e(l+nt)+pe cl atn—0kipt+ kw],
Alors les tangentes parallèles à Ox, {= o, sont données par
(p°— an} — k? y p'=— 0, p— a n° = + kyp?,
ME RV)= an,
p° Ca
HT Or KV
Le point de contact, sur Oz (/{— 0), est donné par
2 SNS 2 2 __n2n2\——: ? FE y D?
Sr n(p— ar)=T 2ankyp?,
1 09 Re La roaei
= dp = p[2(p?— a? n?) —2 kw p]=2p[+kvp?— ki p?]=— 02 kvp#(+i—ky), 2 OL : L
dont le quotient est
ne Te Dan Ur TL re a PUS Ou pi RU) EL 4
comme vérification.
Ce sont Les quatre sommets de la courbe sur OZ: Les tangentes parallèles à Oz, n — 0, sont de même
(p?— æ&l)(p?-— cl) — kFyp?(p?— cl?) — 0:
1° c’est-à-dire d’abord
dont les points de contact, sur Ox, sont donnés par
LUCE NE D) FOOD Re T c'i[ p?— al] + k?y?p?oe?l
= CB(a— c+ ky2c2?), LP el) 2krp+ kyc2P]
= p P[e— a— kyw%0c?],
dont le quotient est c?l
SE iCS
comme vérification (ce sont deux sommets de la courbe sur Ox); R. H
2° c’est-à-dire ensuite Du a?
? D lon OPEN DS EE ON CR NE Dal = KR vep} pr) an, E ss
Les points de contact, sur Ox (n = 0), sont donnés par
= “ —— cI[pt— al?]— a’ I[p°—c'2]+ kw ptet =—tpl(a— ce) +ck%]T, ee = p[p—-æ@l+pt—cl2kYp?+ k2ycP] 2 0p —p l(at— c+ c?k?v?), dont le quotient est — . comme vérification.
(ce serait À avec {x + nz3+p—o de la théorie classique des coordon-
nées tangentielles.
Les deux sommets sur O3 positif ont douc pour cotes
ie . a 0) = a(i£ ire.
et ne peuvent coincider.
Les deux sommets sur O x positif ont donc pour abscisses
= F 2 2 Pi + = a(i— kw) i= ait : —...),
tres >
— à c?, ou
Pour comparer ces deux derniers, il faut comparer Re — K1y*
a? à c°(1 — k?v?), ou c? — a? à c'k?v?.
Cette même équation (15) va nous servir à chercher si la méri-
dienne a des tangentes doubles réelles. En effet, soit À la cote du point où une telle tangente rencontrerait Oz. L sera donné par l’équation bicarrée (16) acli—[(at+c)(p— ant) — akypt]Pn:
tpm na = MPptlaie
SURFACE DES ONDES ET POLARISATION. 19 qui devrait avoir deux racines égales, d’où ( —— 2 =, nt\2 2. Aèn2\2 24,2 2 12 \ h2 pp2 2 2 m2 Are i=le c}(p—- an} — ak (a+ c)c2p?(p?— an?) + ct kk vit pt + 4 kRya?c?p}— 0,
p°—an°
équation du second degré en y , dont le discriminant est
— 4h a c?[(a?— ec?) — k2y ct].
Or nous avons posé, d’après (3),
CHOC A7, et le discriminant devient
— hk2Ya?c?(k2v2— 2);
d'où deux cas extrêmes à distinguer, en excluant le cas limite où k?v°?= v?, qui sera étudié plus loin à part ($ IT). (IL faut d’ailleurs remarquer que ces conditions dépendant de la
. : 5 I ; : re période vibratoire +; un même corps pourrait réaliser l’une pour
certaines radiations el la condition contraire pour d’autres, se prétant ainst à de curieuses vérifications expérimentales.)
1° Si AV] y], (179) n’a pas de racines réelles, #! n’y a pas de tangentes doubles réelles à la méridienne, la surface de révolution n’admet pas de cône circonscrit à deux parallèles de contact.
20 Si —|y<kv <|v|, (17) a des racines £
io | ë ———— réelles et posi- P°
tives, ce qui donne, pour les points où se croiseraient sur Oz les
) ra x tangentes doubles, des cotes . supérieures en valeur absolue à à.
Mais, pour que ces tangentes doubles soient réelles, il faut encore CTI GRIS ..… :
soit £1, pour que soit positif ou nul, et par suite =1; P q p° ’
que 1 — —
acceptable.
Or fQ)=(a—-c+ckN} To.
Donc r est toujours en dehors des racines. Les deux conviendront si rest au-dessus. Aucune ne conviendra si 1 est au-dessous.
(ae AE
Le dénominateur, qui est de l’ordre de v*, nous l'avons vu, sera,
Or, leur demi-somme est
dans les cas les plus fréquents, inférieur au numérateur qui est de l’ordre de v?’. Donc cette demi-somme sera > 1, et avec elle les deux racines, qui ne conviendront pas. {!{ #’y aura pas, en général, de tangentes doubles, résultat capital el nouveau pour une surface d'ondes.
Le cas où la demi-somme serait 1 est celui où
(7 bi) Luttes (/a+ 25
Le cas où (1) serait nul est celui où
d'— c—— c'Kk?v?
et sera trailé à part (S IT), y = — v*.
Le cas où les racines sont égales est celui où
CRE = ne C9
P? Es a? n°?
Mais les racines Fe étant supposées réelles, on a
La— cP< yet; la demi-somme ne peut donc pas être égale à 1 puisque La—e|<cek}lr|, et que a? — €? aurait alors pour partie principale + c?k|v|y2 d'après (17 bis).
Donc f(1) >0, demi-somme > 1, les deux racines 1, aucune tangente double.
Certains des résultats ci-dessus vont se retrouver dans l'étude des cas de décomposition. Le principal, l'absence de tangentes doubles, aurait pu être établi directement par les substitutions suivantes à la
