II. — Cas de décomposition
Le ion de I sridi ’écri 4 equation e la meridienne peut encore s ecrire
[p?—æ@(P+n)P+(at—ce)l[p— @(l + n)]— AÆvpt(pt— cl) = 0o
Elle se décomposera donc si ct k?y?— (c— a} —o ou : IC TA ou — HUE NS
nous retrouvons les deux cas fournis par la recherche des tangentes
doubles.
L’expression sous le radical s’écrit alors
À É JE p?\ CSSS et les deux coniques en lesquelles se décompose la méridienne de
quatrième classe sont : à Ms ne p?
pa(r+n) = |re (rs E )
c'est-à-dire, pour l’une,
(a— 5 )ptctt— ant = 0 (ellipse), + yn?—
et, pour l’autre, p— c(l+ n?)—=0o (cercle de rayon c).
22 L. ROCHE. … SE Pour l’ellipse, | | | c? : : - QE — (a<c? si v'<o,c—a>0;a>c?si y" 0, c—a*<o), CET :
1 + — 2(c?— a?) moe sr PC. ne (y< et si v<o, a > 0; y csv 0, go) À HE : s Fig. 3 x : .
= cl < : E E ——— = E. :
SR === | 2er" | =. a = = x à On ne pourrait, dans cette hypothèse, avoir ÿ = o sans avoir v —0, - Fig. LE CN . “0e
SURFACE DES ONDES ET POLARISATION. 23 Représentons ces résultats, en exagérant les écarts entre les axes de - à I 2 . a N l’ellipse, et remarquant que UC: PURQUE SN 2 Cas er)
Les tangentes doubles seront alors données par la racine double — an? - . « Eee "de l'équation, où
Les tangentes doubles sont imaginaires, ce qui constitue la vérifi-
cation annoncée.
Comme autre vérification, dans le cas de décomposition
Eat, — KY'= ZE y,
les sommets sur Ox ont bien pour abscisses c el
Vi — ky à NE
ce
et les sommets sur O z ont bien pour cotes
Cc? — «2 Sp prEn
c’est-à-dire, pour le signe —,
et, pour le signe +, a ie PRE PE
III. — Variation de forme à partir de ces cas. Faisons maintenant varier a? — c? où y’ à partir de la valeur qui a
fourni la décomposition.
Les deux branches de la méridienne se déformeront, à partir du
cercle et de l’ellipse, en présentant d’abord des formes analogues à celle de la figure.
Le cas où a?— c? (ou v')croîtrait en valeur absolue a moins d’intérêt physique, car déjà, pour la décomposition, nous avions ÆV = + v, et, comme nous l’avons dit, y’ doit être le plus souvent considéré comme inférieur à v, et même d’un ordre plus élevé. Suivons donc la variation du côté où y’ décroit en valeur absolue.
Cas y — 0. — Comme cas limite, pour Y = 0, c — a, nous aurions
(44 [44 comme sommets-sur Or, get © >aet, sur 03, -——1de
Vvi— y VIiT£kv part et d’autre de a.
Dans ce cas l’équation de la méridienne, ordonnée en p° — al,
Fig. 5.
es : donne, si l’on développe le radical par rapport aux puissances de y,
re . J2y2 a(l+n)=pT kvanp — L PE: (3° ordre).
St l’on néglige le second ordre, on obtient (fig. 5)
(Pl + nr?) — (» a Les
SURFACE DES ONDES ET POLARISATION. aD c’est-à-dire deux cercles, mtridiens des deux sphères obtenues préct-
Fig, 6.
C9 04 sément dans ce cas par M. Boussinesq (").
Fig:
Vi1—ZÆv a & V1+Æ4v [474 Œ VTT
Si l’on ne néglige que le troisième ordre, on obtient (ig. 6)
- k2y? d (+) =plp(i- =: }= 4van|,
(*) T. IL, p.#479, note.
c’est-à-dire deux ellipses ayant un foyer commun à l'origine, et les
; ; , aky deux autres foyers réels respectifs aux points + ———:
IL est très remarquable que la singularité (points doubles et tangentes doubles) de ces deux méridiennes approches disparaisse dans l'équation complète, où, comme nous venons de le dire, les deux tangentes parallèles à Oz ont deux points de contact distincts a et
[44 ? 4 L ————, que nous avons représentés en exagérant beaucoup
l'écart £v (fig. 7).
