SUR

Comme bien d'autres théories mathématiques plus importantes, celle que nous allons exposer a son origine dans une question de physique. C'est en étudiant la propagation de la lumière dans un milieu non isotrope, que Fresnel a été conduit à considérer la surface des ondes. Fresnel, toutefois, n'a fait que deviner, en quelque sorte, son équation . Ampère chercha le premier à déterminer l'enveloppe des ondes lumineuses, et y parvint par un calcul que d'autres auteurs ont simplifié depuis.

Mais les propriétés les plus intéressantes de cette surface ont leur origine dans ce fait, que c'est une surface de Kummer, surface focale d'une congruence du 2* ordre et de 2^ classe, ou encore surface des singularités d'un complexe du 2* ordre. Son histoire se rattache donc à celle de la géométrie de la ligne droite et les noms de Plûcker, et plus tard, de Klein et de Lie doivent y être cités. C'est la surface singulière d'un complexe bien connu sous le nom de complexe de Painvin, et qui possède un grand nombre de propriétés très curieuses.

M . Cayley a étudié, sous le nom de Tétraédroïde, une surface qui est la transformée homographique de la surface des ondes. C'est la surface des singularités d'un complexe harmonique.

Un géomètre anglais, Niven, a découvert une propriété

importante de la surface des ondes. M. Darboux a montré que cette propriété permettait de construire la surface par points, et pouvait, par conséquent, lui servir de définition.

Divers auteurs ont trouvé ses lignes asymptotiques. M. Darboux en a donné une propriété qui sert k les caractériser géométriquement. Il a démontré aussi que les lignes de courbure de la surface ne sont pas algébriques.

M. Mannheim a donné, dans les comptes rendus, diverses propriétés de la surface se déduisant de ce fait que c'est la surface singulière du complexe de Pain vin. Il a également appliqué la géométrie cinématique à la recherche de ses rayons de courbure.

Dans Tétude qui va suivre, le fait que la surface se change en elle-même par 64 transformations linéaires, ponctuelles ou dualistiques sera, tout d'abord, mis en évidence. De ce fait, découlent avec facilité, un grand nombre de propriétés de la surface.

Je dois citer M . Humbert, l'auteur d'un important mémoire sur les surfaces de Kummer, définies en 'considérant les coordonnées d'un point comme fonctions quadruplement périodiques de deux variables. Je n'ai pas fait usage de cette représentation, et j'ai démontré d'une autre façon les théorèmes démontrés par M. Humbert dans le mémoire cité.

Je dois également citer un gros ouvrage allemand de R. Sturm, intitulé Linien-Geomeirie, et où sont étudiés en détail les congruences et les complexes du 2* ordre. J'ai fait quelques emprunts à cet ouvrage bien que, d'une façon générale, je n'aie pas suivi la même marche. *

La surface des ondes de Fresnel possède un grand nombre de propriétés pouvant lui servir de définition. Le plus ordinairement on la définit comme surface apsidale d'un ellipsoïde. C'est aussi la marche que nous allons suivre.

La transformation apsidale fait partie de ces transformations

SUR F-A SURFACE DES ONDES DE FRESNEL à

très générales auxquelles M. Lie a donné le nom de transformations de contact. A un élément de contact (ensemble d'un point et d'un plan passant par ce point) la transformation fait correspondre un autre élément de contact. A un élément de contact appartenant à une surface, c'est-à-dire formé d'un point de la surface et du plan tangent en ce point, la transformation fait correspondre un élément appartenant à une autre surface.

On sait que, au point de vue ponctu,el, il y a deux espèces de transformations de contact, selon qu'à tous les éléments de contact de l'une des deux figures ayant leur point commun, correspondent dans l'autre figure des éléments appartenant à une surface ou à une ligne. Si x y z, x y z sont les coordonnées de deux points P et F correspondants, il y a, dans le 1®"^ cas une, et dans lo second cas, deux relations entre ces coordonnées.

La transformation apsidale appartient à la 2*^ espèce. Je vais dire quelques mots de cette espèce de transformation, en général, afin de démontrer géométriquement une proposition pour laquelle on a, d'ordinaire, recours à l'analyse.

Comme il y a deux figures qui se correspondent^ et que les transformations ne sont pas en général réciproques, nous conviendrons de désigner par des lettres non accentuées, ce qui se rapporte à la 1 '^^ figure en accentuant, au contraire, ce qui se rapporte à la seconde. P et P' désignant donc deux points correspondants (faisant partie d'éléments de contact correspondants) nous supposons qu'il y a entre les coordonnées de ces deux points deux relations, que nous écrirons ainsi :

, Si on laisse P fixe les équations (1) montrent que P' décrit une courbe C. Ainsi au point P correspond une courbe C et au point P une courbe C. Si le point P décrit une surface s les courbes C engendrent une congruence dont nous désignerons

la surlace focale par r. La proposition à laquelle j'ai fait allusion plus haut, et que je vais démontrer géométriquement peut s'énoncer ainsi : Si, inversement, le point P' décrit S', la courbe C engendre une congruence dont la surface focale est i2.

