OH = OH

Ces deux conditions qui résultent des 4 précédentes, nous serviront pour démontrer la proposition suivante :

Si deux surfaces sont apsidales, leurs polaires réciproques par rapport à une sphère de centre sont aussi apsidales.

Considérons en effet deux

éléments de contact Pt: , Fr/ apsidaux l'un de l'autre : Prenons pour plan de la figure POP', et menons les perpendiculaires OH OH' aux plans n et r', qui sont dans le plan de la figure.

Le pôle de ,: est le point Q de OH, tel que OQ x OH = R\ (R étant le rayon de la sphère de référence). Le plan polaire de P est perpendiculaire à OP, par suite au plan POP' et le coupe en un point K tel que OP x OK — R*. Construisons de même le pôle Q' de ::', et le plan polaire de F qui coupe OP' en K'; on voit sans peine que le triangle OQ'K' n'est autre que le triangle OQK qui a tourné d'un angle droit, de sorte que les éléments formés, Tun du plan polaire de P et du pôle de ::, l'autre du plan polaire de ,:' et du pôle de P' sont apsidaux l'un de l'autre.

La surface des ondes est la surface apsidale d'un ellipsoïde, l'origine étant au centre de cette dernière surface. Soit donc le centre de l'ellipsoïde, P un de ses points, H le pied de la perpendiculaire abaissée de sur le plan r. tangent en P. Pour avoir Télément apsidal de Pt: , il suffit de faire tourner Pt: d'un angle droit autour de la perpendiculaire menée par au plan POH, Soit P't:' l'élément ainsi obtenu.

Menons par P dans le plan ;r la perpendiculaire PT à HP ; OP' sera perpendiculaire au plan OPT, car il est perpendiculaire à OP et à PT. D'autre part, le plan OPT coupe Tellipsoïde suivant une conique dont P est un sommet, puisque la tangente PT est perpendiculaire à OP, OP est un axe de cette section .

Donc : Pour avoir la surface des ondes, on coupe l'ellipsoïde par un plan central quelconque, et sur la perpendiculaire menée à ce plan par le centre, on prend à partir de ce centre une longueur égale à Tun des axes de la section. Le lieu de l'extrémité • de cette longueur est la surface des ondes.

n résulte d'un théorème démontré ci-dessus, que la polaire réciproque de la surface des ondes est une surface de même nature obtenue en remplaçant l'ellipsoïde primitif par son polaire réciproque. Soit P un point de la surface primitive et R

le rayon dé la sphère de référence. Le plan polaire de P, qui enveloppe une seconde surface des ondes, est perpendiculaire à OP au point K, tel que OP x OK = R\ D'où cet autre mode de génération pour la surface.

Coupons Tellipsoïde par un plan central, et sur une perpendiculaire à ce plan menée par 0, prenons une longueur OK inversement proportionnelle à l'un des axes de la section ; le plan mené par K, perpendiculaire à OK, enveloppe une surface des ondes.

C'est à ce mode de génération que l'on aboutit dans le problème d'optique, qui a conduit Fresnel à l'étude de cette surface.

Equatiom diverses de la surface.

Prenons l'ellipsoïde

on sait que si a p v désignent les angles que fait avec les axes la normale à un plan central P, les demi axes o de la section par le plan P sont donnés par l'équation

, , , a* COS* a b* COS* 3 C» COS* y

Cette équation est, si l'on veut, l'équation en coordonnées polaires de la surface. On passe sans peine aux coordonnées rectilignes, ^t, après les dénominateurs chassés, et la suppression du facteur x* + i/ + z\ on trouve une équation à laquelle on peut donner l'une des quatre formes

+ btyi J. frty«(c» +a*) = o.

La première forme met en évidence la section de la surface par le plan de rinTini ; elle se compose du cercle de Tinfini et de la section par ce plan du cône supplémentaire du cône asymptote de Tellipsoïde. Les autres formes mettent en évidence les sections de la surface par les différents plans de coordonnées. Chacune de ces sections se compose d'un cercle et d'une ellipse.

Tout ceci est facile à voir géométriquement. Par exemple, on voit, en considérant une section plane passant par oz, que la section par le plan des xy se compose d'un cercle de rayon c, et de la section de rellipsoïde, qui a tourné d'un angle droit autour de oz.

Considérons la section par un plan tangent au cône asymptote, elle donne dans l'ellipsoïde des axes infinis. C'est ainsi qu'on a, dans la surface des ondes, une courbe à l'infini sur le cône supplémentaire du cône asymptote.

C'est de même en coupant l'ellipsoïde par des plans isotropes qu'on obtient le cercle de l'infini.

Cherchons maintenant l'équation tangentielle de la surface.

Pour cela, prenons la surface des ondes relatives à l'ellipsoïde

polaire réciproque du primitif. On obtient l'équation de cette

R* R' R' 2® surface des ondes en remplaçant a h c par — , ; On

va prendre ensuite la polaire réciproque de cette 2* surface en remplaçant a; j/ 2 par — R'w — Wv — R*i/;; R* disparaît alors.

On trouve ainsi quatre formes (A) (B) (C) (D) de Téquation tangentielle ; elles se déduisent des quatre formes ponctuelles en remplaçant x y z par u v w, et les axes de l'ellipsoïde par leurs inverses.

Ces formes mettent en évidence les cylindres circonscrits à la surface ayant leurs axes parallèles aux axes de coordonnées, et le cône circonscrit ayant pour sommet l'origine.

10 J. HICUARD