Cas v'=£ 0. — Les deux sommets sur Ox ont pour abscisses c et
a mCVrEvE Vi—#2vt À Vi — k?v?
Donc, pour v’ négatif, on aura l’hypothèse remarquable a c(1—v?k?), CA — Ccy 7 (v'—— 1°),
pour laquelle ces deux sommets coïncideront.
Supposons que y’, négatif, diminue en valeur absolue à partir du cas de décomposition — kÆvy'= v.
Les deux branches partent d’une forme voisine de l’ensemble
(cercle, ellipse).
Fig. 8 A
Vi=Æv
Vi+Æv
1x æ CE VITE
Au moment où les deux sommets sur Ox viennent coïncider avec % LA 9 q u \ l'abscisse c, c’est-à-dire où (fig. 9)
Dire (r EN) et A PA) (v'—=— 8),
“ les deux autres sommets, sur Oz, sont (v > o pour fixer les idées) a cV1—v# —— —— = V = eVr + Æv Vi— kv 1— y
et
Mais si v’, continuant à décroître en valeur absolue, descend au-
Fig. 9.
eVi+Av
ce VT=Av
dessous de »?, le sommet sur Ox dépasse c et la forme générale redevient la même.
Faisons
a C1 K?5°), dans l’équation aux tangentes doubles ktctyt(p° — a n°)?
— 2kw(a + c)cp(p— an?) + c'ktrtpt + 4 ka cp" = 0
doit avoir pour racine double 0) DO:
En d’autres termes, c’est l'équation précédente qui doit avoir racine
double # — 0, Ç Cr
Or elle est alors (p?— æ&l)(p}— cl) — k2» p?(p?— cl)
(pis cl ky)=0oua bien une racine double p° — c*P.
Mais alors aussi l'équation suivante (17) donne, en eflet, ak cw+a(a—c)=o.
C’est le cas où /'(1) — o donne la solution » — 0, d’où (p?— cl} — 0.
Mais c’est un cas limite, affleuré, après lequel il y a retrait en sens contraire.
Comme vérification de ce résultat capital, je vais prendre lhypo-
thèse v'=— Üy?, D ER, ci— qt—=— 10% Dci K?, ai c—0c'y"r?, La demi-somme est > — Ov 2 ; A si y est pelit.
O0? y? 42 (EME ? (
Donc les deux racines sont > 1 et ne conviennent pas.
Écart des deux nappes de la surface, ou des deux arcs de la méridienne. — Il est intéressant, au point de vue optique, de se rendre compte de l’ordre de grandeur de cet écart. Il suffit, dans Lx + n3 = p, de considérer { et # comme cos x ct sin &; p est alors la distance de la tangente à l’origine, et l'écart dépend de la différence des valeurs absolues des racines p de l'équation
(p°— &)(p — ccos a — a sin?æ) — kA?v?p°(p?— c? cos?&) — 0.
A cette évaluation nous substiltuerons la recherche équivalente de l’ordre de grandeur de p? — a?, qui mesure l'écart de la nappe et de la sphère de rayon @&, d’où l’écart des deux nappes entre elles.
La somme des racines p? — à? est de l’ordre de v' et de v?, le produit de l’ordre de v?.
Sous le radical, il vient
(a?— c+ c'ktv?}? costa + 4 at k?vt sin? a.
Ceci est une vérification de plus de l'absence de tangentes doubles
dans tous les cas possibles, avec le seul cas d'exception que nous avons rencontré.
Fig. 10,
Les racines sont donc de l’ordre de v’ et de v°?.
La discussion que nous venons de faire de la méridienne de notre surface d'ondes, de révolution dans cette première Partie, fournit une réponse négative à la question suivante, qu'il serait naturel de se poser dans cette Partie et dans les deux autres :
La surface de Fresnel se déduisant de l’ellipsoide par la transformation apsidale, d'ailleurs réciproque, quelle serait l’apsidale de notre surface par rapport à son centre?
On voit facilement, en effet, que, pour une surface de révolution, et par rapport à un point de son axe, l’apsidale de révolution s'obtient en
+ nr . Lu A faisant tourner la méridienne d’un angle > autour du point dans son plan.
Nous obtiendrons donc ici une surface de révolution assez compliquée, au lieu de l’ellipsoïde de Fresnel, et, par induction, dans les cas plus compliqués encore des deuxième et troisième Parties, on ne peut espérer obtenir une surface apsidale simple correspondant à la
nôtre.