Voici la démonstration :

1° Si la courbe C qui correspond au point P passe par un autre point P', la courbe C qui correspond à P' passe par le point P. En effet, dire que le premier de ces faits a lieu, c'est dire que les équations (1) sont vérifiées pour les points donnés P et F, mais cela exprime également que le second fait a lieu.

2^ Si le point P décrit sur la surface ^ une courbe r telle que les courbes C correspondantes aient une enveloppe r, quand le point P' décrira cette courbe r, la courbe C correspondant à P' aura une envelopi»e, et cette enveloppe sera r.

En effet, soient P et Q deux points infiniment voisins sur r; dire que te courbe C a une enveloppe c'est dire que les deux courbes C et D' correspondantes â P et Q se coupent en un point F de l'enveloppe p. Maintenant, comme on a vu ci-dessus, puisque les deux courbes C et D' correspondantes de P et Q passent par F, la courbe C ^correspondante à F passe par P et Q, elle touche donc r en P (puisque P et Q sont infiniment voisins sur r). Ceci démontre la proposition énoncée.

(J'ai employé ici pour plus de clarté le langage de la géométrie infinitésimale, au lieu de passages à la limite.)

3"* Si r décrit s on sait que r engendrera la surface focale des courbes C ; ce qui précède montre que y: qui est engendré par l'enveloppe r des courbes C qui ont une enveloppe est la surface focale des courbes C.

La proposition est donc démontrée.

Pour nous conformer à ce qui précède, nous devons définir la transformation apsidale de la façon suivante. Soit un point fixe, que nous nommerons l'origine ; à chaque point M de l'espace, faisons correspondre un cercle C de centre 0, de rayon OM, et dont le plan est perpendiculaire à OM.

On voit immédiatement que si P est un point du cercle C, le cercle C qui correspond à P passe par M. La transformation étant réciproque, il n'y a pas lieu de distinguer la 1^^ et la 2* figure.

Si le point M décrit une surface s^ le cercle correspondant engendre une congruence, et la surface focale de cette congruence est Tapsidale de s ; mais nous ne saurions nous contenter de cette définition. La transformation apsidale est une transformation de contact, il faut donc définir l'élément de contact qui correspond à un élément de contact donné.

Pour que les cercles C et D correspondant à deux points P et Q se coupent, il faut qu'ils aient mêmes rayons; alors OP = OQ. Donc les courbes r d'une surface s, telles que les cercles correspondant à leurs différents points aient une enveloppe, sont des courbes sphériques situées sur des sphères de centre 0. Les enveloppes correspondantes r sont, d'ailleurs, sur ces sphères, ce sont les courbes sphériques polaires des courbes r, et cela met de nouveau en évidence la réciprocité des deux courbes r et r. Les cônes Or Or sont deux cônes supplémentaires.

Soit P un point sur une courbe r, P' le point où r touche son enveloppe P et P' sont deux points correspondants, et d'après les propriétés des cônes supplémentaires OP' est perpendiculaire sur le plan mené par OP, et par la tangente en P a r, la tangente en P à r est perpendiculaire ainsi à OP', et comme elle l'est à OP puisque r est une courbe sphérique, elle est perpendiculaire au plan POF. Ainsi les tangentes en P à r et en F à r' sont perpendiculaires au plan POF et, par suite, parallèles entre elles.

Soit r, le plan tangent en P à la surface s, rj le plan tangent en P' à S'. Comme ces plans passent respectivement par les tangentes en P et F à r et r ils sont perpendiculaires au plan POF.

Ils sont amsi perpendiculaires entre eux, — Soit en effet P,, un point infiniment voisin de P, sur l'intersection de ï avec le

b J. RICHARD

plan POF, il lui correspond sur r un point P', projeté en P'î sur le plan POP'. On a : OP :=: OP', OP, = 0P'„ POP' = 1 droit, p/ OP', = 1 droit, et comme ce dernier angle droit a un côté dans le plan POF, il se projette sur ce plan suivant un angle droit; doncP^OP', = 1 droit, les angles POP, POP', sont donc égaux, comme différences d'angles égaux. On a aussi OP', = OP' = OP, aux infiniment petits du 2^ ordre près, les deux triangles POP,, POP', ayant alors un angle égal compris entre côtés égaux, sont égaux ; on obtient l'un en faisant tourner l'autre d'un angle droit autour de dans son plan, donc PP, et P'P, (traces des plans tangents en P et P' sont rectangulaires, et cet angle des traces est aussi celui des plans, parce que ces derniers sont perpendiculaires au plan POP'.

Nous pouvons maintenant définir la transformation apsidale de la façon suivante : Considérons deux éléments de contact formés, le 1^^ d'un point P et d'un plan r. passant par P, le second d'un point P' et d'un plan -' passant par P'. Pour qu'ils soient apsidaux l'un de l'autre, il faut :

1* que l'angle POF soit droit;

2« que OP = OF ;

3^ que les plans tz et ;: soient perpendiculaires au plan POF;

4** que les plans r, et ;;' soient perpendiculaires entre eux. Soient de plus OH, OH' les perpendiculaires menées de aux points P et P' on peut remarquer que :

P OH et OH' sont dans le plan POF ;