IV. — Équation différentielle des lignes de courbure

Appliquons l'équation (16) (p. 240 de M. Darboux) (') au cas Li « . n oùu=l v=m w=n, p=t;, Â=a— . Elle devient (6 étant ou + suivant le mode de représentation choisi, où x et 8 sont les paramètres des courbes coordonnées)

al ol dl ol

l re 08 de TE 7 Om om 5 om d om dx 05 dx 08 on on on on | —® se PE d 7 dE ll [e] Q [a] (a) (e4 l Q (e] [a] ‘ )l }l 14 ( ( € 08 de d 06 (79) Caios FE 1 =,

or on on 08 dx dB

Par exemple, pour le premier mode,

= == | "+ 0 — pthas—0(0, 0,2) |

0—= a+ bP+c—d+GB+ sfr (ie et D

avec la condition ci Vo?— ct Var (b+ Bt )a— 0 + 8, Ver a VE (c+ a Br) — 6

VE DEEE pe 5 =,

Ces résultats se simplifient pour la surface de contour apparent parallèle à l'axe de dissymétrie.

(") Leçons sur la théorie générale des surfaces, 1. 1.

ON ’ . l 4 Je prends le deuxième mode de représentation (= pa a) à cause de sa forme plus symétrique

2 Ca 32 3 a? 2 2 : soBo(e-(8 #8)

(ce — a) (a?— b?)

qu’on peut écrire U—A,+A;a+ A,6° + A,a6?,

d’où ol ol ep — À, a + A;ab?, 1 EME td ol ol { dl ol 20 FE dd + a (ox + 554) — (A;,+ A, )da æ 2A,a6 d6.

Et, par échange de « et 6, A,et A,,

Pas = (A; + Asa?) (A+ A, a)dB + af da(AsA;— A,A,+A,l).

Alors l’équation différentielle des lignes de courbure, écrite lignes en

colonnes, sera ol ; om , 0n

MS In 08 Jt 08

ol om on 3 se 3 PASSES 3 DS ZE Pa m ae n Le 10 Fe COR LA 7 LL

BB(A,8 + Asa) (80) | (A+ AsB°) (A+ A:B?)da + aBdB[AsA;— A,A,+ Al] ... |[—0o, (As Asa?) (A+ Aia?)dB + aBda[A,A:— A,A,+ Al]

les autres colonnes se déduisant de la première par permutation de /, MR RAD AC.

Le facteur commun 5 == o donne une solution + = o imaginaire à écarter.